ÖRNEKLEME HATASI: FORMÜLLER VE DENKLEMLER, HESAPLAMA, ÖRNEKLER - DUDAS - 2026

Örnekleme hatası veya numune alma istatistik hata Bir numunenin ortalama değeri ve toplam nüfusun ortalama değer arasındaki farktır. Fikri açıklamak için, bir şehrin toplam nüfusunun, bin kişilik rastgele bir örneklemin alındığı, ortalama ayakkabı boyunu istediğiniz bir milyon kişi olduğunu düşünelim.

Örneklemden ortaya çıkan ortalama boyut, toplam popülasyonun boyutuyla mutlaka çakışmayacaktır, ancak örneklem önyargılı değilse değer yakın olmalıdır. Örneklemin ortalama değeri ile toplam popülasyonun ortalama değeri arasındaki bu fark, örnekleme hatasıdır.

Şekil 1. Örnek toplam popülasyonun bir alt kümesi olduğundan, örnek ortalamanın bir hata payı vardır. Kaynak: F. Zapata.

Toplam popülasyonun ortalama değeri genellikle bilinmemektedir, ancak bu hatayı azaltacak teknikler ve bu makalede tartışılacak olan örnekleme hata payını tahmin etmek için formüller vardır.

Formüller ve denklemler

Diyelim ki, N büyüklüğünde bir popülasyonda belirli bir ölçülebilir x karakteristiğinin ortalama değerini bilmek istiyoruz, ancak N büyük bir sayı olduğu için toplam popülasyon üzerinde çalışmayı yürütmek mümkün değil, o zaman rastgele bir örnek almaya devam ediyoruz. beden n <

Numunenin ortalama değeri şu şekilde gösterilir: ve toplam popülasyonun ortalama değeri Yunanca harf μ (mu veya miu okunur) ile gösterilir.

N toplam popülasyonundan m numunenin alındığını varsayalım, hepsi eşit büyüklükte n ve ortalama değerlerle 1>, 2>, 3>, ….m>.

Bu ortalama değerler birbiriyle aynı olmayacak ve tümü popülasyon ortalama değeri μ civarında olacaktır. Örnekleme hata payı E, ortalama değerlerin beklenen ayrılmasını gösterir. güven düzeyi γ (gama) olarak adlandırılan belirli bir yüzde içinde popülasyon ortalama değeri μ ile göreli.

N büyüklüğündeki numunenin standart hata payı ε:

ε = σ / √n

σ, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanan standart sapmadır (varyansın karekökü):

σ = √

Standart hata marjının anlamı ε aşağıdaki gibidir:

Ortalama değer n büyüklüğündeki örneklem tarafından elde edilen aralığa ( - ε, + ε)% 68,3 güven seviyesi ile.

Örnekleme hatası nasıl hesaplanır

Önceki bölümde, n büyüklüğündeki bir numunenin standart hata payını bulmaya yönelik formül verilmiştir; burada standart sözcüğü% 68 güvenle bir hata payı olduğunu belirtir.

Bu, aynı n boyutunda birçok örnek alındıysa, bunların% 68'inin ortalama değerler vereceğini gösterir. aralığında.

Bu marj 1⋅ ε, 2 olduğu için% 68,% 95 ve% 99.7 güven seviyeleri için örnekleme hata payı E'yi kolayca bulmamızı sağlayan 68-95-99.7 kuralı olarak adlandırılan basit bir kural vardır. Sırasıyla ⋅ ε ve 3⋅ ε.

Bir güven düzeyi için

Güven seviyesi γ yukarıdakilerden biri değilse, o zaman örnekleme hatası, aşağıdaki prosedürle elde edilen standart sapma σ Zγ faktörü ile çarpılır:

1.- Öncelikle güven düzeyinden aşağıdaki ilişki ile hesaplanan anlamlılık düzeyi α belirlenir: α = 1 - γ

2.- O halde, tanımı F (z) şeklinde normal veya Gauss dağılımında -∞ ve Zγ arasında birikmiş normal frekansa karşılık gelen 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2 değerini hesaplamalıyız. şekil 2'de görülebilir.

3. - F (Zγ) = 1 - α / 2 denklemi, normal dağılım (kümülatif) F tabloları veya ters Gauss fonksiyonu F ^-1 olan bir bilgisayar uygulaması aracılığıyla çözülür .

