EŞLENIK IKI TERIMLI: NASIL ÇÖZÜLÜR, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2024

Bir konjugat binom bir binom arasında sadece bir operasyon işareti ile ayrılan olduğu bir dengedir. Binom, adından da anlaşılacağı gibi, iki terimden oluşan cebirsel bir yapıdır.

Bazı binom örnekleri şunlardır: (a + b), (3m - n) ve (5x - y). Ve ilgili konjuge iki terimli: (a - b), (-3m - n) ve (5x + y). Hemen görülebileceği gibi, fark işaretindedir.

Şekil 1. Bir binom ve eşlenik iki terimli. Aynı şartlara sahipler, ancak işaretleri farklı. Kaynak: F. Zapata.

Bir binom eşleniği ile çarpıldığında, cebir ve bilimde yaygın olarak kullanılan dikkate değer bir ürün ortaya çıkar. Çarpmanın sonucu, orijinal iki terimli terimlerin karelerinin çıkarılmasıdır.

Örneğin, (x - y) bir iki terimli ve eşleniği (x + y). Dolayısıyla, iki iki terimlinin çarpımı, terimlerin karelerinin farkıdır:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Eşlenik bir iki terimliyi nasıl çözersiniz?

Eşlenik binomların belirtilen kuralı şudur:

Bir uygulama örneği olarak, ürünün cebirsel toplamla ilgili dağılım özelliği kullanılarak yapılabilen önceki sonucu göstererek başlayacağız.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Yukarıdaki çarpma, aşağıdaki adımlar izlenerek elde edildi:

- İlk iki terimliğin ilk terimi, ikincinin ilk terimi ile çarpılır.

- Sonra ilki, ikincinin ikincisi için

- Sonra birincisinin ikincisi, ikincinin birincisi

- Sonunda birincinin ikincisi, ikincinin ikincisi.

Şimdi değişmeli özelliğini kullanarak küçük bir değişiklik yapalım: yx = xy. Şöyle görünüyor:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

İki eşit terim olduğundan, ancak zıt işaretli olduğundan (renkli olarak vurgulanmış ve altı çizili), bunlar iptal edilir ve basitleştirilir:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Son olarak, bir sayıyı kendi başına çarpmanın, onu kareye yükseltmeye eşdeğer olduğu, böylece xx = x ² ve ayrıca yy = y ^{2 olduğu uygulanır} .

Bu şekilde, bir önceki bölümde belirtilmiş olan, bir toplamın çarpımının ve farkının karelerin farkı olduğu gösterilmiştir:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Şekil 2. Toplam çarpı farkı kareler arasındaki farktır. Kaynak: F. Zapata.

Örnekler

- Çeşitli ifadelerin konjuge binomları

örnek 1

(Y ² - 3y) ' nin eşleniğini bulun .

Cevap : (y ² + 3y)

Örnek 2

(Y ² - 3y) ürününü ve eşleniğini elde edin.

Cevap: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Örnek 3

Ürünü geliştirin (1 + 2a). (2a -1).

Cevap: önceki ifade (2a + 1) 'e eşdeğerdir. (2a -1), yani bir iki terimli çarpımına ve eşleniğine karşılık gelir.

Bir binomun eşlenik iki terimli çarpımının, iki terimli terimlerin karelerinin farkına eşit olduğu bilinmektedir:

(2a + 1) (2a-1) = (2a) ² - 1 ² = 4 ² - 1

Örnek 4

(X + y + z) (x - y - z) çarpımını karelerin farkı olarak yazın.

Cevap: Yukarıdaki üç terimlileri, parantez ve köşeli parantezleri dikkatlice kullanarak eşlenik iki terimli forma asimile edebiliriz:

(x + y + z) (x - y - z) =

Bu şekilde kareler arasındaki fark uygulanabilir:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Örnek 5

Ürünü (m, ifade ² - m-1). (M ² + m-1) kareleri bir fark olarak.

Cevap : önceki ifade iki üç terimliğin ürünüdür. İlk önce iki konjuge iki terimliğin çarpımı olarak yeniden yazılmalıdır:

(m, ² - m-1) (m ² + m-1) = (m, ² - - 1 m) (m ² -1 + m) =.

