SILINDIRIK KOORDINATLAR: SISTEM, DEĞIŞIM VE ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK

Silindirik koordinatlar φ azimut koordine etmek ve Z yüksekliği koordinatı, ρ koordinat radyal üç boyutlu uzayda noktaları ve bir oluşmaktadır için kullanılır.

Uzayda bulunan bir P noktası, XY düzleminde ortogonal olarak yansıtılır ve bu düzlemde P 'noktasına yol açar. Başlangıç noktasından P 'noktasına olan mesafe ρ koordinatını, X ekseni ve ışını OP' arasındaki açı ise φ koordinatını tanımlar. Son olarak, z koordinatı, P noktasının Z ekseni üzerindeki ortogonal izdüşümüdür. (bkz. şekil 1).

Şekil 1. Silindirik koordinatların P noktası (ρ, φ, z). (Kendi detaylandırma)

Radyal koordinat ρ her zaman pozitiftir, azimut koordinatı φ sıfır radyan ile iki pi radyan arasında değişir, z koordinatı herhangi bir gerçek değeri alabilir:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Koordinat değişikliği

Bir P noktasının Kartezyen koordinatlarını (x, y, z) silindirik koordinatlarından (ρ, φ, z) elde etmek nispeten kolaydır:

x = ρ cos (φ)

y = ρ günah (φ)

z = z

Ancak bir P noktasının Kartezyen koordinatlarının (x, y, z) bilgisinden yola çıkarak kutupsal koordinatları (ρ, φ, z) elde etmek de mümkündür:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arktan (y / x)

z = z

Silindirik koordinatlarda vektör tabanı

Silindirik birim vektörlerin tabanı Uρ , Uφ , Uz tanımlanmıştır .

Uρ vektörü , φ = ctte ve z = ctte (radyal olarak dışa dönük) çizgisine teğettir, Uφ vektörü , ρ = ctte ve z = ctte çizgisine teğettir ve son olarak Uz , Z ekseni ile aynı yöne sahiptir.

Şekil 2. Silindirik koordinat tabanı. (wikimedia commons)

Silindirik birim tabanında, bir P noktasının konum vektörü r vektörel olarak şöyle yazılır:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Öte yandan, P noktasından sonsuz küçük bir yer değiştirme d r aşağıdaki gibi ifade edilir:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Benzer şekilde, silindirik koordinatlarda dV hacminin sonsuz küçük bir öğesi:

dV = ρ dρ dφ dz

Örnekler

Silindirik koordinatların kullanımı ve uygulamasına ilişkin sayısız örnek vardır. Örneğin haritacılıkta, tam olarak bu koordinatlara dayalı olarak silindirik izdüşüm kullanılır. Daha fazla örnek var:

örnek 1

Silindirik koordinatların teknolojide uygulamaları vardır. Örnek olarak, aslında birkaç diskten oluşan bir sabit diskte CHS (Cylinder-Head-Sector) veri konumlandırma sistemine sahibiz:

- Silindir veya iz, ρ koordinatına karşılık gelir.

- Sektör, yüksek açısal hızda dönen diskin φ konumuna karşılık gelir.

- Kafa, karşılık gelen diskteki okuma kafasının z konumuna karşılık gelir.

Her bilgi baytının silindirik koordinatlarda (C, S, H) kesin bir adresi vardır.

Şekil 2. Bir sabit disk sistemindeki silindirik koordinatlardaki bilgilerin konumu. (wikimedia commons)

Örnek 2

İnşaat vinçleri, yükün konumunu silindirik koordinatlarda sabitler. Yatay konum, vincin ρ eksenine veya okuna olan mesafeyle ve bazı referans eksenlerine göre açısal konumu by ile tanımlanır. Yükün dikey konumu, yüksekliğin z koordinatı ile belirlenir.

Şekil 3. Bir inşaat vinci üzerindeki yükün konumu, silindirik koordinatlarla kolayca ifade edilebilir. (resim Pixabay - ek açıklamalar R. Pérez)

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Silindirik koordinatlı (3, 120º, -4) P1 noktaları ve silindirik koordinatlı (2, 90º, 5) P2 noktası vardır. Bu iki nokta arasındaki Öklid mesafesini bulun.

Çözüm: Öncelikle her noktanın Kartezyen koordinatlarını yukarıda verilen formüle göre bulmaya devam ediyoruz.

P1 = (3 * marul 120º, 3 * günah 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * marul 90º, 2 * günah 90º, 5) = (0, 2, 5)

P1 ve P2 arasındaki Öklid mesafesi:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Egzersiz 2

P noktasının Kartezyen koordinatları vardır (-3, 4, 2). Karşılık gelen silindirik koordinatları bulun.

Çözüm: Yukarıda verilen ilişkileri kullanarak silindirik koordinatları bulmaya devam ediyoruz:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arktan (y / x) = arktan (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

z = 2

Arktanjant fonksiyonunun 180º periyodiklik ile çok değerli olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca, point açısı ikinci çeyreğe ait olmalıdır, çünkü P noktasının x ve y koordinatları bu çeyrekte yer alır. Φ sonucuna 180º eklenmesinin nedeni budur.

Egzersiz 3

Silindirik koordinatlarla ve Kartezyen koordinatlarında, 2 yarıçaplı ve ekseni Z ekseni ile çakışan bir silindirin yüzeyini ifade edin.

Çözüm: Silindirin z yönünde sonsuz bir uzantıya sahip olduğu anlaşılmaktadır, dolayısıyla söz konusu yüzeyin silindirik koordinatlardaki denklemi:

ρ = 2

Silindirik yüzeyin Kartezyen denklemini elde etmek için, önceki denklemin her iki üyesinin karesi alınır:

ρ ² = 4

Önceki eşitliğin her iki üyesini de 1 ile çarpar ve temel trigonometrik özdeşliği uygularız (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(günah ² (φ) + marul ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Parantez şunları elde etmek için geliştirilmiştir:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

İlk parantezlerin (ρ sin (φ)) kutupsal koordinatlardaki bir noktanın y koordinatı olduğunu, parantezlerin (ρ cos (φ)) x koordinatını temsil ettiğini, böylece koordinatlarda silindir denklemine sahip olduğumuzu hatırlıyoruz Kartezyen:

y ² + x ² = 2 ²

Yukarıdaki denklem, XY düzlemindeki bir çevreninki ile karıştırılmamalıdır, çünkü bu durumda şöyle görünecektir: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Egzersiz 4

C, C = 1 kg / değer bir sabittir - (ρ / R 1) yarıçapı R = 1, m ve yüksekliği H bir silindir = 1 m, aşağıdaki denklem D (ρ) = C radyal olarak dağıtılması için uygun olan kütleye sahip ³ . Silindirin toplam kütlesini kilogram cinsinden bulun.

Çözüm: İlk şey, D (ρ) fonksiyonunun hacimsel kütle yoğunluğunu temsil ettiğini ve kütle yoğunluğunun merkezden çevreye azalan yoğunlukta silindirik kabuklar halinde dağıtıldığını anlamaktır. Problemin simetrisine göre sonsuz küçük bir hacim öğesi:

dV = ρ dρ 2π H

Dolayısıyla, silindirik bir kabuğun sonsuz küçük kütlesi şöyle olacaktır:

dM = D (ρ) dV

Bu nedenle, silindirin toplam kütlesi aşağıdaki belirli integral ile ifade edilecektir:

M = ∫ _veya^R D (ρ) dV = ∫ _veya^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _veya^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Belirtilen integralin çözümünü elde etmek zor değildir, sonucu şu şekildedir:

∫ _veya^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Bu sonucu silindirin kütlesinin ifadesiyle birleştirerek şunu elde ederiz:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1.05 kg

Referanslar

Arfken G ve Weber H. (2012). Fizikçiler için matematiksel yöntemler. Kapsamlı bir rehber. 7. baskı. Akademik Basın. Mayıs ISBN 978-0-12-384654-9
Hesaplama cc. Silindirik ve küresel koordinat problemleri çözüldü. Calculo.cc'den kurtarıldı
Weisstein, Eric W. "Silindirik Koordinatlar." MathWorld'den - Bir Wolfram Web. Kurtarıldı: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Silindirik koordinat sistemi. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı
wikipedia. Silindirik ve küresel koordinatlarda vektör alanları. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı

SILINDIRIK KOORDINATLAR: SISTEM, DEĞIŞIM VE ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025