AŞKIN FONKSIYONLAR: TÜRLERI, TANIMI, ÖZELLIKLERI, ÖRNEKLERI - MATEMATIK - 2025

İlköğretim transandantal fonksiyonlar trigonometrik fonksiyonlar, hiperbolik ters ve hiperbolik fonksiyonlar ters üstel, logaritmik, trigonometrik vardır. Yani, bir polinom, polinomların bir bölümü veya polinomların kökleri ile ifade edilemeyenlerdir.

Temel olmayan aşkın işlevler özel işlevler olarak da bilinir ve aralarında hata işlevi de adlandırılabilir. Cebirsel fonksiyonlar (polinomlar, polinomların bölümleri ve polinomların kökleri), temel aşkın fonksiyonlarla birlikte, matematikte temel fonksiyonlar olarak bilinen şeyi oluşturur.

Aşkın işlevler, aşkın işlevler arasındaki veya aşkın ve cebirsel işlevler arasındaki işlemlerden kaynaklanan işlevler olarak kabul edilir. Bu işlemler şunlardır: fonksiyonların toplamı ve farkı, fonksiyonların çarpımı ve bölümü ile iki veya daha fazla fonksiyonun bileşimi.

Tanım ve özellikler

Üstel fonksiyon

Formun gerçek bağımsız değişkeninin gerçek bir fonksiyonudur:

f (x) = a ^ x = bir ^x

burada a, taban olarak adlandırılan sabit bir pozitif gerçek sayıdır (a> 0). İnceltme işareti veya üst simge, güçlendirici işlemi belirtmek için kullanılır.

Diyelim ki a = 2, sonra fonksiyon şöyle görünür:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Bağımsız değişken x'in birkaç değeri için değerlendirilecek olan:

Aşağıda, üssel fonksiyonun, e tabanı (Neper sayısı e ≃ 2.72) dahil olmak üzere, birkaç tabanın değerleri için temsil edildiği bir grafik bulunmaktadır. E tabanı o kadar önemlidir ki, genel olarak üstel bir fonksiyondan bahsederken, aynı zamanda exp (x) olarak da adlandırılan e ^ x'i düşünürüz.

Şekil 1. a tabanının çeşitli değerleri için üstel fonksiyon a ^ x. (Kendi detaylandırma)

Üstel fonksiyonun özellikleri

Şekil 1'den, üstel fonksiyonların alanının gerçek sayılar olduğu (Dom f = R ) ve menzil veya yolun pozitif gerçekler olduğu (Ran f = R ⁺ ) gözlemlenebilir .

Öte yandan, a tabanının değerine bakılmaksızın, tüm üstel fonksiyonlar (0, 1) noktasından ve (1, a) noktasından geçer.

Baz a> 1 olduğunda, fonksiyon artmaktadır ve 0 <a <1 olduğunda fonksiyon azalmaktadır.

Y = a ^ x ve y = (1 / a) ^ x eğrileri Y ekseni etrafında simetriktir.

A = 1 durumu haricinde, üstel fonksiyon enjektedir, yani görüntünün her değerine bir ve yalnızca bir başlangıç ​​değerine karşılık gelir.

Logaritmik fonksiyon

Bir sayının logaritmasının tanımına dayanan gerçek bağımsız değişkenin gerçek bir fonksiyonudur. Bir x sayısına dayalı logaritma, x bağımsız değişkenini elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken y sayısıdır:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Yani, dayalı logaritma işlevi, temel alan üstel işlevin ters işlevidir.

Örneğin:

günlük ₂ 1 = 0, 2 ^ 0 = 1 olduğundan

Başka bir durum, log ₂ 4 = 2, çünkü 2 ^ 2 = 4

2'nin kök logaritması log ₂ √2 = ½'dir, çünkü 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, çünkü 2 ^ (- 2) = ¼

Aşağıda, çeşitli bazlarda logaritma fonksiyonunun bir grafiği bulunmaktadır.

Şekil 2. Tabanın farklı değerleri için üstel fonksiyon. (Kendi detaylandırma)

Logaritma işlevinin özellikleri

Logaritma fonksiyonu y (x) = log a (x) etki alanı, R + pozitif gerçek sayılardır . Seyahat aralık veya gerçek sayılardır R .

Tabandan bağımsız olarak, logaritma fonksiyonu her zaman (1,0) noktasından geçer ve (a, 1) noktası o fonksiyonun grafiğine aittir.

A tabanının birden büyük olması durumunda (a> 1), logaritma fonksiyonu artar. Ama (0 <a <1) ise azalan bir fonksiyondur.

Sinüs, Kosinüs ve Tanjant İşlevleri

Sinüs işlevi, bir gerçek sayı ve her bir x değerine atar; burada x, radyan cinsinden bir açının ölçüsünü temsil eder. Bir açının Sen (x) değerini elde etmek için, açı birim daire içinde temsil edilir ve söz konusu açının dikey eksen üzerindeki izdüşümü, bu açıya karşılık gelen sinüstür.

Çeşitli açısal değerler X1, X2, X3 ve X4 için trigonometrik daire ve sinüs aşağıda gösterilmiştir (Şekil 3'te).

Şekil 3. Trigonometrik daire ve çeşitli açıların sinüsü. (Kendi detaylandırma)

Bu şekilde tanımlandığında, Sen (x) fonksiyonunun sahip olabileceği maksimum değer 1'dir; bu, x = π / 2 + 2π n olduğunda meydana gelir, burada n bir tam sayıdır (0, ± 1, ± 2,). Sen (x) fonksiyonunun alabileceği minimum değer x = 3π / 2 + 2π n olduğunda ortaya çıkar.

Kosinüs fonksiyonu y = Cos (x) benzer bir şekilde tanımlanır, ancak açısal konumların P1, P2, vb. Projeksiyonu trigonometrik dairenin yatay ekseninde yapılır.

Öte yandan, y = Tan (x) fonksiyonu, sinüs fonksiyonu ile kosinüs fonksiyonu arasındaki bölümdür.

Aşağıda Sen (x), Cos (x) ve Tan (x) gibi aşkın fonksiyonların bir grafiği bulunmaktadır.

Şekil 4. Transandant fonksiyonların grafiği, Sinüs, Kosinüs ve Tanjant. (Kendi detaylandırma)

Türevler ve integraller

Üstel fonksiyonun türevi

Üstel y = a ^ x fonksiyonunun y 'türevi, a ^ x fonksiyonunun, a tabanının doğal logaritması ile çarpımıdır:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

E tabanının özel durumunda, üstel fonksiyonun türevi, üstel fonksiyonun kendisidir.

Üstel fonksiyonun integrali

A ^ x'in belirsiz integrali, fonksiyonun kendisinin tabanın doğal logaritmasına bölünmesidir.

E tabanının özel durumunda, üstel fonksiyonun integrali, üstel fonksiyonun kendisidir.

Transandantal fonksiyonların türev ve integral tablosu

Aşağıda ana aşkın fonksiyonların, bunların türevlerinin ve belirsiz integrallerin (ters türevler) özet bir tablosu bulunmaktadır:

Bazı aşkın fonksiyonlar için türev ve belirsiz integral tablosu. (Kendi detaylandırma)

Örnekler

örnek 1

F (x) = x ^ 3 fonksiyonunun g (x) = cos (x) fonksiyonuyla bileşiminden ortaya çıkan fonksiyonu bulun:

(sis) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Türevi ve belirsiz integrali:

Örnek 2

G fonksiyonunun f fonksiyonuyla bileşimini bulun; burada g ve f, önceki örnekte tanımlanan fonksiyonlardır:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Fonksiyonların bileşiminin değişmeli bir işlem olmadığı unutulmamalıdır.

Bu fonksiyon için türev ve belirsiz integral sırasıyla şunlardır:

İntegral gösterildi çünkü sonucu tam olarak temel fonksiyonların bir kombinasyonu olarak yazmak mümkün değil.

Referanslar

1. Tek Değişkenli Hesap. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 Kasım 2008
2. Örtük Fonksiyon Teoremi: Tarih, Teori ve Uygulamalar. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 Kasım. 2012
3. Çok Değişkenli Analiz. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 Aralık. 2010
4. Sistem Dinamiği: Mekatronik Sistemlerin Modellenmesi, Simülasyonu ve Kontrolü. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Mar 2012
5. Matematik: Matematik ve Modelleme. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 Ocak 1999
6. wikipedia. Aşkın işlev. Kurtarıldı: es.wikipedia.com