KOŞULLU OLASILIK: FORMÜL VE DENKLEMLER, ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER - DUDAS - 2024

Şartlı olasılık başka bir şart olarak meydana verilen belirli bir olayın meydana gelme olasılığı vardır. Bu ek bilgi, bir şeyin olacağına dair algıyı değiştirebilir (veya değiştirmeyebilir).

Örneğin, kendimize sorabiliriz: "İki gündür yağmur yağmadığı için bugün yağmur yağma olasılığı nedir?" Olasılığı bilmek istediğimiz olay bugün yağmur yağmasıdır ve cevabı şartlandıracak ek bilgi ise "iki gündür yağmur yağmamış".

Şekil 1. Dün yağmur yağması nedeniyle bugün yağmur yağma olasılığı da şartlı olasılık örneğidir. Kaynak: Pixabay.

Bir olasılık uzayı Ω (örnek uzay), ℬ (rastgele olaylar) ve P (her olayın olasılığı) artı ℬ'ya ait A ve B olaylarından oluşsun.

B'nin meydana geldiği göz önüne alındığında, P (AB) olarak gösterilen, A'nın ortaya çıkma koşullu olasılığı aşağıdaki gibi tanımlanır:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A ve B) / P (B)

Burada: P (A), A'nın gerçekleşme olasılığı, P (B), B olayının olasılığıdır ve 0'dan farklıdır ve P (A∩B), A ile B arasındaki kesişme olasılığıdır, yani, , her iki olayın da meydana gelme olasılığı (ortak olasılık).

Bu, İngiliz teolog ve matematikçi Thomas Bayes tarafından 1763'te önerilen iki olaya uygulanan Bayes teoreminin bir ifadesidir.

Özellikleri

-Tüm koşullu olasılık 0 ile 1 arasındadır:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Söz konusu olayın meydana geldiği göz önüne alındığında, A olayının meydana gelme olasılığı açıkça 1'dir:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-İki olay münhasırsa, yani eşzamanlı olarak gerçekleşemeyen olaylar varsa, kesişim sıfır olduğu için bunlardan birinin gerçekleşmesi koşullu olasılığı 0'dır:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-B, A'nın bir alt kümesiyse, koşullu olasılık da 1'dir:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Önemli

P (A│B) genellikle P (B│A) 'ya eşit değildir, bu nedenle koşullu olasılığı bulurken olayları birbiriyle değiştirmemeye dikkat etmeliyiz.

Genel çarpma kuralı

Çoğu zaman koşullu olasılık yerine ortak olasılık P'yi (A∩B) bulmak istersiniz. Sonra, aşağıdaki teoremle elimizde:

P (A∩B) = P (A ve B) = P (A│B). P (B)

Teorem A, B ve C olmak üzere üç olay için genişletilebilir:

P (A∩B∩C) = P (A ve B ve C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Ayrıca A ₁ , A ₂ , A ₃ ve daha fazlası gibi çeşitli olaylar için de şu şekilde ifade edilebilir:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Sırayla ve farklı aşamalardan meydana gelen olaylar söz konusu olduğunda, verileri bir diyagram veya bir tabloda düzenlemek uygundur. Bu, istenen olasılığa ulaşma seçeneklerini görselleştirmeyi kolaylaştırır.

Örnekler ağaç diyagramı ve beklenmedik durum tablosudur. Birinden diğerini inşa edebilirsiniz.

Koşullu olasılık örnekleri

Bir olayın olasılıklarının diğerinin meydana gelmesi ile değiştiği bazı durumlara bakalım:

- Örnek 1

Bir şekerci dükkanında iki çeşit kek satılır: çilek ve çikolata. Her iki cinsiyetten 50 müşterinin tercihleri ​​kaydedilerek aşağıdaki değerler belirlendi:

-27 kadın, 11'i çilekli pasta ve 16'sı çikolata tercih ediyor.

-23 erkek: 15'i çikolata ve 8'i çilek.

Bir müşterinin bir çikolatalı kek seçme olasılığı, herhangi bir olayın olasılığının aşağıdaki gibi olduğu Laplace kuralı uygulanarak belirlenebilir:

P = olumlu olay sayısı / toplam olay sayısı

Bu durumda 50 müşteriden 31'i çikolatayı tercih ediyor, dolayısıyla olasılık P = 31/50 = 0.62 olacaktır. Yani müşterilerin% 62'si çikolatalı kek tercih ediyor.

Ama müşteri bir kadın olsa farklı olur muydu? Bu bir koşullu olasılık durumudur.

Olasılık tablosu

Bunun gibi bir beklenmedik durum tablosu kullanılarak toplamlar kolayca görüntülenir:

Daha sonra olumlu durumlar gözlemlenir ve Laplace kuralı uygulanır, ancak önce olayları tanımlarız:

-B "kadın müşteri" olayıdır.

-A, bir kadın olarak "çikolatalı kek tercih et" etkinliği.

"Kadın" başlıklı sütuna gidiyoruz ve orada toplamın 27 olduğunu görüyoruz.

Daha sonra "çikolata" sırasında uygun durum aranır. Bu olaylardan 16'sı var, bu nedenle aranan olasılık doğrudan:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

Kadın müşterilerin% 59,24'ü çikolatalı kek tercih ediyor.

Bu değer, onu başlangıçta verilen koşullu olasılık tanımıyla karşılaştırdığımızda eşleşir:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Laplace kuralını ve tablo değerlerini kullandığınızdan emin oluruz:

P (B) = 27/50

P (A ve B) = 16/50

P (A ve B), müşterinin çikolatayı tercih etme ve bir kadın olma olasılığıdır. Şimdi değerler değiştirilir:

P (A│B) = P (A ve B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Ve sonucun aynı olduğu kanıtlanmıştır.

- Örnek 2

Bu örnekte çarpma kuralı geçerlidir. Bir mağazada sergilenen üç beden pantolon olduğunu varsayalım: küçük, orta ve büyük.

Her biri 8 beden olan ve hepsi karışık toplam 24 pantolonun olduğu bir partide, ikisini çıkarma ve ikisinin de küçük olma olasılığı ne olurdu?

İlk denemede küçük bir pantolonu çıkarma olasılığının 8/24 = 1/3 olduğu açıktır. Şimdi, ikinci çıkarma, ilk olay için şartlıdır, çünkü bir pantolon çıkarılırken artık 24 değil 23 vardır. Ve eğer küçük bir pantolon çıkarılırsa, 8 yerine 7 vardır.

Olay A, ilk denemede bir tane daha çeken küçük bir pantolon çekmektir. Ve B etkinliği, ilk kez küçük pantolonlu olandır. Böylece:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Son olarak, çarpma kuralını kullanarak:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Egzersiz çözüldü

Ticari hava uçuşlarında dakiklik üzerine yapılan bir çalışmada aşağıdaki veriler mevcuttur:

-P (B) = 0.83, bir uçağın zamanında kalkma olasılığıdır.

-P (A) = 0.81, zamanında iniş olasılığıdır.

-P (B∩A) = 0.78, uçağın zamanında kalkarken zamanında varma olasılığıdır.

Hesaplanması istenir:

a) Zamanında kalktığı için uçağın zamanında inme olasılığı nedir?

b) Yukarıdaki olasılık, zamanında inmeyi başardıysanız, zamanında bırakma olasılığınızla aynı mı?

c) Ve son olarak: Zamanında ayrılmadığı göz önüne alındığında, zamanında varma olasılığı nedir?

Şekil 2. Ticari uçuşlarda dakiklik önemlidir, çünkü gecikmeler milyonlarca dolar kayıp oluşturur. Kaynak: Pixabay.

Çözüm

Soruyu cevaplamak için koşullu olasılık tanımı kullanılır:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A ve B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Çözüm b

Bu durumda tanımdaki olaylar değiş tokuş edilir:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A ve B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Daha önce belirttiğimiz gibi, bu olasılığın öncekinden biraz farklı olduğuna dikkat edin.

Çözüm c

Zamanında ayrılmama olasılığı 1 - P (B) = 1 - 0.83 = 0.17'dir, buna P (B ^C ) diyeceğiz çünkü zamanında kalkmak tamamlayıcı olaydır. Aranan koşullu olasılık:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A ve B ^C ) / P (B ^C )

Diğer yandan:

P (A∩B ^C ) = P (iniş zamanında) - P (zamanında iniş ve kalkış zamanında) = 0.81-0.78 = 0.03

Bu durumda aranan koşullu olasılık şudur:

P (AB ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Referanslar

1. Canavos, G. 1988. Olasılık ve İstatistik: Uygulamalar ve yöntemler. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Olasılık ve Mühendislik ve Bilim için İstatistik. 8. Baskı. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Serisi: Olasılık. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Olasılık Teorisi. Editör Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Mühendislik ve Bilimler için Olasılık ve İstatistik. Pearson.
6. Vikipedi. Şartlı olasılık. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.