İSTATISTIKLERDE SIRA NEDIR? (ÖRNEKLERLE) - DUDAS - 2026

Aralık , aralık veya amplitüd, istatistik olarak, maksimum değer ve bir örnekte ya da bir popülasyondan bir veri setinin minimum değer arasındaki fark (çıkarma) 'dir. Aralık R harfiyle temsil ediliyorsa ve veriler x ile temsil ediliyorsa, aralığın formülü basitçe şöyledir:

R = x _maks - x _min

Burada x _max , verilerin maksimum değeridir ve x _min minimumdur.

Şekil 1. Cádiz'in son iki yüzyıldaki nüfusuna karşılık gelen veri aralığı. Kaynak: Wikimedia Commons.

Kavram, verilerin değişkenliğini hızlı bir şekilde değerlendirmek için basit bir dağılım ölçüsü olarak çok kullanışlıdır, çünkü bunların bulunduğu aralığın uzantısını veya uzunluğunu gösterir.

Örneğin, bir üniversitedeki 25 erkek mühendislik öğrencisi grubunun boyunun ölçüldüğünü varsayalım. Gruptaki en uzun öğrenci 1.93 m ve en kısa 1.67 m'dir. Bunlar, örnek verilerin uç değerleridir, dolayısıyla yolları:

R = 1.93 - 1.67 m = 0.26 m veya 26 cm.

Bu gruptaki öğrencilerin boyu bu aralıkta dağıtılır.

Avantajlar ve dezavantajlar

Aralık, daha önce de söylediğimiz gibi, verilerin ne kadar yayıldığının bir ölçüsüdür. Küçük bir aralık, verilerin az ya da çok yakın olduğunu ve yayılmanın düşük olduğunu gösterir. Öte yandan, daha geniş bir aralık, verilerin daha dağınık olduğunun göstergesidir.

Menzili hesaplamanın avantajları açıktır: Basit bir fark olduğu için bulması çok kolay ve hızlıdır.

Ayrıca çalıştığı verilerle aynı birimlere sahiptir ve kavramın herhangi bir gözlemci için yorumlanması çok kolaydır.

Mühendislik öğrencilerinin boyları örneğinde, aralık 5 cm olsaydı, öğrencilerin hepsinin yaklaşık olarak aynı büyüklükte olduğunu söyleyebiliriz. Ancak 26 cm'lik bir aralıkla, numunede tüm orta boylarda öğrencilerin olduğunu hemen varsayıyoruz. Bu varsayım her zaman doğru mudur?

Bir dağılım ölçüsü olarak aralığın dezavantajları

Dikkatle bakarsak, 25 mühendislik öğrencisinden oluşan örneklemimizde, bunlardan sadece birinin 1,93 ölçüsü ve kalan 24'ün 1,67 m'ye yakın yükseklikleri olabilir.

Yine de, tam tersi mümkün olsa da, menzil aynı kalır: çoğunluğun yüksekliği yaklaşık 1,90 m ve yalnızca birinin 1,67 m olduğu.

Her iki durumda da verilerin dağılımı oldukça farklıdır.

Bir dağılım ölçüsü olarak aralığın dezavantajları, yalnızca aşırı değerleri kullanması ve diğerlerini göz ardı etmesidir. Bilgilerin çoğu kaybolduğundan, örnek verilerin nasıl dağıtıldığı hakkında hiçbir fikriniz yok.

Bir diğer önemli özellik ise numune aralığının asla azalmamasıdır. Daha fazla bilgi eklersek, yani daha fazla veriyi dikkate alırız, aralık artar veya aynı kalır.

Ve her halükarda, sadece küçük numunelerle çalışırken kullanışlıdır, tek başına büyük numunelerde dağılım ölçüsü olarak kullanılması tavsiye edilmez.

Yapılması gereken, onu, toplam veriler tarafından sağlanan bilgileri hesaba katan diğer dağılım ölçülerinin hesaplanmasıyla tamamlamaktır: çeyrekler arası aralık, varyans, standart sapma ve varyasyon katsayısı.

Çeyrekler arası aralık, çeyrekler ve çalışılan örnek

Bir dağılım ölçüsü olarak aralığın zayıflığının, diğerlerini çıkararak, yalnızca veri dağılımının uç değerlerinden yararlanması olduğunu fark ettik.

Bu rahatsızlığı önlemek için çeyrekler kullanılır: konum ölçümleri olarak bilinen üç değer.

Gruplanmamış verileri dört bölüme dağıtırlar (yaygın olarak kullanılan diğer konum ölçüleri ondalık ve yüzdelik dilimlerdir). Özellikleri şunlardır:

-İlk dörtte Q ₁ hepsinin bu şekilde% 25 Q daha az bir veri değeri ₁ .

