VEKTÖR: ÖZELLIKLER VE ÖZELLIKLER, ELEMANLAR, TÜRLER, ÖRNEKLER - BILIM - 2025

Vektörleri genel olarak iyi bir ölçüm biriminin -positiva- büyüklüğü ve yönü ile eşlik eden matematiksel varlıklardır. Bu tür özellikler hız, kuvvet, ivme ve daha pek çok şey gibi fiziksel büyüklükleri tanımlamak için çok uygundur.

Vektörler ile toplama, çıkarma ve ürün gibi işlemler yapmak mümkündür. Bölme, vektörler için tanımlanmamıştır ve ürüne gelince, daha sonra açıklayacağımız üç sınıf vardır: iç çarpım veya nokta, vektör çarpımı veya çapraz ve bir vektörün skaler çarpımı.

Şekil 1. Bir vektörün elemanları. Kaynak: Wikimedia Commons.

Bir vektörü tam olarak tanımlamak için, tüm özelliklerinin belirtilmesi gerekir. Büyüklük veya modül, bir birimin eşlik ettiği sayısal bir değerdir, yön ve algı ise bir koordinat sistemi yardımıyla belirlenir.

Bir örneğe bakalım: Bir uçağın bir şehirden diğerine 850 km / s hızla NE yönünde uçtuğunu varsayalım. Burada, büyüklük mevcut olduğundan tam olarak belirlenmiş bir vektöre sahibiz: 850 km / s, yön ve duyu NE ise.

Vektörler genellikle, uzunlukları büyüklükle orantılı olan yönlendirilmiş çizgi segmentleri ile grafik olarak temsil edilir.

Yönü ve algılama yönünü belirtmek için, genellikle yatay eksen olan bir referans çizgisi gerekli olsa da, kuzey de referans olarak alınabilir, ancak düzlemin hızı söz konusu olduğunda:

Şekil 2. Bir hız vektörü. Kaynak: F. Zapata.

Olarak gösterilen düzlemin hız vektörü şekil gösterir v içinde koyu olarak , yalnızca sayısal değer gerektiren bir skalar miktar ve bir birimden ayırmak için belirtilecektir.

Bir vektörün unsurları

Söylediğimiz gibi, vektörün elemanları:

-Büyüklük veya modül, bazen vektörün mutlak değeri veya normu olarak da adlandırılır.

-Adres

-Sense

Şekil 2'deki örnekte, v modülü 850 km / saattir. Modülüs, kalın olmadan v olarak veya çubukların mutlak değeri temsil ettiği - v - olarak belirtilir .

Yönü v North bağlı olarak belirtilir. Bu durumda 45º Kuzey Doğu (45º KD). Son olarak okun ucu v'nin anlamı hakkında bilgi verir .

Bu örnekte, vektörün orijini koordinat sisteminin orijini O ile çakışarak çizilmiştir, bu bağlantılı vektör olarak bilinir. Öte yandan, vektörün orijini, referans sisteminkiyle çakışmazsa, bunun bir serbest vektör olduğu söylenir.

Vektörü tam olarak belirtmek için bu üç öğenin not edilmesi gerektiğine dikkat edilmelidir, aksi takdirde vektörün açıklaması eksik olacaktır.

Bir vektörün dikdörtgen bileşenleri

Şekil 3. Düzlemdeki bir vektörün dikdörtgen bileşenleri. Kaynak: Wikimedia Commons. uranther

Resimde , xy düzlemindeki örnek vektörümüz v'yi geri aldık .

X ve y koordinat eksenlerindeki v'nin izdüşümlerinin bir dik üçgen belirlediğini görmek kolaydır. Bu çıkıntılar V olan _{, y ve} v _X ve dikdörtgen bileşenleri de denir v .

Anlamında olabildikleri bir yolu v dikdörtgen bileşenleri tarafından şu şekildedir: v =x, v _ve >. Bu köşeli parantezler, bunun bir nokta değil vektör olduğunu vurgulamak için parantez yerine kullanılır, çünkü bu durumda parantezler kullanılacaktır.

Vektör üç boyutlu uzaydaysa, bir bileşene daha ihtiyaç vardır, böylece:

v =x, v _y , v _z >

Bacaklar h olan dik üçgenin hipotenüs bulma eşdeğer vektörün büyüklüğü hesaplanır dikdörtgen bileşenleri bilmek _x ve v _{ve ,.} Pisagor teoremi aracılığıyla şunu takip eder:

Bir vektörün kutupsal formu

Vektörün büyüklüğü - v - ve referans eksenle yaptığı angle açısı, genellikle yatay eksen bilindiğinde, vektör de belirtilir. Vektörün daha sonra kutupsal biçimde ifade edildiği söylenir.

Bu durumda dikdörtgen bileşenler kolayca hesaplanır:

Yukarıdakine göre , düzlemin hız vektörünün v dikdörtgen bileşenleri şöyle olacaktır:

Türleri

Birkaç tür vektör vardır. Hız, konum, yer değiştirme, kuvvet, elektrik alanı, momentum ve çok daha fazlası vektörleri vardır. Daha önce de söylediğimiz gibi, fizikte çok sayıda vektör niceliği vardır.

Belirli özelliklere sahip vektörlerle ilgili olarak, aşağıdaki vektör türlerinden bahsedebiliriz:

-Null : Bu, büyüklüğü 0 olan ve denmektedir vektörlerdir 0 normal harf sadece modül temsil ederken koyu harf, bir vektör üç temel özelliğini temsil eder unutmayın.

Örneğin, statik dengede olan bir cisimde, kuvvetlerin toplamı bir sıfır vektör olmalıdır.

- Serbest ve bağlantılı : Serbest vektörler, orijini onları tanımlamak için kullanılan referans sisteminkiyle çakışan bağlantılı vektörlerin aksine, başlangıç ​​ve varış noktaları düzlemde veya uzayda herhangi bir nokta çifti olanlardır.

Bir çift kuvvetin ürettiği çift veya moment, serbest vektörün iyi bir örneğidir, çünkü çift belirli bir noktaya uygulanmaz.

- Equipolentes : aynı özellikleri paylaşan iki ücretsiz vektördür. Bu nedenle eşit büyüklük, yön ve anlama sahiptirler.

- Eş düzlemli veya eş düzlemli : aynı düzleme ait vektörler.

- Zıtlar : aynı büyüklük ve yöne, ancak ters yönlere sahip vektörler. Bir v vektörünün karşısındaki vektör - v vektörüdür ve her ikisinin toplamı boş vektördür: v + (- v ) = 0 .

- Eşzamanlı : eylem çizgilerinin tümü aynı noktadan geçen vektörler.

- Kaydırıcılar : Uygulama noktası belirli bir çizgi boyunca kayabilen vektörlerdir.

- Eşdoğrusal : aynı satırda bulunan vektörler.

- Üniter : modülü 1 olan vektörler.

Ortogonal birim vektörler

Fizikte ortogonal birim vektör adı verilen çok kullanışlı bir vektör türü vardır. Ortogonal birim vektör, 1'e eşit bir modüle sahiptir ve birimler, örneğin hız, konum, kuvvet veya diğerleri gibi herhangi biri olabilir.

Diğer vektörleri kolayca temsil etmeye ve onlarla işlem yapmaya yardımcı olan bir dizi özel vektör vardır: bunlar dik birim vektörler i , j ve k , birim ve birbirine diktir.

İki boyutta, bu vektörler hem x ekseni hem de y ekseninin pozitif yönü boyunca yönlendirilir. Ve üç boyutta pozitif z ekseni yönünde bir birim vektör eklenir. Aşağıdaki şekilde temsil edilirler:

i = <1, 0.0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Bir vektör, i , j ve k birim vektörleriyle aşağıdaki gibi temsil edilebilir :

v = v _x i + v _y j + v _z k

Örneğin , önceki örneklerdeki hız vektörü v şu şekilde yazılabilir:

v = 601,04 i + 601,04 j km / sa

Bu vektör düzlemde olduğu için k cinsinden bileşen gerekli değildir.

Vektör ilavesi

Vektörlerin toplamı, çeşitli durumlarda çok sık görünür; örneğin, çeşitli kuvvetlerden etkilenen bir nesne üzerinde oluşan kuvveti bulmak istediğinizde. Başlamak için, soldaki aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, düzlemde u ve v olmak üzere iki serbest vektörümüz olduğunu varsayalım :

Şekil 4. İki vektörün grafik toplamı. Kaynak: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Büyüklüğünü, yönünü veya anlamını değiştirmeden derhal v vektörüne dikkatlice aktarılır , böylece kökeni u'nun sonuyla çakışır .

Vektör toplamı w olarak adlandırılır ve sağdaki şekle göre v ile biten u'dan başlayarak çizilir . W vektörünün büyüklüğünün mutlaka v ve u'nun büyüklüklerinin toplamı olmadığına dikkat etmek önemlidir .

Dikkatlice düşünürseniz, ortaya çıkan vektörün büyüklüğünün, her iki toplamanın aynı yönde olduğu ve aynı anlama sahip olduğu zaman, toplananların büyüklüklerinin toplamıdır.

Ve vektörler özgür değilse ne olur? Bunları eklemek de çok kolay. Bunu yapmanın yolu, bileşene bileşen veya analitik yöntem eklemektir.

Örnek olarak, aşağıdaki şekilde vektörleri ele alalım, ilk şey onları daha önce açıklanan Kartezyen yollardan biriyle ifade etmektir:

Şekil 5. İki bağlantılı vektörün toplamı. Kaynak: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

W toplam vektörünün x bileşenini elde etmek için , v ve u'nun ilgili x bileşenlerini ekleyin : w _x = 5 + 2 = 7. Ve w _y'yi elde etmek için benzer bir prosedür izlenir: w _y = 1 + 3. Böylece:

u = <7.4>

Vektör toplamanın özellikleri

-İki veya daha fazla vektörün toplamı başka bir vektörle sonuçlanır.

-Değişimlidir, eklerin sırası, toplamı şu şekilde değiştirmez:

u + v = v + u

- Vektörlerin toplamının nötr öğesi boş vektördür: v + 0 = v

- İki vektörün çıkarılması, tersinin toplamı olarak tanımlanır: v - u = v + (-u)

Vektör Örnekleri

Söylediğimiz gibi, fizikte çok sayıda vektör niceliği vardır. En iyi bilinenler şunlardır:

-Durum

-Yer değiştirme

-Ortalama hız ve anlık hız

-Hızlanma

-Güç

-Hareket miktarı

-Tork veya kuvvetin momenti

-Dürtü

-Elektrik alanı

-Manyetik alan

-Manyetik an

Öte yandan, bunlar vektör değil skalerdir:

-Hava

-Kitle

-Sıcaklık

-Ses

-Yoğunluk

-Mekanik iş

-Enerji

-Sıcak

-Güç

-Voltaj

-Elektrik akımı

Vektörler arasındaki diğer işlemler

Vektörlerin toplanması ve çıkarılmasına ek olarak, vektörler arasında çok önemli üç işlem daha vardır, çünkü bunlar çok önemli yeni fiziksel büyüklüklere yol açar:

-Vektöre göre bir skalerin çarpımı.

-Vektörler arasındaki iç çarpım veya iç çarpım

-Ve iki vektör arasındaki çapraz veya vektör çarpımı.

Skaler ve vektörün çarpımı

F kuvveti ve a ivmesinin orantılı olduğunu belirten Newton'un ikinci yasasını düşünün . Orantılılık sabiti, nesnenin m kütlesidir, bu nedenle:

F = m. -e

Kütle skalerdir; kuvvet ve ivme vektörlerdir. Kuvvet, kütlenin ivmeyle çarpılmasıyla elde edildiğinden, bir skaler ve bir vektörün çarpımının sonucudur.