Açıklandığı gibi, bir iki terimli çarpımının eşleniğine göre terimlerinin ikinci dereceden farkı olduğu gerçeğini uyguluyoruz:

. = (m ² -1) ² - m ²

Egzersizler

Her zaman olduğu gibi, en basit egzersizlerle başlarsınız ve ardından karmaşıklık düzeyini artırırsınız.

- 1. Egzersiz

Ürün olarak (9 - ² ) yazın .

Çözüm

İlk olarak, daha önce anlatılanları uygulamak için ifadeyi kareler farkı olarak yeniden yazıyoruz. Böylece:

(9 - bir ² ) = (3 ² - bir ² )

Daha sonra, bu kareler farkını, ifadede talep edildiği gibi bir ürün olarak yazmaya eşdeğer olan çarpanlara ayırıyoruz:

(9 - bir ² ) = (3 ² - bir ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Egzersiz 2

Faktör 16x ² - 9y ⁴ .

Çözüm

Bir ifadeyi faktoring, onu bir ürün olarak yazmak demektir. Bu durumda, kareler farkı elde etmek için ifadeyi önceden yeniden yazmak gerekir.

Bunu yapmak zor değil çünkü dikkatli baktığımızda tüm faktörler mükemmel kareler. Örneğin 16, 4'ün karesidir, 9, 3'ün karesidir ve ⁴ , y ^2'nin karesidir ve x ² , x'in karesidir:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Sonra daha önce bildiğimiz şeyi uygularız: kareler arasındaki fark, eşlenik iki terimlilerin çarpımıdır:

(4x) ² - (3 ve ² ) ² = (4x - 3 ve ² ). (4x + 3 ve ² )

- Egzersiz 3

(A - b) yi binomların çarpımı olarak yazın

Çözüm

Yukarıdaki fark karelerin farklılıkları olarak yazılmalıdır.

(√a) ² - (√b) ²

Daha sonra, kareler arasındaki farkın, konjuge iki terimlilerin çarpımı olduğu uygulanır.

(√a - √b) (√a + √b)

- Egzersiz 4

Eşlenik binomun kullanımlarından biri, cebirsel ifadelerin rasyonalizasyonudur. Bu prosedür, kesirli bir ifadenin paydasının köklerinin ortadan kaldırılmasından oluşur ve çoğu durumda işlemleri kolaylaştırır. Aşağıdaki ifadeyi rasyonelleştirmek için eşlenik binom kullanılması istenir:

√ (2-x) /

Çözüm

İlk şey, paydanın eşlenik binomunu belirlemektir:

Şimdi orijinal ifadenin payını ve paydasını eşlenik binomla çarpıyoruz:

√ (2-x) / {.}

Önceki ifadenin paydasında, bir farkın çarpımını bir toplamla tanıyoruz, ki bunu zaten bildiğimiz iki terimli karelerin farkına karşılık geliyor:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Paydanın basitleştirilmesi:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Şimdi, toplamla ilgili olarak ürünün dağılım özelliğini uygulayacağımız payla ilgileniyoruz:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Önceki ifadede, iki terimli (2-x) çarpımını, kareler farkına eşit olan dikkate değer çarpım olan eşleniği ile tanıyoruz. Bu şekilde nihayet rasyonelleştirilmiş ve basitleştirilmiş bir ifade elde edilir:

/ (1 - x)

- Egzersiz 5

Eşlenik binomun özelliklerini kullanarak aşağıdaki ürünü geliştirin:

.

Çözüm

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Dikkatli okuyucu, renkle vurgulanan ortak faktörü fark etmiş olacaktır.

Referanslar

1. Baldor, A. 1991. Cebir. Editoryal Kültür Venezolana SA
2. González J. Konjuge iki terimli alıştırmalar. Kurtarıldı: academia.edu.
3. Matematik öğretmeni Alex. Olağanüstü ürünler. Youtube.com'dan kurtarıldı.
4. Math2me. Konjuge binomlar / dikkate değer ürünler. Youtube.com'dan kurtarıldı.
5. Eşlenik iki terimli çarpımlar. Kurtarıldı: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Konjuge iki terimli. Youtube.com adresinden kurtarıldı.