İkinci durumda elimizde:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4.- Son olarak, bu formül, güvenilirlik düzeyi γ olan örnekleme hatası için uygulanır:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

Şekil 2. Normal dağılım tablosu. Kaynak: Wikimedia Commons.

Örnekler

- Örnek 1

100 yenidoğanın ortalama ağırlığındaki standart hata payını hesaplayın. Ortalama ağırlığın hesaplanması= 3.100 kg, standart sapma σ = 1.500 kg.

Çözüm

Standart hata payı ε = σ / √n = (1.500 kg) / √100 = 0.15 kg'dır. Bu, bu verilerle yenidoğanların% 68'inin ağırlığının 2.950 kg ile 3.25 kg arasında olduğu sonucuna varılabileceği anlamına gelir.

- Örnek 2

Ortalama ağırlık 3.100 kg ve standart sapma σ = 1.500 kg ise,% 95 güven seviyesi ile E hata örnekleme marjını ve 100 yenidoğanın ağırlık aralığını belirleyin.

Çözüm

Kural 68 geçerliyse; 95; 99,7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3⋅ ε, bizde:

E = 2⋅ε = 2⋅0.15 kg = 0.30 kg

Diğer bir deyişle, yenidoğanların% 95'inin ağırlığı 2.800 kg ile 3.400 kg arasında olacaktır.

- Örnek 3

% 99.7'lik bir güven marjı ile Örnek 1'de yenidoğanların ağırlık aralığını belirleyin.

Çözüm

% 99,7 güvenle örnekleme hatası 3 σ / √n'dir, bu bizim örneğimiz için E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg'dır. Buradan, yenidoğanların% 99,7'sinin 2.650 kg ile 3.550 kg arasında ağırlıkları olacağı anlaşılmaktadır.

- Örnek 4

% 75 güven düzeyi için Zγ faktörünü belirleyin. Örnek 1'de sunulan durum için bu güvenilirlik seviyesi ile örnekleme hatası marjını belirleyin.

Çözüm

Güven seviyesi γ =% 75 = 0,75 olup, α anlamlılık düzeyi α related = (1 - α) ilişkisi üzerinden ilişkilidir, dolayısıyla anlamlılık seviyesi α = 1 - 0,75 = 0 olur , 25.

Bu, -∞ ve Zγ arasındaki kümülatif normal olasılığın şu olduğu anlamına gelir:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0,125 = 0,875

Şekil 3'te gösterildiği gibi 1.1503'lük bir Zγ değerine karşılık gelir.

Şekil 3.% 75 güven düzeyine karşılık gelen Zγ faktörünün belirlenmesi. Kaynak: F. Zapata Geogebra aracılığıyla.

Diğer bir deyişle, örnekleme hatası E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1.15 ⋅ (σ / √n) 'dir.

Örnek 1'deki verilere uygulandığında, şu hata verir:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

% 75 güven seviyesi ile.

- Egzersiz 5

Z _{α / 2} = 2.4 ise güven seviyesi nedir ?

Çözüm

P (Z ≤ Z _{α / 2} ) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2.4) = 1 - α / 2 = 0.9918 → α / 2 = 1 - 0.9918 = 0.0082 → α = 0.0164

Önem düzeyi:

α = 0,0164 =% 1,64

Ve son olarak, güven seviyesi kalır:

1- α = 1 - 0,0164 =% 100 -% 1,64 =% 98,36

Referanslar

1. Canavos, G. 1988. Olasılık ve İstatistik: Uygulamalar ve yöntemler. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Olasılık ve Mühendislik ve Bilim için İstatistik. 8. Baskı. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Yöneticiler için İstatistik. 2. Baskı. Prentice Hall.
4. Sudman, S. 1982. Sorular Sormak: Anket Tasarımı İçin Pratik Bir Kılavuz. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Mühendislik ve Bilimler için Olasılık ve İstatistik. Pearson.
6. Wonnacott, TH ve RJ Wonnacott. 1990. Giriş İstatistikleri. 5. Baskı Wiley
7. Vikipedi. Örnekleme hatası. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı
8. Vikipedi. Hata payı. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı