SERBESTLIK DERECELERI: NASIL HESAPLANIR, TÜRLERI, ÖRNEKLERI - DUDAS - 2026

Serbestlik derecesi istatistiklerinde rasgele vektörün özerk parçalar sayısıdır. Vektörün n bileşeni varsa ve bileşenleriyle ilişkili p doğrusal denklem varsa, o zaman serbestlik derecesi np'dir.

Serbestlik derecesi kavramı, aynı zamanda, parçacığın hareket ettiği uzay boyutunun eksi bağ sayısı ile kabaca eşdeğer olduğu teorik mekanikte de ortaya çıkar.

Şekil 1. Bir sarkaç iki boyutta hareket eder, ancak sadece bir derece serbestliğe sahiptir çünkü L yarıçaplı bir yayda hareket etmeye zorlanır. Kaynak: F. Zapata.

Bu makale, istatistiğe uygulanan serbestlik derecesi kavramını tartışacaktır, ancak mekanik bir örneği geometrik biçimde görselleştirmek daha kolaydır.

Serbestlik derecesi türleri

Uygulandığı bağlama bağlı olarak, serbestlik derecelerinin sayısını hesaplamanın yolu değişebilir, ancak temelde yatan fikir her zaman aynıdır: toplam boyutlar eksi kısıtlama sayısı.

Mekanik bir durumda

Dikey xy düzleminde (2 boyut) hareket eden bir sicime (sarkaç) bağlı salınan bir parçacığı düşünelim. Bununla birlikte, parçacık, kirişin uzunluğuna eşit yarıçapın çevresinde hareket etmeye zorlanır.

Parçacık sadece bu eğri üzerinde hareket edebileceğinden, serbestlik derecesi sayısı 1'dir. Bu, şekil 1'de görülebilir.

Serbestlik derecelerinin sayısını hesaplamanın yolu, boyutların sayısı ile kısıtlama sayısı arasındaki farkın alınmasıdır:

serbestlik derecesi: = 2 (boyutlar) - 1 (bitişik) = 1

Sonuca ulaşmamızı sağlayan bir başka açıklama da şudur:

-İki boyuttaki konumun bir koordinat noktasıyla (x, y) temsil edildiğini biliyoruz.

-Ama nokta, x değişkeninin belirli bir değeri için çevrenin denklemine (x ² + y ² = L ² ) uyması gerektiğinden , y değişkeni söz konusu denklem veya kısıtlama ile belirlenir.

Bu şekilde, değişkenlerden yalnızca biri bağımsızdır ve sistemin bir (1) serbestlik derecesi vardır.

Rastgele değerler kümesinde

Kavramın ne anlama geldiğini göstermek için vektörün

x = (x ₁ , x ₂ ,…, x _n )

Normal olarak dağılan n rastgele değerlerin örneğini temsil eder. Bu durumda, rastgele vektör x'in n bağımsız bileşeni vardır ve bu nedenle x'in n serbestlik derecesine sahip olduğu söylenir .

Şimdi artıkların r vektörünü oluşturalım

r = (x ₁ -, x ₂ -,…., X _n -)

Nerede aşağıdaki şekilde hesaplanan örnek ortalamasını temsil eder:

= (x ₁ + x ₂ +…. + x _n ) / n

Yani toplam

(x ₁ -) + (x ₂ -) +…. + (X _n -) = (x ₁ + x ₂ +…. + x _n ) - n= 0

Tortuların r vektörünün elemanlarında bir kısıtlamayı (veya bağlanmayı) temsil eden bir denklemdir , çünkü r vektörünün n-1 bileşenleri biliniyorsa , kısıtlama denklemi bilinmeyen bileşeni belirler.

Bu nedenle, kısıtlama ile n boyutunun r vektörü :

∑ (x _ben -) = 0

(N - 1) serbestlik derecesine sahiptir.

Yine serbestlik derecesi sayısının hesaplanmasının şöyle olduğu uygulanmaktadır:

serbestlik derecesi: = n (boyutlar) - 1 (kısıtlamalar) = n-1

Örnekler

Varyans ve serbestlik derecesi

Varyans s ² , n veri örneğinin sapmalarının (veya artıklarının) karesinin ortalaması olarak tanımlanır:

s ² = ( r • r ) / (n-1)

burada r, artıklar vektörüdür r = (x1 -, x2 - ,…., Xn - ) ve kalın nokta (•) iç çarpım operatörüdür. Alternatif olarak, varyans formülü aşağıdaki gibi yazılabilir:

s ² = ∑ (x _ben -) ² / (n-1)

Her durumda, artıkların karesinin ortalamasını hesaplarken, n'ye değil (n-1) 'e bölündüğüne dikkat edilmelidir, çünkü önceki bölümde tartışıldığı gibi, r vektörünün serbestlik derecesi sayısı ( n-1).

Varyans hesaplaması için (n-1) yerine n'ye bölünmüş olsaydı, sonuç, 50'den küçük n değerleri için oldukça anlamlı bir sapmaya sahip olurdu.

Literatürde, bir popülasyonun varyansı söz konusu olduğunda, varyans formülü (n-1) yerine bölen n ile de görülmektedir.

Ancak, r vektörü ile temsil edilen kalıntıların rastgele değişkeni kümesi, n boyutuna sahip olmasına rağmen, yalnızca (n-1) serbestlik derecesine sahiptir. Bununla birlikte, veri sayısı yeterince büyükse (n> 500), her iki formül de aynı sonuca yakınsar.

