- Ters mülkiyet
- Belirsiz integral
- Entegrasyon sabitinin diğer anlamları
- Entegrasyon sabiti nasıl hesaplanır?
- Örnekler
- örnek 1
- Örnek 2
- Örnek 3
- Önerilen egzersizler
- 1. Egzersiz
- Egzersiz 2
- Egzersiz 3
- Egzersiz 4
- Referanslar
Entegrasyon sabit antiderivatives veya integrallerin hesabına bir katma değer, bir işlev ilkel oluşturan çözümleri temsil hizmet eder. Herhangi bir işlevin sonsuz sayıda ilkeli olduğu doğal bir belirsizliği ifade eder.
Örneğin, f (x) = 2x + 1 fonksiyonunu alırsak ve ters türevini alırsak:
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C ; Burada Cı olup entegrasyon sabit ve ilkel sonsuz olasılıklar arasında grafik olarak dikey çeviri temsil eder. (X 2 + x) 'in f (x)' in ilkellerinden biri olduğunu söylemek doğrudur .
Kaynak: yazar
Benzer şekilde (x 2 + x + C ) 'yi f (x)' in ilkeli olarak tanımlayabiliriz .
Ters mülkiyet
(X 2 + x) ifadesi türetilirken, f (x) = 2x + 1 fonksiyonunun elde edildiği not edilebilir, bunun nedeni fonksiyonların türetilmesi ve entegrasyonu arasında var olan ters özelliktir. Bu özellik, farklılaştırmadan başlayarak entegrasyon formüllerinin elde edilmesini sağlar. Bu, integrallerin aynı türevler aracılığıyla doğrulanmasına izin verir.
Kaynak: yazar
Ancak (x 2 + x), türevi (2x + 1) 'e eşit olan tek işlev değildir.
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C ) / dx = 2x + 1
1, 2, 3 ve 4 f (x) = 2x + 1'in belirli ilkellerini temsil ederken 5, f (x) = 2x + 1'in belirsiz veya ilkel integralini temsil eder.
Kaynak: yazar
Bir fonksiyonun ilkelleri, tersinevasyon veya integral süreç yoluyla elde edilir. Aşağıdaki doğruysa F, f'nin ilkel olacağı yerde
- y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = entegrasyon sabiti
- F '(x) = f (x)
Bir fonksiyonun, entegrasyondan kaynaklanan sonsuz ilkellerinden farklı olarak tek bir türevi olduğu görülebilir.
Belirsiz integral
∫ f (x) dx = F (x) + C
Her bir noktanın (x, y) görüntülerinin değerinde tutarsızlık yaşayan aynı modele sahip bir eğri ailesine karşılık gelir. Bu kalıbı yerine getiren her işlev, bireysel bir ilkel olacaktır ve tüm işlevler kümesi belirsiz bir integral olarak bilinir .
Entegrasyon sabitinin değeri, pratikte her işlevi farklılaştıran değer olacaktır.
Entegrasyon sabit bir fonksiyonun ilkelleri temsil eden grafiklerde dikey kayma göstermektedir. Aralarındaki paralelliğin gözlemlendiği yer ve C'nin yer değiştirmenin değeri olduğu gerçeği .
Yaygın uygulamalara göre , entegrasyon sabiti bir eklemeden sonra "C" harfiyle gösterilir, ancak pratikte sabitin eklenmesi veya çıkarılması önemli değildir. Gerçek değeri, farklı başlangıç koşulları altında çeşitli şekillerde bulunabilir .
Entegrasyon sabitinin diğer anlamları
İntegral hesabı dalında integral sabitinin nasıl uygulandığından daha önce bahsedilmişti ; Belirsiz integrali tanımlayan bir eğri ailesini temsil eder. Ancak diğer birçok bilim ve dal , çoklu çalışmaların geliştirilmesini kolaylaştıran, entegrasyon sabitinin çok ilginç ve pratik değerlerini atfetmiştir.
