- Parabolik atış formülleri ve denklemleri
- - Yörünge, maksimum yükseklik, maksimum süre ve yatay erişim
- Yörünge
- Maksimum yükseklik
- Maksimum süre
- Maksimum yatay erişim ve uçuş süresi
- Parabolik çekim örnekleri
- İnsan faaliyetlerinde parabolik atış
- Doğada parabolik atış
- Egzersiz yapmak
- Çözüm
- Çözüm c
- Referanslar
Parabolik bir nesne veya merminin açısına atma ve yerçekiminin etkisi altında hareket izin arasında. Hava direnci dikkate alınmazsa, nesne, doğası ne olursa olsun, bir parabol ark yolunu izleyecektir.
Bu günlük bir harekettir, çünkü en popüler sporlar arasında topların veya topların elle, ayakla veya örneğin raket veya sopa gibi bir aletle atıldığı sporlardır.
Şekil 1. Süs çeşmesinden çıkan su jeti parabolik bir yol izliyor. Kaynak: Wikimedia Commons. Zátonyi Sandwich (ifj.), Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)
Çalışması için, parabolik atış iki üst üste bindirilmiş harekete bölünmüştür: biri ivmesiz yatay, diğeri ise yerçekimi olan sabit aşağı doğru ivmeli dikey. Her iki hareketin de başlangıç hızı vardır.
Yatay hareketin x ekseni boyunca ve dikey hareketin y ekseni boyunca ilerlediğini varsayalım. Bu hareketlerin her biri diğerinden bağımsızdır.
Merminin konumunu belirlemek ana amaç olduğundan, uygun bir referans sistemi seçmek gerekir. Detaylar takip ediyor.
Parabolik atış formülleri ve denklemleri
Nesne yatay ve başlangıç hızı ile ilgili olarak a açısı ile atılır varsayalım v veya sol aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi. Parabolik atış, xy düzleminde gerçekleşen bir harekettir ve bu durumda ilk hız aşağıdaki gibi ayrıştırılır:
Şekil 2. Solda merminin başlangıç hızı ve sağda fırlatmanın herhangi bir anında pozisyon. Kaynak: Wikimedia Commons. Zátonyi sandwich, (ifj.) Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
Şekil 2'deki kırmızı nokta olan merminin konumu, sağdaki görüntüde, biri x'te diğeri y'de olmak üzere iki zamana bağlı bileşene sahiptir. Konum, r ile gösterilen bir vektördür ve birimleri uzunluktur.
Şekilde, merminin başlangıç konumu koordinat sisteminin orijini ile çakışmaktadır, bu nedenle x o = 0 ve o = 0. Bu her zaman geçerli değildir, herhangi bir yerde orijini seçebilirsiniz, ancak bu seçim çok kolaylaştırır hesaplamalar.
X ve y'deki iki hareketle ilgili olarak, bunlar:
-x (t): düzgün doğrusal bir harekettir.
-y (t): g = 9,8 m / s 2 olan ve dikey olarak aşağıyı gösteren düzgün bir şekilde hızlandırılmış doğrusal harekete karşılık gelir .
Matematiksel biçimde:
Konum vektörü:
r (t) = i + j
Bu denklemlerde dikkatli okuyucu, eksi işaretinin yere doğru olan yerçekiminden kaynaklandığını, yönün negatif olarak seçildiğini ve yukarı doğru pozitif olarak alındığını fark edecektir.
Hız, konumun ilk türevi olduğundan, basitçe r (t) yi zamana göre ayırt edin ve şunu elde edin:
v (t) = v o cos α ben + (v o. sin α - gt) j
Son olarak, ivme vektörel olarak şu şekilde ifade edilir:
a (t) = -g j
- Yörünge, maksimum yükseklik, maksimum süre ve yatay erişim
Yörünge
Y (x) eğrisi olan yörüngenin açık denklemini bulmak için, x (t) için denklemde çözerek ve y (t) ile değiştirerek zaman parametresini ortadan kaldırmalıyız. Basitleştirme biraz zahmetli, ancak sonunda şunu elde edersiniz:
Maksimum yükseklik
Maksimum yükseklik v y = 0 olduğunda ortaya çıkar . Konum ile hızın karesi arasında aşağıdaki ilişki olduğunu bilerek:
Şekil 3. Parabolik atıştaki hız. Kaynak: Giambattista, A. Physics.
Sadece maksimum yüksekliğe ulaşırken v y = 0 yapmak :
İle:
Maksimum süre
Maksimum süre, nesnenin ulaşması için geçen süredir ve maks . Hesaplamak için kullanılır:
T = t max olduğunda v y'nin 0 olduğunu bilmek , şu sonuca varır:
Maksimum yatay erişim ve uçuş süresi
Menzil çok önemlidir çünkü nesnenin nereye düşeceğini gösterir. Bu şekilde hedefi vurup vurmadığını bileceğiz. Bulmak için uçuş süresine, toplam süreye veya v .
Yukarıdaki çizimden t v = 2.t max olduğu sonucuna varmak kolaydır . Ancak dikkatli olun! Bu yalnızca fırlatma düz ise, yani başlangıç noktasının yüksekliği, varış yüksekliğiyle aynı ise geçerlidir. Aksi takdirde, son ve son konumun ikame edilmesinden kaynaklanan ikinci dereceden denklem çözülerek zaman bulunur :
Her durumda, maksimum yatay erişim:
Parabolik çekim örnekleri
Parabolik atış, insanların ve hayvanların hareketinin bir parçasıdır. Ayrıca yerçekiminin müdahale ettiği hemen hemen tüm spor ve oyunlarda. Örneğin:
İnsan faaliyetlerinde parabolik atış
- Bir mancınıkla fırlatılan taş.
- Kalecinin kale vuruşu.
- Atıcı tarafından atılan top.
- Pruvadan çıkan ok.
-Her türlü atlama
- Sapanla bir taş at.
-Her türlü fırlatma silahı.
Şekil 4. Mancınık tarafından atılan taş ve kale vuruşunda atılan top, parabolik atışlara örnektir. Kaynak: Wikimedia Commons.
Doğada parabolik atış
- Çeşmeden gelenler gibi doğal veya yapay jetlerden akan su.
- Bir yanardağdan fışkıran taşlar ve lav.
- Kaldırımdan seken bir top veya suda seken bir taş.
-Zıplayan her türden hayvan: kangurular, yunuslar, ceylanlar, kediler, kurbağalar, tavşanlar veya böcekler.
Şekil 5. İmpala, 3 m'ye kadar zıplayabilir. Kaynak: Wikimedia Commons. Arturo de Frias Marques / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
Egzersiz yapmak
Bir çekirge yatayla 55º açıyla zıplar ve 0,80 metre ileriye iner. Bul:
a) Ulaşılan maksimum yüksekliğe.
b) Aynı başlangıç hızıyla atlasa, ancak 45º'lik bir açı oluştursa, daha yükseğe çıkar mı?
c) Bu açı için maksimum yatay erişim hakkında ne söylenebilir?
Çözüm
Problem tarafından sağlanan veriler başlangıç hızını v içermediğinde veya hesaplamalar biraz daha zahmetli olduğunda, ancak bilinen denklemlerden yeni bir ifade türetilebilir. Den başlayarak:
Daha sonra indiğinde, yükseklik 0'a döner, bu nedenle:
T v ortak bir faktör olduğundan, basitleştirir:
İlk denklemden t v'yi bulabiliriz :
Ve ikinci sırada değiştirin:
Tüm terimleri v veya .cos α ile çarparken ifade değişmez ve payda kaybolur:
Şimdi v veya o silebilirsiniz, ayrıca aşağıdaki kimliği de değiştirebilirsiniz:
günah 2α = 2 günah α. cos α → v veya 2 sin 2α = gx max
V veya 2'yi hesaplayın :
Istakoz aynı yatay hızı korumayı başarır, ancak açıyı azaltarak:
Daha düşük bir yüksekliğe ulaşır.
Çözüm c
Maksimum yatay erişim:
Açının değiştirilmesi, yatay erişimi de değiştirir:
x maks = 8,34 günah 90 / 9,8 m = 0,851 m = 85,1 cm
Atlama artık daha uzun. Okuyucu, 45º açı için maksimum olduğunu doğrulayabilir, çünkü:
günah 2α = günah 90 = 1.
Referanslar
- Figueroa, D. 2005. Seri: Bilimler ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. Kinematik. Douglas Figueroa (USB) tarafından düzenlendi.
- Giambattista, A. 2010. Fizik. İkinci baskı. McGraw Hill.
- Giancoli, D. 2006. Fizik: Uygulamalı Prensipler. 6. Ed Prentice Hall.
- Resnick, R. 1999. Physics. Cilt 1. İspanyolca 3. Baskı. Compañía Editoryal Continental SA de CV
- Sears, Zemansky. 2016. Modern Fizikle Üniversite Fiziği. 14. Ed. Cilt 1.