Hesap makineleri ve elektronik tablolar, varyansın ve standart sapmanın (varyansın karekökü olan) her iki versiyonunu da sağlar.

Burada sunulan analiz ışığında tavsiyemiz, yanlı sonuçlardan kaçınmak için her zaman varyans veya standart sapmanın hesaplanması gerektiğinde (n-1) içeren sürümü seçmektir.

Ki kare dağılımında

Sürekli rastgele değişkendeki bazı olasılık dağılımları, serbestlik derecesi adı verilen bir parametreye bağlıdır, bu Ki kare dağılımı durumudur (χ ² ).

Bu parametrenin adı, tam olarak bu dağılımın uygulandığı temeldeki rastgele vektörün serbestlik derecesinden gelir.

N büyüklüğünde örneklerin alındığı g popülasyonumuz olduğunu varsayalım:

X ₁ = (x1 ₁ , x1 ₂ ,… ..x1 _n )

X2 = (x2 ₁ , x2 ₂ ,… ..x2 _n )

….

X _j = (xj ₁ , xj ₂ ,… ..xj _n )

….

Xg = (xg ₁ , xg ₂ ,… ..xg _n )

Anlamına gelen bir popülasyon j ve standart sapma Sj, normal dağılım N'yi izler ( , Sj).

Standartlaştırılmış veya normalleştirilmiş değişken zj _i şu şekilde tanımlanır:

zj _i = (xj _ben - ) / Sj.

Ve Zj vektörü şu şekilde tanımlanır:

Zj = ( zj ₁ , zj ₂ ,…, zj _i ,…, zj _n ) ve standartlaştırılmış normal dağılım N (0,1) izler.

Yani değişken:

Q = ((z1 ₁ ^ 2 + z2 ₁ ^ 2 +…. + Zg ₁ ^ 2),…., (Z1 _n ^ 2 + z2 _n ^ 2 +…. + Zg _n ^ 2))

g serbestlik derecesi ile ki kare dağılımı olarak adlandırılan χ ² (g) dağılımını takip eder .

Hipotez testinde (Çözülmüş örnekle)

Belirli bir rastgele veri setine dayalı hipotezleri test etmek istediğinizde, Ki-kare testini uygulamak için g serbestlik derecesi sayısını bilmeniz gerekir.

Şekil 2. Dondurma LEZZETİ tercihi ile müşterinin CİNSİYETİ arasında bir ilişki var mı? Kaynak: F. Zapata.

Örnek olarak, belirli bir dondurma salonunda kadın ve erkeklerin çikolatalı veya çilekli dondurma tercihlerine ilişkin toplanan veriler analiz edilecektir. Erkeklerin ve kadınların çilek veya çikolatayı seçme sıklığı Şekil 2'de özetlenmiştir.

İlk olarak, satırların toplamının sütunların toplamıyla çarpılmasıyla hazırlanan beklenen frekanslar tablosu hesaplanır ve toplam verilere bölünür. Sonuç aşağıdaki şekilde gösterilmektedir:

Şekil 3. Gözlemlenen frekanslara dayalı olarak beklenen frekansların hesaplanması (şekil 2'deki mavi değerler). Kaynak: F. Zapata.

Ardından, aşağıdaki formül kullanılarak Ki kare hesaplanır (verilerden):

χ ² = ∑ (F _o - F _e ) ² / F _e

F _o gözlenen frekanslar ise (Şekil 2) ve F _e beklenen frekanslardır (Şekil 3). Toplama, örneğimizde dört terim veren tüm satır ve sütunları kapsar.

İşlemleri yaptıktan sonra alırsınız:

χ ² = 0.2043.

Şimdi, serbestlik derecesi g sayısına bağlı olan teorik Ki kare ile karşılaştırmak gerekiyor.

Bizim durumumuzda bu sayı şu şekilde belirlenir:

g = (# satır - 1) (# sütunlar - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 * 1 = 1.

Bu örnekte g serbestlik derecesi sayısının 1 olduğu ortaya çıktı.

Sıfır hipotezini (H0: TASTE ve CİNSİYET arasında hiçbir korelasyon yoktur)% 1 anlamlılık düzeyinde kontrol etmek veya reddetmek istiyorsanız, teorik Ki-kare değeri g = 1 serbestlik derecesi ile hesaplanır.

Toplam frekansı (1 - 0.01) = 0.99, yani% 99 yapan değer aranır. Bu değer (tablolardan elde edilebilecek) 6.636'dır.

Teorik Chi hesaplanan değeri aştığında, sıfır hipotezi doğrulanır.

Diğer bir deyişle toplanan verilerle TAT ve CİNSİYET değişkenleri arasında herhangi bir ilişki görülmemektedir.

Referanslar

1. Minitab. Serbestlik dereceleri nelerdir? Support.minitab.com adresinden kurtarıldı.
2. Moore, David. (2009) Temel uygulamalı istatistikler. Antoni Bosch editörü.
3. Leigh, Jennifer. İstatistiksel modellerde serbestlik dereceleri nasıl hesaplanır. Kurtarıldı: geniolandia.com
4. Vikipedi. Serbestlik derecesi (istatistikler). Kurtarıldı: es.wikipedia.com
5. Vikipedi. Serbestlik derecesi (fiziksel). Kurtarıldı: es.wikipedia.com