DAIRESEL PERMÜTASYONLAR: KANIT, ÖRNEKLER, ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - DUDAS - 2026

Dairesel permütasyon da gerektiği zaman, bir dizi tüm elemanlarının gruplar farklı türleri olması merkezli daireler halinde düzenlenmiş. Bu tür permütasyonda, sıra önemlidir ve öğeler tekrarlanmaz.

Örneğin, her bir sayıyı bir eşkenar dörtgenin köşelerinden birine yerleştirerek, birden dörde kadar farklı basamak dizilerinin sayısını bilmek istediğinizi varsayalım. Bunlar toplamda 6 düzenleme olacaktır:

Her durumda sabit bir pozisyon olarak bir numaranın eşkenar dörtgenin üst pozisyonunda olduğu karıştırılmamalıdır. Dairesel permütasyonlar, dizinin dönüşüyle ​​değiştirilmez. Aşağıdakiler tek veya aynı permütasyondur:

Demo ve formüller

Bir eşkenar dörtgenin köşelerinde bulunan farklı 4 basamaklı dairesel diziler örneğinde, dizi sayısı (6) şu şekilde bulunabilir:

1- Dört haneden herhangi biri, herhangi bir köşede başlangıç ​​noktası olarak alınır ve bir sonraki köşeye ilerler. (saat yönünde veya saat yönünün tersine çevrilmesi farketmez)

2- İkinci tepe noktasını seçmek için 3 seçenek kalmıştır, ardından üçüncü tepe noktasını seçmek için 2 seçenek vardır ve tabii ki dördüncü tepe için sadece bir seçim seçeneği vardır.

3- Böylece (4-1) P (4-1) ile gösterilen dairesel permütasyon sayısı, her pozisyondaki seçim seçeneklerinin çarpımı ile elde edilir:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 farklı 4 basamaklı dairesel dizi.

Genel olarak, bir kümenin tüm n elemanlarıyla elde edilebilecek dairesel permütasyonların sayısı şöyledir:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

(N - 1) 'e dikkat edin! N faktöriyel olarak bilinir ve tüm sayıların çarpımını (n - 1) sayıdan bir numaraya kadar kısaltır.

Örnekler

örnek 1

6 kişinin dairesel bir masada kaç farklı şekilde oturması gerekir?

Yuvarlak masa etrafında 6 kişinin oturabileceği farklı şekillerin sayısını bulmak istiyorsunuz.

Oturmanın hiçbir yolu = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Oturmanın yolu sayısı = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 farklı yol

Örnek 2

5 kişinin kendilerini bir beşgenin köşelerine yerleştirmek için kaç farklı yolu vardır?

Bir beşgenin her bir köşesine 5 kişinin yerleştirilebileceği yolların sayısı aranır.

Bulunacak yol sayısı = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Bulunacak yol sayısı = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 farklı yol

Çözülmüş egzersizler

- 1. Egzersiz

Bir kuyumcu, bir Avrupa ülkesinin kraliyet evi adına hazırladığı saatin saatlerinin noktalarına yerleştirmek için 12 farklı değerli taş alır.

a) Taşları saate yerleştirmek için kaç farklı yolu vardır?

b) Saat 12 yönüne giden taş benzersiz ise kaç farklı şekli vardır?

c) Saat 12 konumundaki taş özgünse ve diğer üç ana noktadaki, saat 3, 6 ve 9 konumundaki taşlar kaç farklı şekil; Değiştirilebilecek üç özel taş var mı ve kalan saatler diğer taşlardan ayrılıyor mu?

Çözümler

a) Saatin etrafındaki tüm taşları düzenleme yollarının sayısı istenir; yani, mevcut tüm taşları içeren dairesel düzenlemelerin sayısı.

Saatteki düzenleme sayısı = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Saatteki düzeltme sayısı = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Saatteki düzenleme sayısı = 39976800 farklı şekil

b) Saat 12 yönündeki taşın benzersiz ve sabit olduğunu bilerek kaç farklı sıralama yolu olduğunu merak ediyor; yani kalan 11 taşı içeren dairesel düzenleme sayısı.

Saatteki düzenleme sayısı = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Saatteki düzeltme sayısı = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Saatteki düzenleme sayısı = 3.628.800 farklı şekil

c) Son olarak, sabitlenmiş olan saat 12 taşı, birbirine atanacak 3, 6 ve 9 taş hariç tüm taşları sipariş etme yollarının sayısı aranır; yani, 3! düzenleme olanakları ve kalan 8 taşı içeren dairesel düzenleme sayısı.

Saatteki düzeltme sayısı = 3! * = 3! * (8–1)!

Saatteki düzenleme sayısı = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Saatteki düzenleme sayısı = 241920 farklı şekil

- Egzersiz 2

Bir şirketin yönlendirme komitesi 8 üyeden oluşur ve oval bir masada toplanır.

a) Komitenin masa etrafında kaç farklı düzenleme şekli var?

b) Herhangi bir komite düzenlemesinde başkanın masanın başında oturduğunu varsayalım, komitenin geri kalanında kaç farklı düzenleme şekli var?

c) Herhangi bir komite düzenlemesinde başkan yardımcısı ve sekreterin başkanın her iki tarafında yer aldığını varsayalım Komitenin geri kalanında kaç farklı düzenleme şekli var?

Çözümler

a) Komitenin 12 üyesini oval masa etrafında düzenlemenin farklı yollarının sayısını bulmak istiyoruz.

Komite düzenlemelerinin sayısı = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Komite düzenlemelerinin sayısı = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Komite düzenlemelerinin sayısı = 39976800 farklı form

b) Komite başkanı sabit bir pozisyonda bulunduğundan, oval masa etrafında kalan 11 komite üyesinin sıralanma yollarının sayısı aranır.

Komite düzenlemelerinin sayısı = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Komite düzenlemelerinin sayısı = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Komite düzenlemelerinin sayısı = 3.628.800 farklı form

c) Başkan sabit bir pozisyondadır ve yanlarda iki düzenleme olasılığına sahip başkan yardımcısı ve sekreter bulunur: sağda başkan yardımcısı ve solda sekreter veya solda başkan yardımcısı ve sağda sekreter. Sonra, komitenin kalan 9 üyesini oval masa etrafında sıralamanın farklı yollarının sayısını bulmak ve başkan yardımcısının ve sekreterin sahip olduğu 2 düzenleme şekli ile çarpmak istiyorsunuz.

Komite düzenlemelerinin sayısı = 2 * = 2 *

Komite düzenlemelerinin sayısı = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Komite düzenlemelerinin sayısı = 80640 farklı biçim

Referanslar

1. Boada, A. (2017). Deney öğretimi olarak tekrarlı permütasyonun kullanılması. Vivat Academia Dergisi. Researchgate.net'ten kurtarıldı.
2. Canavos, G. (1988). Olasılık ve istatistikler. Uygulamalar ve yöntemler. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G .; Stanley, J. (1996). Sosyal bilimlere uygulanmayan istatistiksel yöntemler. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). İstatistik. Dördüncü baskı. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Evet, Ka. (2007). Mühendisler ve bilim adamları için Olasılık ve İstatistik. Sekizinci baskı. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). İşletme ve ekonomiye uygulanan istatistikler. Üçüncü baskı. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Vikipedi. (2019). Permütasyon. En.wikipedia.org'dan kurtarıldı.