TERS TÜREVI: FORMÜLLER VE DENKLEMLER, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Bir İlkel belirli bir aralık I ise bir f F (x) (x), aynı zamanda, ilkel veya söz konusu fonksiyonu sadece belirsiz integral olarak adlandırılır, bu yerine getirilmesini F'(x) = f (x)

Örneğin şu işlevi ele alalım:

f (x) = 4x ³

Bu fonksiyonun ters türevi , F (x) = x ^4'tür , çünkü F (x) 'i üsler için türetme kuralı kullanarak ayırt ederken:

Kesin olarak f (x) = 4x ³ elde ederiz .

Bununla birlikte, bu, f (x) 'in birçok ters türevinden yalnızca biridir, çünkü bu diğer fonksiyon: G (x) = x ⁴ + 2 de, çünkü G (x)' i x'e göre farklılaştırırken, aynı elde edilir. geri f (x).

Hadi kontrol edelim:

Bir sabitin türevinin 0 olduğunu unutmayın. Bu nedenle , x ⁴ terimine herhangi bir sabit ekleyebiliriz ve türevi 4x ^{3 olarak} kalacaktır .

C'nin gerçek bir sabit olduğu F (x) = x ⁴ + C genel formundaki herhangi bir fonksiyonun f (x) 'in ters türevi olarak hizmet ettiği sonucuna varılmıştır .

Yukarıdaki açıklayıcı örnek şu şekilde ifade edilebilir:

dF (x) = 4x ³ dx

Ters türevi veya belirsiz integral, symbol sembolü ile ifade edilir, bu nedenle:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Burada f (x) = 4x ³ fonksiyonuna integrand denir ve C, entegrasyon sabitidir.

Antidürevlere örnekler

Şekil 1. Ters türevi, belirsiz bir integralden başka bir şey değildir. Kaynak: Pixabay.

Türevlerin iyi bilindiği bazı durumlarda, bir fonksiyonun ters türevini bulmak basittir. Örneğin, f (x) = sin x fonksiyonu, bunun ters türevi, başka bir F (x) fonksiyonudur, öyle ki, onu farklılaştırırken f (x) elde ederiz.

Bu işlev şunlar olabilir:

F (x) = - çünkü x

Doğru olup olmadığını kontrol edelim:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = günah x

Bu nedenle yazabiliriz:

∫sen x dx = -cos x + C

Türevleri bilmenin yanı sıra, ters türevi veya belirsiz integrali bulmak için bazı temel ve basit entegrasyon kuralları vardır.

K gerçek bir sabit olsun, o zaman:

1. - ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2. - ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Bir h (x) fonksiyonu iki fonksiyonun toplanması veya çıkarılması olarak ifade edilebiliyorsa, o zaman onun belirsiz integrali:

3. - ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Bu, doğrusallığın özelliğidir.

İntegraller için güçler kuralı şu şekilde oluşturulabilir:

N = -1 durumunda aşağıdaki kural kullanılır:

5. - ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Ln x'in türevinin tam olarak x ^-1 olduğunu göstermek kolaydır .

Diferansiyel denklemler

Diferansiyel denklem, bilinmeyenin türev olarak bulunduğu bir denklemdir.

Şimdi, önceki analizden, türevin ters işleminin ters türev veya belirsiz integral olduğunu anlamak kolaydır.

F (x) = y´ (x), yani belirli bir fonksiyonun türevi olsun. Bu türevi belirtmek için aşağıdaki gösterimi kullanabiliriz:

Bunu hemen takip eder:

Diferansiyel denklemin bilinmeyen, türevi f (x) olan y (x) fonksiyonudur. Bunu çözmek için, önceki ifade her iki tarafa da entegre edilmiştir ve bu, ters türevi uygulamaya eşdeğerdir:

Sol integral k = 1 olan entegrasyon kuralı 1 ile çözülür, böylece istenen bilinmeyen çözülür:

Ve C gerçek bir sabit olduğundan, her durumda hangisinin uygun olduğunu bilmek için, ifade C'nin değerini hesaplamak için yeterli ek bilgi içermelidir. Buna başlangıç ​​koşulu denir.

Tüm bunların uygulama örneklerini sonraki bölümde göreceğiz.

Ters türevi egzersizler

- 1. Egzersiz

Verilen fonksiyonların aşağıdaki ters türevleri veya belirsiz integrallerini elde etmek için entegrasyon kurallarını uygulayın ve sonuçları olabildiğince basitleştirin. Sonucu türetme yoluyla doğrulamak uygundur.

Şekil 2. Antidürevlerin veya belirli integrallerin alıştırmaları. Kaynak: Pixabay.

Çözüm

İntegrand iki terimin toplamı olduğu için önce kural 3'ü uygularız:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

İlk integral için kuvvet kuralı geçerlidir:

∫ dx = (x ² /2), + C ₁

İkinci integral kuralı 1 uygulanır, burada k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Ve şimdi sonuçlar eklendi. İki sabit, genel olarak C olarak adlandırılan bir grupta toplanmıştır:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2), + 7x + C

Çözüm b

Doğrusallıkla bu integral, güç kuralının uygulanacağı üç basit integrale ayrıştırılır:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Her integral için sabit bir entegrasyon göründüğünü, ancak tek bir C çağrısında buluştuğunu unutmayın.

Çözüm c

Bu durumda, integrali geliştirmek için çarpmanın dağılma özelliğini uygulamak uygundur. Daha sonra güç kuralı, önceki alıştırmada olduğu gibi her integrali ayrı ayrı bulmak için kullanılır.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Dikkatli okuyucu, iki merkezi terimin benzer olduğunu, bu nedenle bütünleştirmeden önce azaltıldıklarını not edecektir:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Çözüm e

İntegrali çözmenin bir yolu, örnek d'de yapıldığı gibi, gücü geliştirmektir. Bununla birlikte, üs daha yüksek olduğu için, bu kadar uzun bir geliştirme yapmak zorunda kalmamak için değişkeni değiştirmeniz tavsiye edilir.

Değişken değişikliği aşağıdaki gibidir:

u = x + 7

Bu ifadeyi her iki tarafa da türetmek:

du = dx

İntegral, kuvvet kuralı ile çözülen yeni değişken ile daha basit bir hale dönüştürülür:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Son olarak, değişiklik orijinal değişkene geri döndürülür:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Egzersiz 2

Bir parçacık başlangıçta hareketsizdir ve x ekseni boyunca hareket eder. T> 0 ivmesi, a (t) = cos t fonksiyonu ile verilir. T = 0'da konumun x = 3 olduğu ve tümü Uluslararası Sistemin birimlerinden olduğu bilinmektedir. Parçacığın v (t) hızını ve x (t) konumunu bulması istenir.

Çözüm

İvme, zamana göre hızın ilk türevi olduğundan, aşağıdaki diferansiyel denklemimiz var:

a (t) = v´ (t) = cos t

Bunu takip eder:

v (t) = ∫ cos t dt = günah t + C ₁

Öte yandan, hızın sırayla konumun türevi olduğunu biliyoruz, bu nedenle yeniden bütünleştiriyoruz:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Entegrasyon sabitleri, ifadede verilen bilgilerden belirlenir. İlk olarak, parçacığın başlangıçta hareketsiz olduğunu söylüyor, bu nedenle v (0) = 0:

v (0) = günah 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

O zaman x (0) = 3 olur:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Hız ve konum işlevleri kesinlikle şu şekildedir:

v (t) = günah t

x (t) = - çünkü t + 4

Referanslar

1. Engler, A. 2019. İntegral Hesabı. Ulusal Litoral Üniversitesi.
2. Larson, R. 2010. Bir değişkenin hesaplanması. 9. Baskı. McGraw Hill.
3. Matematik Serbest Metinler. Antitürev'in. Math.liibretexts.org adresinden kurtarıldı.
4. Vikipedi. İlkel. En.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.
5. Vikipedi. Belirsiz entegrasyon. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.