SONLU KÜME: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER, ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Sonlu bir küme , sınırlı veya sayılabilir sayıda eleman içeren herhangi bir küme olarak anlaşılır . Sonlu küme örnekleri, bir çantanın içinde bulunan mermerler, bir mahalledeki evler kümesi veya ilk yirmi (20) doğal sayıdan oluşan P kümesidir :

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Evrendeki yıldızlar kümesi kesinlikle çok büyüktür, ancak bunun sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğu kesin olarak bilinmemektedir. Bununla birlikte, güneş sistemindeki gezegen kümesi sonludur.

Şekil 1. Çokgen kümesi sonludur ve düzenli olanların da alt kümesidir. (Wikimedia Commons)

Sonlu bir kümedeki elemanların sayısı onun kardinalitesi olarak adlandırılır ve P kümesi için şu şekilde gösterilir: Kart ( P ) veya # P Boş küme sıfır kardinaliteye sahiptir ve sonlu bir küme olarak kabul edilir.

Özellikleri

Sonlu kümelerin özellikleri arasında şunlar yer alır:

1- Sonlu kümelerin birliği, yeni bir sonlu kümeye yol açar.

2- İki sonlu küme kesişirse, yeni bir sonlu küme oluşur.

3- Sonlu bir kümenin bir alt kümesi sonludur ve asıllığı orijinal kümeninkinden küçük veya ona eşittir.

4- Boş küme sonlu bir kümedir.

Örnekler

Sonlu kümelerin birçok örneği vardır. Bazı örnekler şunları içerir:

Genişletilmiş biçimde şu şekilde yazılabilen yılın aylarının M kümesi :

M = {Ocak, Şubat, Mart, Nisan, Mayıs, Haziran, Temmuz, Ağustos, Eylül, Ekim, Kasım, Aralık}, M'nin temel değeri 12'dir.

Haftanın günlerinin S kümesi : S = {Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar}. S'nin temel değeri 7'dir.

İspanyol alfabesinin harflerinin Ñ kümesi sonlu bir kümedir, bu uzantı tarafından küme şu şekilde yazılır:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} ve önem derecesi 27'dir.

Set V İspanyolca ünlülerin küme N bir alt kümesidir:

V ⊂ Ñ bu nedenle sonlu bir kümedir.

Kapsamlı biçimde sonlu V kümesi şu şekilde yazılır: V = {a, e, i, o, u} ve kardinalitesi 5'tir.

Kümeler anlayışla ifade edilebilir. "Sonlu" kelimesinin harflerinden oluşan F kümesi bir örnektir:

F = {x / x, "sonlu" kelimesinin bir harfidir}

Kapsamlı biçimde ifade edilen söz konusu set:

F = {f, i, n, t, o} kardinalitesi 5 ve bu nedenle sonlu bir küme.

Daha fazla örnek

Gökkuşağının renkleri, sonlu bir kümenin başka bir örneğidir , bu renklerin C kümesi :

C = {kırmızı, turuncu, sarı, yeşil, camgöbeği, mavi, mor} ve kardinalitesi 7'dir.

Ay'ın F evrelerinin kümesi, sonlu kümenin başka bir örneğidir:

F = {Yeni ay, ilk dördün, dolunay, son dördün} bu kümenin kardinalitesi 4.

Şekil 2. Güneş sisteminin gezegenleri sonlu bir küme oluşturur. (Pixabay)

Başka bir sonlu küme, güneş sisteminin gezegenleri tarafından oluşturulan kümedir:

P = {Merkür, Venüs, Dünya, Mars, Jüpiter, Satürn, Uranüs, Neptün, Plüton} kardinalite 9.

Çözülmüş Egzersizler

1. Egzersiz

Aşağıdaki set A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} verilmiştir. Kelimelerle ifade edin ve uzatarak yazın, önemini belirtin ve sonlu olup olmadığını söyleyin.

Çözüm: A kümesi, x'in küpü 27 olacak şekilde x gerçek sayıları kümesidir.

X ^ 3 = 27 denkleminin üç çözümü vardır: bunlar x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) ve x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Üç çözümden yalnızca x1 gerçektir, diğer ikisi ise karmaşık sayılardır.

A kümesinin tanımı, x'in gerçek sayılara ait olduğunu söylediğinden, karmaşık sayıların çözümleri A kümesinin bir parçası değildir.

Kapsamlı bir şekilde ifade edilen A kümesi:

A = {3}, sonlu bir kardinalite 1 kümesidir.

Egzersiz 2

Sembolik biçimde (kavrayarak) ve kapsamlı biçimde 0'dan (sıfır) büyük ve 0'dan (sıfır) küçük veya ona eşit olan gerçek sayıların B kümesini yazın. Onun önemini ve sonlu olup olmadığını belirtin.

Çözüm: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}

B kümesi boştur çünkü bir x gerçek sayısı aynı anda sıfırdan büyük ve küçük olamaz, tıpkı 0 ve 0'dan küçük olamaz.

B = {} ve kardinalitesi 0'dır. Boş küme sonlu bir kümedir.

Egzersiz 3

Belirli bir denklemin çözümlerinin S kümesi verilir. Anlayışla S kümesi şöyle yazılır:

S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}

Söz konusu kümeyi kapsamlı biçimde yazın, önemini belirtin ve sonlu bir küme olup olmadığını belirtin.

Çözüm: İlk olarak, S kümesini tanımlayan ifadeyi analiz ederken, bunun denklemin çözümleri olan bir dizi gerçek x değerleri olduğu elde edilir:

(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)

Bu denklemin çözümü, gerçek bir sayı olan ve dolayısıyla S'ye ait olan x = 3'tür.Ancak ikinci dereceden denklemin çözümlerine bakılarak elde edilebilecek daha fazla çözüm vardır:

(x ^ 2 - 9x + 20) = 0

Yukarıdaki ifade aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir:

(x - 4) (x - 5) = 0

Bu da bizi orijinal denklemin (*) x = 4 ve x = 5 olan iki çözümüne götürür. Kısaca, denklem (*) 3, 4 ve 5 çözümlerine sahiptir.

Kapsamlı biçimde ifade edilen S kümesi şuna benzer:

S = {3, 4, 5}, kardinalite 3'e sahiptir ve bu nedenle sonlu bir küme.

Egzersiz 4

A = {1, 5, 7, 9, 11} ve B = {x ∊ N / x eşittir ^ x <10} olmak üzere iki küme vardır.

B kümesini açıkça yazın ve A kümesiyle birleşimi bulun. Ayrıca bu iki kümenin kesişme noktasını bulun ve sonlandırın.

Çözüm: B kümesi, eşit ve aynı zamanda 10 değerinden küçük olacak şekilde doğal sayılardan oluşur, bu nedenle kapsamlı B kümesinde aşağıdaki gibi yazılır:

B = {2, 4, 6, 8}

A kümesinin B kümesi ile birleşimi:

AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

ve A kümesinin B kümesiyle kesişmesi şu şekilde yazılır:

A ⋂ B = {} = Ø boş kümedir.

Bu iki sonlu kümenin birleşmesinin ve kesişmesinin yeni kümelere yol açtığı ve bu kümelerin de sonlu olduğu unutulmamalıdır.

Referanslar

1. Fuentes, A. (2016). TEMEL MATEMATİK. Kalkülüse Giriş. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: ikinci dereceden denklemler: İkinci dereceden bir denklem nasıl çözülür. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF ve Paul, RS (2003). Yönetim ve ekonomi için matematik. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematik 1 EYL. Eşik.
5. Preciado, CT (2005). Matematik Kursu 3. Editör Progreso.
6. Matematik 10 (2018). "Sonlu Kümeler Örnekleri". Kurtarıldı: matematicas10.net
7. Rock, NM (2006). Cebir Kolay! Çok kolay. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Cebir ve Trigonometri. Pearson Education.
9. Vikipedi. Sınırlı set. Kurtarıldı: es.wikipedia.com