- İkinci çeyrek Q ₂ dağılımın medyanıdır, yani verilerin yarısının (% 50) bu değerden daha az olduğu anlamına gelir.

-Son olarak, üçüncü çeyrek Q ₃ , verilerin% 75'inin Q _3'ten az olduğunu gösterir .

Daha sonra, çeyrekler arası aralık veya çeyrekler arası aralık, verilerin üçüncü çeyrek Q ₃ ile birinci çeyrek Q ₁ arasındaki fark olarak tanımlanır :

Çeyrekler arası aralık = R _Q = Q ₃ - Q ₁

Bu şekilde, R _Q aralığının değeri uç değerlerden çok etkilenmez. Bu nedenle, yukarıda açıklanan çok uzun veya çok kısa öğrenciler gibi çarpık dağılımlarla uğraşırken kullanılması tavsiye edilir.

- Çeyreklerin hesaplanması

Bunları hesaplamanın birkaç yolu vardır, burada bir tane önereceğiz, ancak her durumda , dağıtımda ilgili çeyreğin kapladığı yer olan "N _o " sipariş numarasını bilmek gerekir .

Kendisine, örneğin eğer Q karşılık gelir teriminin ₁ ikinci, üçüncü ya da dördüncü ve bu dağılımın üzerindedir.

İlk çeyrek

N _veya (Q ₁ ) = (N + 1) / 4

İkinci çeyrek veya medyan

N _veya (Q ₂ ) = (N + 1) / 2

Üçüncü çeyrek

N _veya (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4

N, veri sayısıdır.

Ortanca, dağılımın tam ortasındaki değerdir. Veri sayısı tuhafsa, bulmada sorun yoktur, ancak çift ise, o zaman iki merkezi değerin ortalaması alınarak bir olur.

Sipariş numarası hesaplandıktan sonra şu üç kuraldan biri takip edilir:

- Ondalık sayı yoksa dağılımda belirtilen veriler aranır ve bu aranan çeyrek olacaktır.

-Sıra numarası ikinin ortasına geldiğinde, tamsayı kısmıyla gösterilen verilerin aşağıdaki verilerle ortalaması alınır ve sonuç ilgili çeyrektir.

-Başka bir durumda, en yakın tam sayıya yuvarlanır ve bu, dörtte birlik bölümün konumu olur.

Çalışılan örnek

0 ile 20 arasında bir ölçekte, 16 matematik I öğrencisi bir grup ara sınavda aşağıdaki notları (puanları) kazandı:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

Bul:

a) Verinin aralığı veya aralığı.

b) Q ₁ ve Q ₃ çeyreklerinin değerleri

c) Çeyrekler arası aralık.

Şekil 2. Bu matematik testindeki puanlar bu kadar değişkenliğe sahip mi? Kaynak: Pixabay.

Çözüm

Rotayı bulmak için yapılacak ilk şey, verileri artan veya azalan sırada sıralamaktır. Örneğin artan sırayla şunlara sahipsiniz:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Başlangıçta verilen formülü kullanarak: R = x _max - x _min

R = 20 - 1 puan = 19 puan.

Sonuca göre bu derecelendirmelerin büyük bir dağılımı var.

Çözüm b

N = 16

N _veya (Q ₁ ) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4,25

Tamsayı kısmı 4 olan ondalıklı bir sayıdır. Sonra dağılıma gidiyoruz, dördüncü sırayı kaplayan veriyi arıyoruz ve değerinin beşinci konumunki ile ortalaması alınır. İkisi de 9 olduğundan, ortalama da 9'dur ve öyledir:

S ₁ = 9

Şimdi Q _3'ü bulmak için prosedürü tekrarlıyoruz :

N _veya (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12,75

Yine bir ondalıktır, ancak yarı yolda olmadığı için 13'e yuvarlanır. Aranan çeyrek on üçüncü sırayı alır ve şu şekildedir:

Q ₃ = 16

Çözüm c

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16 - 9 = 7 puan.

Gördüğümüz gibi, bölüm a) 'da hesaplanan veri aralığından çok daha küçük, çünkü minimum puan 1 puan, geri kalanından çok daha uzak bir değer.

Referanslar

1. Berenson, M. 1985. Yönetim ve ekonomi için istatistik. Interamericana SA
2. Canavos, G. 1988. Olasılık ve İstatistik: Uygulamalar ve yöntemler. McGraw Hill.
3. Devore, J. 2012. Olasılık ve Mühendislik ve Bilim için İstatistik. 8. Baskı. Cengage.
4. Çeyreklik örnekleri. Kurtarıldı: matematicas10.net.
5. Levin, R. 1988. Yöneticiler için İstatistik. 2. Baskı. Prentice Hall.
6. Walpole, R. 2007. Mühendislik ve Bilimler için Olasılık ve İstatistik. Pearson.