Gelen fiziği integral sabiti verilerine doğasına bağlı olarak birden fazla değer alabilir. Çok yaygın bir örnek, t zamanına karşı bir parçacığın hızını temsil eden V (t) fonksiyonunu bilmektir . Bir V (t) ilkeli hesaplanırken , parçacığın zamana karşı konumunu temsil eden R (t) fonksiyonunun elde edildiği bilinmektedir .
Entegrasyon sabit olacak t = 0, bir başlangıç konumundan, bir değerini temsil eder.
Aynı şekilde, parçacığın zamana karşı ivmesini temsil eden A (t) fonksiyonu biliniyorsa. A (t) 'nin ilkeli, entegrasyon sabitinin V 0 başlangıç hızının değeri olacağı V (t) fonksiyonuyla sonuçlanacaktır .
Olarak ekonomi , bir maliyet fonksiyonu ilkel entegrasyonu ile elde edilmesiyle. İntegral sabiti olacaktır sabit maliyetleri temsil eder. Ve diferansiyel ve integral hesabı hak eden diğer pek çok uygulama.
Entegrasyon sabiti nasıl hesaplanır?
Entegrasyon sabitini hesaplamak için her zaman başlangıç koşullarını bilmek gerekecektir . Olası ilkellerden hangisinin karşılık gelen olduğunu belirlemekten sorumlu olanlar.
Çoğu uygulamada, (t) anında bağımsız bir değişken olarak ele alınır, burada sabit C belirli bir durumun başlangıç koşullarını tanımlayan değerleri alır .
İlk örneği ele alırsak: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
Geçerli bir başlangıç koşulu, grafiğin belirli bir koordinattan geçmesini şart koşmak olabilir. Örneğin, ilkelin (x 2 + x + C) (1, 2) noktasından geçtiğini biliyoruz.
F (x) = x 2 + x + C; bu genel çözüm
F (1) = 2
Bu eşitlikte genel çözümü ikame ediyoruz
F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2
C = 0 olduğu yerden kolayca takip edilir
Bu şekilde, bu duruma karşılık gelen ilkel, F (x) = x 2 + x
Entegrasyon sabitleriyle çalışan birkaç tür sayısal alıştırma vardır . Aslında, diferansiyel ve integral hesabı, mevcut araştırmalarda uygulanmaya devam ediyor. Farklı akademik seviyelerde bulunabilirler; ilk hesaplamadan fizik, kimya, biyoloji, ekonomi ve diğerleri arasında.
Aynı zamanda çalışmalarında takdir diferansiyel denklemler , entegrasyon sabiti bu konuda yürütülmektedir birden sözcükler ve entegrasyonlar için bu durum farklı değerler ve çözümler, alabilir.
Örnekler
örnek 1
- 30 metre yükseklikte bulunan bir top, bir mermiyi dikey olarak yukarı doğru ateşler. Merminin başlangıç hızının 25 m / s olduğu bilinmektedir. Karar ver:
- Merminin zamana göre konumunu tanımlayan işlev.
- Parçacığın yere çarptığı uçuş zamanı veya anı.
Düzgün bir şekilde değişen doğrusal bir harekette ivmenin sabit bir değer olduğu bilinmektedir. Bu, ivmenin yerçekimi olacağı mermi fırlatma durumudur.
g = - 10 m / s 2
İvmenin pozisyonun ikinci türevi olduğu da bilinmektedir, bu da alıştırmanın çözünürlüğünde bir çift entegrasyonu gösterir ve böylece iki entegrasyon sabiti elde edilir .
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
Egzersizin başlangıç koşulları, başlangıç hızının V 0 = 25 m / s olduğunu gösterir. Bu, t = 0 anındaki hızdır. Bu şekilde şu tatmin edilir:
V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 ve C 1 = 25
Tanımlanan hız fonksiyonu ile
V (t) = -10t + 25; MRUV formülü ile benzerlik gözlemlenebilir (V f = V 0 + axt)
Homolog bir şekilde, konumu tanımlayan ifadeyi elde etmek için hız fonksiyonunu entegre etmeye devam ediyoruz:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (ilkel konum)
Başlangıç konumu R (0) = 30 m bilinmektedir. Ardından merminin belirli ilkeli hesaplanır.
R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2 . C 2 = 30 nerede
Örnek 2
- Başlangıç koşullarını karşılayan ilkel f (x) 'i bulun:
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
İkinci türevin bilgisi ile f '' (x) = 4 ters türev süreci başlar
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
Sonra, f '(2) = 2 koşulunu bilerek ilerliyoruz:
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 ve f '(x) = 4x - 8
İkinci entegrasyon sabiti için de aynı şekilde ilerliyoruz
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
Başlangıç koşulu f (0) = 7 biliniyor ve devam ediyoruz:
2 (0) 2 - 8 (0) + c 2 = 7
C 2 = 7 ve f (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2 ; f '(0) = 6; f (0) = 3
Önceki probleme benzer şekilde, ilk türevleri ve orijinal işlevi başlangıç koşullarından tanımlıyoruz.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (x 2 ) dx = (x 3 /3) + c 1
F '(0) = 6 koşuluyla devam ediyoruz:
(0 3/3 ) + C 1 = 6; Burada C 1 = 6 ve f (x) = (x 3 /3) + 6
Sonra ikinci entegrasyon sabiti
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ dx = (x 4 /12) + 6x + C 2
Başlangıç koşulu f (0) = 3 biliniyor ve devam ediyoruz:
+ 6 (0) + C 2 = 3; C 2 = 3 nerede
Böylece ilkel belirli
f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3
Örnek 3
- Türevlere verilen ilkel fonksiyonları ve grafikte bir noktayı tanımlayın:
- dy / dx = 2x - 2 (3, 2) noktasından geçer
Türevlerin, belirli bir noktada eğriye teğet olan doğrunun eğimini ifade ettiğini hatırlamak önemlidir. Türev grafiğinin belirtilen noktaya dokunduğunu varsaymanın doğru olmadığı durumlarda, bu ilkel fonksiyonun grafiğine aittir.
Bu şekilde diferansiyel denklemi şu şekilde ifade ederiz:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
Başlangıç koşulunun uygulanması:
2 = (3) 2 - 2 (3) + C
C = -1
Elde edilir: f (x) = x 2 - 2x - 1
- dy / dx = 3x 2 - 1 noktasından (0, 2) geçen
Diferansiyel denklemi şu şekilde ifade ediyoruz:
Başlangıç koşulunun uygulanması:
2 = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
Elde ettiğimiz: f (x) = x 3 - x + 2
Önerilen egzersizler
1. Egzersiz
- Başlangıç koşullarını karşılayan ilkel f (x) 'i bulun:
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
Egzersiz 2
- 16 ft / sn hızla yükselen bir balon, yerden 64 ft yükseklikten bir torba kum düşürür.
- Uçuş süresini tanımlayın
- Yere çarptığında V f vektörü ne olur?
Egzersiz 3
- Şekil, x ekseninin pozitif yönünde hareket eden bir arabanın ivme-zaman grafiğini göstermektedir. Sürücü 10 saniye içinde durmak için frene bastığında, araba 54 km / s sabit hızla gidiyordu. belirleyin:
- Arabanın ilk ivmesi
- Arabanın t = 5s'deki hızı
- Frenleme sırasında arabanın yer değiştirmesi
Kaynak: yazar
Egzersiz 4
- Türevlere verilen ilkel fonksiyonları ve grafikte bir noktayı tanımlayın:
- dy / dx = x (-1, 4) noktasından geçen x
- dy / dx = -x 2 + 1 (0, 0) noktasından geçer
- dy / dx = -x + 1 (-2, 2) noktasından geçen
Referanslar
- Integral hesabı. Belirsiz integral ve integral yöntemleri. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena Üniversitesi 2014
- Stewart, J. (2001). Bir değişkenin hesaplanması. Erken aşkınlıklar. Meksika: Thomson Learning.
- Jiménez, R. (2011). Matematik VI. Integral hesabı. Meksika: Pearson Education.
- Fizik I. Mc Graw tepesi