SONSUZ KÜME: ÖZELLIKLER, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Sonsuz bir küme , elemanlarının sayısının sayılamayacağı küme olarak anlaşılır . Yani, elemanlarının sayısı ne kadar büyük olursa olsun, daha fazlasını bulmak her zaman mümkündür.

En yaygın örnek, sonsuz N doğal sayılar kümesidir . Sayı ne kadar büyük olursa olsun, sonu olmayan bir süreçte her zaman daha büyük bir sayı elde edebilirsiniz:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Şekil 1. Sonsuzluk sembolü. (Pixabay)

Evrendeki yıldızlar kümesi kesinlikle çok büyüktür, ancak bunun sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğu kesin olarak bilinmemektedir. Sonlu bir küme olduğu bilinen güneş sistemindeki gezegen sayısının aksine.

Sonsuz kümenin özellikleri

Sonsuz kümelerin özellikleri arasında şunlara işaret edebiliriz:

1- İki sonsuz kümenin birleşmesi, yeni bir sonsuz kümenin ortaya çıkmasına neden olur.

2- Sonlu bir kümenin sonsuz bir kümeyle birleşmesi, yeni bir sonsuz kümeye yol açar.

3- Verilen bir kümenin alt kümesi sonsuzsa, orijinal küme de sonsuzdur. Karşılıklı ifade doğru değil.

Sonsuz bir kümenin önemini veya elemanlarının sayısını ifade edebilecek doğal bir sayı bulamazsınız. Bununla birlikte, Alman matematikçi Georg Cantor, herhangi bir doğal sayıdan daha büyük sonsuz bir sıralı ifade etmek için bir sonsuz sayı kavramını tanıttı.

Örnekler

Doğal N

Sonsuz bir kümenin en sık görülen örneği, doğal sayılardır. Doğal sayılar saymak için kullanılan sayılardır, ancak var olabilecek tam sayılar sayılamaz.

Doğal sayılar kümesi sıfırı içermez ve genellikle N kümesi olarak belirtilir ve kapsamlı biçimde aşağıdaki gibi ifade edilir:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Ve açıkça sonsuz bir küme.

Üç nokta, sonsuz veya sonsuz bir süreçte bir sayıdan sonra diğerinin ve ardından diğerinin geldiğini belirtmek için kullanılır.

Sıfır (0) sayısını içeren kümeyle birleştirilen doğal sayılar kümesi, N + kümesi olarak bilinir .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Bu, sonsuz N kümesinin O = {0} sonlu küme ile birleşmesinin sonucudur ve sonsuz N + kümesiyle sonuçlanır .

Tamsayılar Z

Z tamsayıları kümesi doğal sayılardan, negatif işaretli doğal sayılardan ve sıfırdan oluşur.

Z tam sayıları , sayma sürecinde başlangıçta ve ilkel olarak kullanılan N doğal sayılarına göre bir evrim olarak kabul edilir .

Tam sayıların sayısal Z kümesinde , hiçbir şeyi saymak veya saymak için sıfır ve bir şeylerin çıkarılmasını, kaybını veya eksikliğini saymak için negatif sayılar eklenir.

Fikri açıklamak için, banka hesabında negatif bakiye göründüğünü varsayalım. Bu, hesabın sıfırın altında olduğu ve sadece hesabın boş olduğu değil, aynı zamanda bir şekilde bankaya değiştirilmesi gereken eksik veya negatif bir fark olduğu anlamına gelir.

Kapsamlı biçimde, sonsuz Z tamsayı kümesi şu şekilde yazılır:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Rasyonel Q

Sayma ve bir şeyler, mallar veya hizmetler alışverişi sürecinin evriminde, kesirli veya rasyonel sayılar ortaya çıkar.

Örneğin, iki elmalı yarım somun değiş tokuşunda, işlemin kaydedildiği sırada, yarısının bir bölünmüş veya ikiye bölünmüş olarak yazılması gerektiği birinin aklına geldi: ½. Ancak ekmeğin yarısının yarısı defterlere şu şekilde kaydedilir: ½ / ½ = ¼.

Bu bölünme sürecinin teoride sonsuz olabileceği açıktır, ancak pratikte son ekmek parçacığına ulaşılana kadar.

Rasyonel (veya kesirli) sayılar kümesi şu şekilde gösterilir:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

İki tam sayı arasındaki üç nokta, bu iki sayı veya değer arasında sonsuz bölüm veya bölüm olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, rasyonel sayılar kümesinin sonsuz yoğun olduğu söylenir. Bunun nedeni, iki rasyonel sayı birbirine ne kadar yakın olursa olsun sonsuz değer bulunabilmesidir.

Yukarıdakileri açıklamak için, 2 ile 3 arasında bir rasyonel sayı bulmamızın istendiğini varsayalım. Bu sayı 2⅓ olabilir, bu, 2 tam bölüm ve birimin üçte birinden oluşan karma sayı olarak bilinir. 4/3 yazmaya eşdeğer.

2 ile 2⅓ arasında başka bir değer bulunabilir, örneğin 2⅙. Ve 2 ile 2⅙ arasında başka bir değer bulunabilir, örneğin 2⅛. Bu ikisi arasında ve aralarında biri, diğeri ve diğeri.

Şekil 2. Rasyonel sayılarda sonsuz bölümler. (wikimedia commons)

İrrasyonel sayılar I

İki tam sayının bölümü veya kesri olarak yazılamayan sayılar vardır. İrrasyonel sayılar kümesi I olarak bilinen bu sayısal kümedir ve aynı zamanda sonsuz bir kümedir.

Bu sayısal kümenin bazı önemli unsurları veya temsilcileri pi (π) sayısı, Euler sayısı (e), altın oran veya altın sayıdır (φ). Bu sayılar ancak kabaca bir rasyonel sayı ile yazılabilir:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (ve sonsuza ve ötesine devam ediyor…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (ve sonsuzluğun ötesinde devam ediyor…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (sonsuza… ..ve ötesine… ..)

Çok basit denklemlere çözüm bulmaya çalışırken diğer irrasyonel sayılar ortaya çıkar, örneğin X ^ 2 = 2 denkleminin kesin bir rasyonel çözümü yoktur. Kesin çözüm aşağıdaki semboloji ile ifade edilir: X = √2, bu da x ikinin köküne eşit olarak okunur. √2 için yaklaşık bir rasyonel (veya ondalık) ifade:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Sayısız irrasyonel sayı vardır: √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖).

Gerçek dizi R

Gerçek sayılar, matematiksel hesap, fizik ve mühendislikte en sık kullanılan sayı kümesidir. Bu sayı kümesi, rasyonel sayılar Q ile irrasyonel sayıların I birleşimidir :

R = Q U I

Sonsuzluk sonsuzdan büyük

Sonsuz kümeler arasında bazıları diğerlerinden daha büyüktür. Örneğin, N doğal sayılar kümesi sonsuzdur, ancak sonsuz olan Z tam sayılarının bir alt kümesidir , bu nedenle sonsuz Z kümesi , sonsuz N kümesinden daha büyüktür .

Benzer şekilde, Z tamsayıları kümesi, R gerçek sayılarının bir alt kümesidir ve bu nedenle R kümesi, sonsuz Z kümesi olan "sonsuzdur" .

Referanslar

1. Celeberrima. Sonsuz küme örnekleri. Kurtarıldı: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). TEMEL MATEMATİK. Kalkülüse Giriş. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematik: ikinci dereceden denklemler: İkinci dereceden bir denklem nasıl çözülür. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF ve Paul, RS (2003). Yönetim ve ekonomi için matematik. Pearson Education.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematik 1 EYL. Eşik.
6. Preciado, CT (2005). Matematik Kursu 3. Editör Progreso.
7. Rock, NM (2006). Cebir Kolay! Çok kolay. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Cebir ve Trigonometri. Pearson Education.
9. Vikipedi. Sonsuz küme. Kurtarıldı: es.wikipedia.com