Binom dağılım başarı ya da başarısızlık: olayların meydana gelme olasılığı, hesaplanan iki yöntemleri altında meydana gelmesi koşuluyla edildiği bir olasılık dağılımıdır.
Bu tanımlamalar (başarı veya başarısızlık) tamamen keyfidir, çünkü iyi veya kötü şeyler anlamına gelmez. Bu yazıda, iki terimli dağılımın matematiksel formunu göstereceğiz ve ardından her bir terimin anlamı ayrıntılı olarak açıklanacaktır.
Şekil 1. Bir kalıbın rulosu, iki terimli dağılım kullanılarak modellenebilen bir olgudur. Kaynak: Pixabay.
Denklem
Denklem aşağıdaki gibidir:
X = 0, 1, 2, 3… .n ile, burada:
- P (x), n deneme veya deneme arasında tam olarak x başarı elde etme olasılığıdır.
- x, başarıların sayısına karşılık gelen, ilgilenilen olguyu tanımlayan değişkendir.
- n deneme sayısı
- p, 1 denemede başarı olasılığıdır
- q, 1 denemede başarısız olma olasılığıdır, dolayısıyla q = 1 - p
Ünlem işareti "!" faktöriyel gösterim için kullanılır, bu nedenle:
0! = 1
bir! = 1
iki! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Ve bunun gibi.
kavram
Binom dağılımı, bir olayın meydana geldiği veya gerçekleşmediği durumları açıklamak için çok uygundur. Eğer gerçekleşirse bu bir başarıdır, değilse, o zaman bir başarısızlıktır. Dahası, başarı olasılığı her zaman sabit kalmalıdır.
Bu koşullara uyan fenomenler var, örneğin bir bozuk para atışı. Bu durumda "başarı" yüzleşmektir diyebiliriz. Olasılık ½ dir ve jeton kaç kez atılırsa atılsın değişmez.
Dürüst bir zar rulosu, belirli bir üretimi iyi parçalara ve kusurlu parçalara ayırmanın ve rulet tekerleğini çevirirken siyah yerine kırmızı elde etmenin yanı sıra başka bir iyi örnektir.
karakteristikleri
Binom dağılımının özelliklerini şu şekilde özetleyebiliriz:
- Herhangi bir olay veya gözlem, yer değiştirme olmaksızın sonsuz bir popülasyondan veya yer değiştirme ile sınırlı bir popülasyondan çıkarılır.
- Karşılıklı olarak birbirini dışlayan yalnızca iki seçenek dikkate alınır: başlangıçta açıklandığı gibi başarı veya başarısızlık.
- Yapılan herhangi bir gözlemde başarı olasılığı sabit olmalıdır.
- Herhangi bir olayın sonucu diğer olaylardan bağımsızdır.
- Binom dağılımının ortalaması np'dir
- Standart sapma:
Uygulama örneği
Basit bir olayı ele alalım, 3 kez dürüst bir zar atarak 2 kafa 5 almak olabilir. 3 atışta 5'li 2 tura çıkma olasılığı nedir?
Bunu başarmanın birkaç yolu vardır, örneğin:
- İlk iki fırlatma 5'tir ve sonuncusu değildir.
- İlki ve sonuncusu 5 ama ortadaki değil.
- Son iki atış 5 ve birincisi değil.
Örnek olarak açıklanan ilk diziyi alalım ve oluşma olasılığını hesaplayalım. İlk yuvarlamada 5 tura çıkma olasılığı 1 / 6'dır ve ayrıca ikincisinde bağımsız olaylardır.
Son yuvarlamada 5'ten başka bir tura gelme olasılığı 1 - 1/6 = 5 / 6'dır. Bu nedenle, bu dizinin ortaya çıkma olasılığı, olasılıkların ürünüdür:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Peki ya diğer iki sekans? Aynı olasılığa sahipler: 0,023.
Ve toplam 3 başarılı sekansımız olduğu için, toplam olasılık şöyle olacaktır:
Örnek 2
Bir üniversite, kolej basketbol takımındaki öğrencilerin% 80'inin mezun olduğunu iddia ediyor. Bir süre önce üniversiteye kaydolan söz konusu basketbol takımına ait 20 öğrencinin akademik kayıtları incelendi.
Bu 20 öğrenciden 11'i çalışmalarını bitirdi ve 9'u okulu bıraktı.
Şekil 2. Kolej takımı için oynayan öğrencilerin neredeyse tamamı mezun oldu. Kaynak: Pixabay.
Üniversitenin ifadesi doğruysa, 20 kişiden basketbol oynayan ve mezun olan öğrenci sayısının n = 20 ve p = 0,8 şeklinde iki terimli dağılım göstermesi gerekir. 20 oyuncudan 11'inin mezun olma olasılığı nedir?
Çözüm
Binom dağılımında:
Örnek 3
Araştırmacılar, özel programlarla kabul edilen tıp öğrencileri ile normal kabul kriterleri ile kabul edilen tıp öğrencileri arasında mezuniyet oranlarında önemli farklılıklar olup olmadığını belirlemek için bir çalışma yaptı.
Özel programlarla kabul edilen öğrenci hekimler için mezuniyet oranı% 94 olarak bulundu (Journal of the American Medical Association'dan alınan verilere göre).
Özel program öğrencilerinden 10 tanesi rastgele seçilirse, en az 9'unun mezun olma olasılığını bulunuz.
b) Özel programlardan rastgele 10 öğrenci seçip bunlardan sadece 7'sinin mezun olduğunu görmek olağandışı olur mu?
Çözüm
Özel bir programla kabul edilen bir öğrencinin mezun olma olasılığı 94/100 = 0.94'tür. Özel programlardan n = 10 öğrenci seçiyoruz ve en az 9 tanesinin mezun olma olasılığını öğrenmek istiyoruz.
Aşağıdaki değerler daha sonra binom dağılımında ikame edilir:
b)
Referanslar
- Berenson, M. 1985. Yönetim ve Ekonomi için İstatistik. Interamericana SA
- MathWorks. Binom dağılımı. Es.mathworks.com adresinden kurtarıldı
- Mendenhall, W. 1981. Yönetim ve Ekonomi için İstatistik. 3 üncü. baskı. Grupo Editoryal Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Uygulamalı Temel İstatistikler. 2. Baskı.
- Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11.. Ed. Pearson Education.
- Vikipedi. Binom dağılımı. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı