YAY (GEOMETRI): ÖLÇÜ, KEMER TÜRLERI, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2024

Ark , geometri, iki noktayı birleştiren bir kavisli hattıdır. Eğri bir çizgi, düz bir çizgiden farklı olarak, üzerindeki her noktada yönü farklı olan çizgidir. Bir yayın zıttı bir parçadır, çünkü bu iki noktayı birleştiren düz bir bölümdür.

Geometride en sık kullanılan yay, çevre yaydır. Yaygın olarak kullanılan diğer kemerler parabolik kemer, eliptik kemer ve katener kemeridir. Kemer formu aynı zamanda mimaride dekoratif bir unsur ve yapısal bir unsur olarak sıklıkla kullanılmaktadır. Bu, kapıların ve pencerelerin lentoları ile köprü ve su kemerleri için geçerlidir.

Şekil 1. Gökkuşağı, ufukta iki noktayı birleştiren eğri bir çizgidir. Kaynak: Pixabay

Kemer ve ölçüsü

Bir yayın ölçüsü, iki noktayı birbirine bağlayan eğri tipine ve konumlarına bağlı olan uzunluğudur.

Dairesel bir yayın uzunluğu, hesaplanması en kolay olanlardan biridir, çünkü bir çevrenin tüm yayının veya çevresinin uzunluğu bilinmektedir.

Bir dairenin çevresi, yarıçapının iki pi katıdır: p = 2 π R. Bunu bilerek, dairesel bir açı α (radyan cinsinden ölçülür) yayının s uzunluğunu ve R yarıçapını hesaplamak istiyorsak, bir oran uygulanır:

(s / p) = (α / 2 π)

Ardından, önceki ifadeden s'yi temizleyerek ve çevre p'yi R yarıçapının bir fonksiyonu olarak ifadesi yerine koyarız:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Yani, dairesel bir yayın ölçüsü, açısal açıklığının çarpı dairesel yayın yarıçapının ürünüdür.

Genel olarak bir kemer için sorun, antik çağın büyük düşünürlerinin bunun imkansız bir görev olduğunu iddia ettikleri noktaya kadar daha karmaşıktır.

1665'te diferansiyel ve integral hesabın ortaya çıkmasına kadar, herhangi bir arkın ölçülmesi sorunu tatmin edici bir şekilde çözülmedi.

Diferansiyel analizin icadından önce, çözümler yalnızca gerçek yaya yaklaşan çokgen çizgiler veya çevre yayları kullanılarak bulunabiliyordu, ancak bu çözümler kesin değildi.

Yay türleri

Geometri açısından yaylar, düzlemde iki noktayı birleştiren eğri çizgiye göre sınıflandırılır. Kullanımına ve mimari şekline göre başka sınıflandırmalar da vardır.

Dairesel yay

Düzlemdeki iki noktayı birleştiren çizgi, belirli bir yarıçapın çevre parçası olduğunda, dairesel bir yay elde ederiz. Şekil 2, A ve B noktalarını birleştiren R yarıçaplı c dairesel bir yayı gösterir.

Şekil 2. A ve B noktalarını birbirine bağlayan R yarıçapının dairesel yayı Ricardo Pérez tarafından yapılmıştır.

Parabolik kemer

Parabol, havaya eğik olarak fırlatılan bir nesnenin izlediği yoldur. İki noktayı birleştiren eğri bir parabol olduğunda, Şekil 3'te gösterilene benzer bir parabolik yayımız olur.

Şekil 3. A ve B noktalarını birleştiren parabolik yay. Ricardo Pérez tarafından ayrıntılı olarak verilmiştir.

Bu, yukarı doğru bakan bir hortumdan çıkan su fışkırmasının şeklidir. Su kaynaklarında parabolik ark gözlemlenebilir.

Şekil 4. Dresden'deki bir çeşmeden su ile oluşturulmuş parabolik kemer. Kaynak: Pixabay.

Katener kemer

Katener kemeri başka bir doğal kemerdir. Katener, bir zincir veya ip iki ayrı noktadan gevşek bir şekilde sarktığında doğal olarak oluşan eğridir.

Şekil 5. Katener ark ve parabolik ark ile karşılaştırma. Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır.

Katener, parabole benzer, ancak şekil 4'te görüldüğü gibi tam olarak aynı değildir.

Ters çevrilmiş katener kemeri, mimaride yüksek basınç dayanımlı yapısal eleman olarak kullanılır. Aslında, tüm olası şekiller arasında en güçlü yay türü olduğu gösterilebilir.

Sağlam bir katener kemeri oluşturmak için, sadece asılı bir halat veya zincirin şeklini kopyalayın, ardından kopyalanan şekil kapı veya pencere pervazında yeniden üretilmesi için çevrilir.

Eliptik kemer

İki noktayı birleştiren eğri bir elips parçasıysa bir yay eliptiktir. Elips, verilen iki noktaya olan mesafesi her zaman sabit bir miktara ulaşan noktaların yeri olarak tanımlanır.

Elips, doğada görünen bir eğridir: 1609'da Johannes Kepler'in gösterdiği gibi, Güneş'in etrafındaki gezegenlerin yörüngesinin eğrisidir.

Pratikte, iki payanda yere veya iki pim bir kağıt parçasına tutturularak ve bunlara bir ip bağlanarak bir elips çizilebilir. İp daha sonra işaretleyici veya kurşun kalemle gerilir ve eğri izlenir. Bir elips parçası, eliptik bir yaydır. Aşağıdaki animasyon, elipsin nasıl çizildiğini gösterir:

Şekil 5. Gergin bir ip kullanarak bir elipsin izleme. Kaynak: Wikimedia Commons

Şekil 6, G ve H noktalarını birleştiren eliptik bir yay gösterir.

Şekil 6. İki noktayı birleştiren eliptik kemer. Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır.

Arches örnekleri

Aşağıdaki örnekler, bazı belirli kemerlerin çevresinin nasıl hesaplanacağına ilişkindir.

örnek 1

Şekil 7, kesik dairesel bir yay ile tamamlanmış bir pencereyi göstermektedir. Şekilde gösterilen boyutlar fit cinsindendir. Yayın uzunluğunu bulun.

Şekil 7. Bir pencerenin dairesel yayının uzunluğunun hesaplanması. (Kendi açıklamaları - Pixabay'daki pencere görüntüsü)

Pencere pervazının dairesel yayının merkezini ve yarıçapını elde etmek için görüntü üzerinde aşağıdaki yapılar yapılmıştır:

- KL segmenti çizilir ve bisektörü çizilir.

-Daha sonra M dediğimiz lento'nun en yüksek noktası konumlandırılır. Daha sonra KM segmenti dikkate alınır ve mediatrisi izlenir.

İki bisektörün kesişme noktası N noktasıdır ve aynı zamanda dairesel yayın merkezidir.

-Şimdi dairesel yayın R yarıçapı ile çakışan NM segmentinin uzunluğunu ölçmeliyiz: R = 2,8 fit.

-Yayın uzunluğunun yanı sıra yayın uzunluğunun bilinmesi için yayın oluşturduğu açının bilinmesi gerekir. Hangisi iki yöntemle belirlenebilir, bir iletki ile ölçülür veya alternatif olarak trigonometri kullanılarak hesaplanır.

Gösterilen durumda, arkın oluşturduğu açı 91.13º'dur ve radyana dönüştürülmelidir:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radyan

Son olarak, s = α R formülünü kullanarak yayın uzunluğunu s hesaplıyoruz.

s = 1.59 * 2.8 fit = 4.45 fit

Örnek 2

Elipsin yarı büyük ekseni r ve yarı küçük ekseni s bilerek şekil 8'de gösterilen eliptik yayın uzunluğunu bulun.

Şekil 8. GH arasında eliptik yay. Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır.

Bir elipsin uzunluğunu bulmak uzun zamandır matematikteki en zor problemlerden biriydi. Eliptik integrallerle ifade edilen çözümleri elde edebilirsiniz, ancak sayısal bir değere sahip olmak için bu integralleri kuvvet serilerinde genişletmeniz gerekir. Kesin bir sonuç, bu serilerin sonsuz terimlerini gerektirir.

Neyse ki, 1887 ile 1920 yılları arasında yaşayan Hindu matematik dehası Ramanujan, bir elipsin çevresine çok kesin bir şekilde yaklaşan bir formül buldu:

R = 3 cm ve s = 2.24 cm olan bir elipsin çevresi 16.55 cm'dir. Bununla birlikte, gösterilen eliptik yay, bu değerin yarısına sahiptir:

Eliptik kemerin uzunluğu GH = 8.28 cm.

Referanslar

1. Clemens S. 2008. Geometri ve Trigonometri. Pearson Education.
2. García F. Java'da sayısal prosedürler. Bir elipsin uzunluğu. Kurtarıldığı kaynak: sc.ehu.es
3. Dinamik geometri. Yaylar. Geometriadinamica.es'den kurtarıldı
4. Piziadas. Etrafımızdaki elipsler ve paraboller. Kurtarıldı: piziadas.com
5. Vikipedi. Kemer (geometri). Kurtarıldı: es.wikipedia.com