Bu tür bir ürün her zaman bir vektörle sonuçlanır. İşte başka bir örnek: hareket miktarı. Let p, ivme vektörü, v hız vektörü ve her zaman olduğu gibi, m kütle:

P = m. v

Vektörler arasında nokta çarpım veya iç çarpım

Vektör olmayan miktarlar listesine mekanik işler yerleştirdik. Bununla birlikte, fizikte çalışma, skaler çarpım, iç çarpım veya iç çarpım adı verilen vektörler arasındaki bir işlemin sonucudur.

V ve u vektörlerinin aralarındaki nokta veya skaler çarpımı şu şekilde tanımlamasına izin verin :

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Θ ikisi arasındaki açıdır. Gösterilen denklemden, iç çarpımın sonucunun skaler olduğu ve ayrıca her iki vektörün de dik olması durumunda iç çarpımlarının 0 olduğu hemen anlaşılır.

Mekanik çalışma W'ye geri dönersek, bu kuvvet vektörü F ile yer değiştirme vektörü ℓ arasındaki skaler çarpımdır .

Vektörler bileşenleri bakımından mevcut olduğunda, iç çarpımın hesaplanması da çok kolaydır. Eğer v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, ikisi arasındaki iç çarpım:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Vektörler arasındaki iç çarpım değişmeli, bu nedenle:

v ∙ u = u ∙ v

Vektörler arasında çarpım veya vektör çarpımı

Eğer v ve u bizim iki örnek vektörümüzse, vektör çarpımını şu şekilde tanımlarız:

v x u = w

Hemen ardından, çapraz çarpım modülü aşağıdaki gibi tanımlanan bir vektörle sonuçlanır:

Θ vektörler arasındaki açıdır.

Çapraz çarpım değişmeli değildir, bu nedenle v x u ≠ u x v. Aslında v x u = - (u x v).

İki örnek vektör birim vektörler cinsinden ifade edilirse, vektör ürününün hesaplanması kolaylaştırılır:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x ben + u _y j + u _z k

Birim vektörler arasında çapraz çarpım

Aynı birim vektörler arasındaki çapraz çarpım, aralarındaki açı 0º olduğundan sıfırdır. Ancak farklı birim vektörler arasındaki açı 90º ve sin 90º = 1'dir.

Aşağıdaki şema bu ürünleri bulmaya yardımcı olur. Ok yönünde pozitif yönde ve ters yönde negatiftir:

ben x j = k, j x k = ben; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; ben x k = -j

Vektörler arasındaki çarpımlar artı birim vektörlerin özellikleri için hala geçerli olan dağılma özelliğini uygulayarak:

v x u = (v _x ben + v _y j + v _z k ) x (u _x ben + u _y j + u _z k ) =

Çözülmüş egzersizler

- 1. Egzersiz

Vektörler göz önüne alındığında:

v = -5 ben + 4 j + 1 k

u = 2 ben -3 j + 7 k

V + u + w toplamının 6 i +8 j -10 k olması için w vektörü ne olmalıdır ?

Çözüm

Bu nedenle, aşağıdakilerin yerine getirilmesi gerekir:

Cevap: w = 9 i +7 j - 18 k

- Egzersiz 2

1. Alıştırmada v ve u vektörleri arasındaki açı nedir ?

Çözüm

İç çarpımı kullanacağız. Elimizdeki tanımdan:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Bu değerleri ikame etmek:

Referanslar

1. Figueroa, D. (2005). Seri: Bilim ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. Kinematik. Douglas Figueroa (USB) tarafından düzenlendi.
2. Giancoli, D. 2006. Fizik: Uygulamalı Prensipler. 6. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Temel Fizik. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Modern Fizikle Üniversite Fiziği. 14. Ed. Cilt 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Bilim ve Mühendislik için Fizik. Cilt 1. 7. Ed. Cengage Learning.