TAMAMLAYICI AÇILAR: HANGILERI VE NASIL HESAPLANIRLAR, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Ölçülerinin toplamı bir dik açıya karşılık geliyorsa, iki veya daha fazla açı tamamlayıcı açıdır. Bilindiği gibi, derece cinsinden bir dik açının ölçüsü 90º, radyan cinsinden ise π / 2'dir.

Örneğin, bir dik üçgenin hipotenüsüne bitişik iki açı, ölçülerinin toplamı 90º olduğu için birbirini tamamlar. Aşağıdaki şekil bu açıdan çok açıklayıcıdır:

Şekil 1. Solda, ortak bir tepe noktasına sahip birkaç açı. Sağa, α (alfa) açısını tamamlayan 60º'lik bir açı. Kaynak: F. Zapata.

Şekil 1'de toplam dört açı gösterilmektedir. α ve β, bitişik oldukları ve toplamları dik açıyı tamamladıkları için tamamlayıcıdır. Benzer şekilde β, γ'ya tamamlayıcıdır, bundan ve α'nın eşit ölçülerde olduğu sonucu çıkar.

Şimdi, α ve δ'nin toplamı 90 dereceye eşit olduğundan, α ve δ'nin tamamlayıcı olduğu söylenebilir. Dahası, β ve δ aynı tamamlayıcı α'ya sahip olduğundan, β ve δ'nin aynı ölçüye sahip olduğu söylenebilir.

Tamamlayıcı açı örnekleri

Aşağıdaki örnekler, şekil 2'de soru işaretleriyle işaretlenmiş bilinmeyen açıları bulmayı istemektedir.

Şekil 2. Çeşitli tamamlayıcı açı örnekleri. Kaynak: F. Zapata.

- Örnekler A, B ve C

Aşağıdaki örnekler karmaşıklık sırasına göre verilmiştir.

Örnek A

Yukarıdaki şekilde, bitişik α ve 40º açılarının toplamının bir dik açı oluşturduğunu görüyoruz. Yani α + 40º = 90º, dolayısıyla α = 90º- 40º = 50º.

Örnek B

Β, 35º açısına tamamlayıcı olduğundan, β = 90º - 35º = 55º olur.

Örnek C

Şekil 2C'den γ + 15º + 15º = 90º toplamına sahibiz. Başka bir deyişle γ, 30º = 15º + 15º açısına tamamlayıcıdır. Böylece:

γ = 90º- 30º = 60º

- Örnekler D, E ve F

Bu örneklerde daha fazla açı var. Bilinmeyenleri bulmak için okuyucu, tamamlayıcı açı kavramını gerektiği kadar çok kez uygulamalıdır.

Örnek D

X, 72 to'ye tamamlayıcı olduğundan, X = 90º - 72º = 18º olur. Ayrıca Y, X'e tamamlayıcıdır, dolayısıyla Y = 90º - 18º = 72º.

Son olarak Z, Y ile tamamlayıcıdır. Yukarıdakilerin hepsinden şunu izler:

Z = 90º - 72º = 18º

Örnek E

Δ ve 2δ açıları tamamlayıcıdır, dolayısıyla δ + 2δ = 90º.

Yani, 3δ = 90º, bu da δ = 90º / 3 = 30 that anlamına gelir.

Örnek F

Que ile 10º U arasındaki açıyı çağırırsak, U her ikisine de tamamlayıcıdır, çünkü toplamlarının dik bir açıyı tamamladığı gözlemlenir. Buradan U = 80º olur. U, ω 'ye tamamlayıcı olduğundan, ω = 10º olur.

Egzersizler

Aşağıda üç egzersiz önerilmiştir. Hepsinde A ve B açılarının derece cinsinden değeri bulunmalıdır, böylece şekil 3'te gösterilen ilişkiler yerine getirilir.

Şekil 3. Tamamlayıcı açı egzersizleri için resimler. Kaynak: F. Zapata.

- 1. Egzersiz

Şekil 3'ün I) bölümünden A ve B açılarının değerlerini belirleyin.

Çözüm

Gösterilen şekilden A ve B'nin tamamlayıcı olduğu, dolayısıyla A + B = 90º olduğu görülebilir. A ve B'nin ifadesini I) bölümünde verilen x'in bir fonksiyonu olarak değiştiriyoruz:

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Terimler daha sonra uygun şekilde gruplandırılır ve basit bir doğrusal denklem elde edilir:

(5x / 2) + 22 = 90

Elimizdeki iki üyeden 22 çıkararak:

5x / 2 = 90-22 = 68

Ve son olarak x'in değeri temizlenir:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Şimdi, A açısı, X'in değerini değiştirerek bulunur:

Bir = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

B açısı:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5 = 69,4º.

- Egzersiz 2

Şekil 3'teki görüntü II'nin A ve B açılarının değerlerini bulun.

Çözüm

Yine, A ve B birbirini tamamlayan açılar olduğundan, bunu takip eder: A + B = 90º. Şekil 3'ün II) bölümünde verilen x'in bir fonksiyonu olarak A ve B ifadesini yerine koyarsak:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Eşitliği elde etmek için benzer terimler birlikte gruplandırılır:

6 x + 30 = 90

Her iki üyeyi 6'ya bölerek elde edersiniz:

x + 5 = 15

Bundan x = 10º olduğunu izler.

Böylece:

Bir = 2 * 10-10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Egzersiz 3

Şekil 3'ün III) kısmından A ve B açılarının değerlerini belirleyin.

Çözüm

Yine şekil, tamamlayıcı açıları bulmak için dikkatlice analiz edilir. Bu durumda A + B = 90 dereceye sahibiz. Şekilde verilen x'in bir fonksiyonu olarak A ve B ifadesini değiştirirsek, elimizde:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Her iki üyeyi 3'e bölmek aşağıdaki sonuçları verir:

x + 10 = 30

Buradan x = 20º olur.

Başka bir deyişle, açı A = -20 +45 = 25º. Ve onun parçası için: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Dikey yan açıları

Her iki tarafın diğerinde karşılık gelen bir dikey olması durumunda, iki açının dikey kenarları olduğu söylenir. Aşağıdaki şekil kavramı açıklamaktadır:

Şekil 4. Dikey kenarların açıları. Kaynak: F. Zapata.

Şekil 4'te örneğin α ve θ açıları gözlenir. Şimdi, her açının diğer açıda karşılık gelen dikine sahip olduğuna dikkat edin.

Ayrıca α ve θ'nin aynı tamamlayıcı açı z'ye sahip olduğu da görülür, bu nedenle gözlemci hemen α ve θ'nın aynı ölçüye sahip olduğu sonucuna varır. Öyleyse öyle görünüyor ki, iki açının kenarları birbirine dikse, bunlar eşittir, ama başka bir duruma bakalım.

Şimdi α ve ω açılarını düşünün. Bu iki açının da karşılık gelen dikey kenarları vardır, ancak biri akut ve diğeri geniş olduğu için eşit ölçülerde oldukları söylenemez.

Ω + θ = 180º olduğuna dikkat edin. Ayrıca θ = α. İlk denklemde bu ifadeyi z yerine koyarsanız:

δ + α = 180º, burada δ ve α yanların karşılıklı olarak dik açılarıdır.

Dikey kenarların açıları için genel kural

1. Baldor, JA 1973. Düzlem ve uzay geometrisi. Orta Amerika Kültürü.
2. Matematiksel yasalar ve formüller. Açı ölçüm sistemleri. Ingemecanica.com adresinden kurtarıldı.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Gutenberg.org'dan kurtarıldı.
4. Vikipedi. Tamamlayıcı açılar. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
5. Vikipedi. Konveyör. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: tarih, parçalar, operasyon. Kurtarıldı: lifeder.com