KÜPLERIN FARKI: FORMÜLLER, DENKLEMLER, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Küp farkı şeklinde bir bir binom cebirsel ifade ³ B - ³ terimler a ve b reel sayılar ya da çeşitli cebirsel ifadeler olabilir. Küp farkına bir örnek: 8 - x ³ , çünkü 8, 2 ³ olarak yazılabilir .

Geometrik olarak, Şekil 1'de gösterildiği gibi, b kenarı olan küçük küpün çıkarıldığı, a kenarı olan büyük bir küp düşünebiliriz:

Şekil 1. Küplerin farkı. Kaynak: F. Zapata.

Elde edilen şeklin hacmi tam olarak küplerin farkıdır:

V = bir ³ - b ³

Alternatif bir ifade bulmak için, bu figürün aşağıda gösterildiği gibi üç prizmaya ayrılabileceği gözlemlenir:

Şekil 2. Küplerin farkı (eşitliğin solunda) kısmi hacimlerin toplamına eşittir (sağda). Kaynak: F. Zapata.

Bir prizmanın üç boyutunun çarpımı tarafından verilen bir hacmi vardır: genişlik x yükseklik x derinlik. Bu şekilde ortaya çıkan hacim:

V = bir ³ - b ³ = bir ² .b + b ³ + ab ²

Faktör b sağda ortaktır. Ayrıca, yukarıda gösterilen şekilde şu özellikle doğrudur:

b = (a / 2) ⇒ bir = b + b

Bu nedenle şu söylenebilir: b = a - b. Böylece:

Küplerin farkını bu şekilde ifade etmenin birçok uygulamada çok faydalı olacağı kanıtlanacak ve köşedeki eksik küpün kenarı b = a / 2'den farklı olsa bile aynı şekilde elde edilmiş olacaktır.

İkinci parantezlerin, toplamın karesinin dikkate değer çarpımına çok benzediğine, ancak çapraz terimin 2 ile çarpılmadığına dikkat edin. Okuyucu, bir ³ - b ^3'ün gerçekten elde edildiğini doğrulamak için sağ tarafı genişletebilir .

Örnekler

Küplerin birkaç farklılığı vardır:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² ve ⁶

(1/125). X ⁶ - 27.y ⁹

Her birini analiz edelim. İlk örnekte, 1 1 = 1 ³ olarak yazılabilir ve m ⁶ terimi şu olur: (m ² ) ³ . Her iki terim de mükemmel küplerdir, bu nedenle aralarındaki fark şudur:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

İkinci örnekte terimler yeniden yazılmıştır:

bir ⁶ b ³ = (bir ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Bu küplerin farkı: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Son olarak, kesir (1/125) (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ³ ve y ⁹ = (y ³ ) ^3'tür . Tüm bunları orijinal ifadede değiştirerek şunu elde edersiniz:

(1/125). X ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Küp farkını hesaba katmak

Küplerin farkını çarpanlarına ayırmak birçok cebirsel işlemi basitleştirir. Bunu yapmak için, yukarıda çıkarılan formülü kullanın:

Şekil 3. Küp farkının çarpanlara ayrılması ve dikkate değer bir bölümün ifadesi. Kaynak: F. Zapata.

Şimdi, bu formülü uygulama prosedürü üç adımdan oluşmaktadır:

- İlk etapta, farkın her bir teriminin küp kökü elde edilir.

- Daha sonra formülün sağ tarafında görünen iki terimli ve üç terimli yapılar oluşturulur.

- Son olarak, son çarpanlara ayırmayı elde etmek için iki terimli ve üç terimli yer değiştirilir.

Yukarıda önerilen küp farkı örneklerinin her biri ile bu adımların kullanımını gösterelim ve böylece faktörlü eşdeğerini elde edelim.

örnek 1

Açıklanan adımları izleyerek ifadeyi 1 - m ⁶ çarpanlarına ayırın. Her terimin ilgili küp köklerini çıkarmak için ifadeyi 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³ olarak yeniden yazarak başlıyoruz :

Daha sonra, iki terimli ve üç terimli yapılar oluşturulur:

a = 1

b = m ²

Yani:

a - b = 1 - m ²

(bir ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Son olarak, a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ) formülünde ikame edilir :

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Örnek 2

çarpanlara ayırmak:

Bir ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Bunlar mükemmel küpler olduğu için, küp kökleri hemen gelir: a ² b ve 2z ⁴ ve ² , dolayısıyla şunu takip eder:

- Binom: a ² b - 2z ⁴ ve ²

- Trinomial: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (bir ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

Ve şimdi istenen çarpanlara ayırma oluşturuldu:

bir ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (bir ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (bir ² b - 2z ⁴ y ² ).

Prensip olarak, faktoring hazırdır, ancak genellikle her terimi basitleştirmek gerekir. Ardından, sonunda ortaya çıkan dikkat çekici ürün -bir toplamın karesi- geliştirilir ve ardından benzer terimler eklenir. Bir toplamın karesinin şu olduğunu hatırlamak:

Sağdaki önemli ürün şu şekilde geliştirildi:

(a ² b + 2z ⁴ ve ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b. z ⁴ ve ² + 4z ⁸ ve ⁴

Küp farkının çarpanlarına ayrılmasıyla elde edilen genişlemeyi ikame ederek:

bir ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (bir ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Son olarak, benzer terimleri gruplayarak ve sayısal katsayıları çarpanlara ayırarak, ki bunların hepsi eşittir:

(bir ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (bir ² b - 2z ⁴ y ² ).

Örnek 3

Faktoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ , önceki durumdan çok daha kolaydır. Önce a ve b'nin eşdeğerleri belirlenir:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Daha sonra doğrudan formülde ikame edilirler:

(1/125) . X ⁶ - 27y ⁹ =.

Egzersiz çözüldü

Küplerin farkı, daha önce de söylediğimiz gibi, Cebirde çeşitli uygulamalara sahiptir. Biraz görelim:

1. Egzersiz

Aşağıdaki denklemleri çözün:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Çözüm

İlk olarak denklem şu şekilde çarpanlara ayrılmıştır:

x ² (x ³ - 125) = 0

125 mükemmel bir küp olduğundan, parantezler küplerin farkı olarak yazılmıştır:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

İlk çözüm x = 0'dır, ancak x ³ - 5 ³ = 0 yaparsak daha fazlasını buluruz , o zaman:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Çözüm b

Denklemin sol tarafı 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ olarak yeniden yazılmıştır . Böylece:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Üs aynı olduğundan:

9x = 4 → x = 9/4

Egzersiz 2

İfadeyi çarpanlara ayırın:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Çözüm

Faktoring formülünde şunu not edersek, bu ifade bir küp farkıdır:

a = x + y

b = x- y

Sonra önce binom oluşturulur:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Ve şimdi üç terimli:

bir ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Önemli ürünler geliştirildi:

Daha sonra benzer terimleri değiştirmeli ve azaltmalısınız:

bir ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Faktoring şu sonuçlarla sonuçlanır:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

Referanslar

1. Baldor, A. 1974. Cebir. Editoryal Kültür Venezolana SA
2. CK-12 Vakfı. Küplerin toplamı ve farkı. Kurtarıldı: ck12.org.
3. Khan Akademisi. Küp farklarının çarpanlarına ayrılması. Es.khanacademy.org adresinden kurtarıldı.
4. Matematik Eğlencelidir Gelişmiş. İki küpün farkı. Kurtarıldı: mathsisfun.com
5. UNAM. Küp farkını hesaba katmak. DCb.fi-c.unam.mx adresinden kurtarıldı.