DÖRTGEN: ELEMANLAR, ÖZELLIKLER, SINIFLANDIRMA, ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Bir dörtlü dört tarafı ve dört köşe bir çokgendir. Karşıt tarafları ortak köşeleri olmayanlardır, ardışık taraflar ise ortak bir tepe noktasına sahip olanlardır.

Bir dörtgende, bitişik açılar bir tarafı paylaşırken, zıt açıların ortak yanları yoktur. Bir dörtgenin bir diğer önemli özelliği, dört iç açısının toplamının düzlem açısının iki katı, yani 360º veya 2π radyan olmasıdır.

Şekil 1. Çeşitli dörtgenler. Kaynak: F. Zapata.

Köşegenler, bir köşeyi zıtıyla birleştiren bölümlerdir ve belirli bir dörtgende, her bir köşeden tek bir köşegen çizilebilir. Bir dörtgendeki toplam köşegen sayısı ikidir.

Dörtgenler, insanlığın eski çağlardan beri bildiği figürlerdir. Arkeolojik kayıtlar ve günümüze ulaşan yapılar bunu kanıtlıyor.

Aynı şekilde bugün de dörtgenler, herkesin günlük yaşamında önemli bir varlığa sahip olmaya devam ediyor. Okuyucu bu formu şu anda metni okuduğu ekranda, pencerelerde, kapılarda, otomotiv parçalarında ve sayısız başka yerde bulabilir.

Dörtgen sınıflandırma

Karşı tarafların paralelliğine göre dörtgenler şu şekilde sınıflandırılır:

1. Yamuk, paralellik olmadığında ve dörtgen dışbükey olduğunda.
2. Trapezoid, tek bir çift zıt taraf arasında paralellik olduğunda.
3. Paralelkenar, zıt tarafları ikişer ikişer paralel olduğunda.

Şekil 2. Dörtgenlerin sınıflandırılması ve alt sınıflandırılması. Kaynak: Wikimedia Commons.

Paralelkenar türleri

Sırayla, paralelkenarlar açılarına ve yanlarına göre şu şekilde sınıflandırılabilir:

1. Dikdörtgen, dört iç açısı eşit ölçüdeki paralelkenardır. Bir dikdörtgenin iç açıları bir dik açı (90º) oluşturur.
2. Kare, dört kenarı eşit ölçüdeki bir dikdörtgendir.
3. Eşkenar dörtgen, dört kenarı eşit, ancak farklı bitişik açıları olan paralelkenardır.
4. Eşkenar dörtgen, farklı komşu açılara sahip paralelkenar.

Trapez

Yamuk, iki paralel kenarı olan dışbükey bir dörtgendir.

Şekil 3. Bir yamuğun tabanları, kenarları, yüksekliği ve medyanı. Kaynak: Wikimedia Commons.

- Bir yamukta paralel kenarlar taban, paralel olmayanlar ise yanal olarak adlandırılır.

- Bir yamuğun yüksekliği, iki taban arasındaki mesafedir, yani, tabanlarında uçları olan ve bunlara dik olan bir segmentin uzunluğudur. Bu bölüm aynı zamanda yamuğun yüksekliği olarak da adlandırılır.

- Ortanca, yanalların orta noktalarını birleştiren segmenttir. Ortancanın yamuğun tabanlarına paralel olduğu ve uzunluğunun tabanların yarı parçasına eşit olduğu gösterilebilir.

- Bir yamuğun alanı, yüksekliğinin tabanların yarı toplamı ile çarpımıdır:

Yamuk türleri

-Dikdörtgen yamuk : Yanları tabanlara dik olan yamuktur . Bu taraf aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.

-Isosceles yamuk : eşit uzunlukta iki olan. Bir ikizkenar yamukta, tabanlara bitişik açılar eşittir.

-Scalene trapezium : farklı uzunluklarda kenarları olan. Karşıt açıları biri keskin, diğeri geniş olabilir, ancak her ikisinin de geniş veya her ikisi de akut olabilir.

Şekil 4. Trapez türleri. Kaynak: F. Zapata.

Paralelkenar

Paralelkenar, zıt tarafları ikişer ikişer paralel olan bir dörtgendir. Bir paralelkenarda zıt açılar eşittir ve bitişik açılar tamamlayıcıdır veya başka bir deyişle, bitişik açılar toplamı 180º'ye çıkar.

Bir paralelkenar dik açıya sahipse, diğer tüm açılar da olacaktır ve ortaya çıkan şekle dikdörtgen denir. Ancak dikdörtgenin aynı uzunlukta bitişik kenarları da varsa, tüm kenarları eşittir ve ortaya çıkan şekil bir karedir.

Şekil 5. Paralelkenarlar. Dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen paralelkenarlardır. Kaynak: F. Zapata.

Bir paralelkenar aynı uzunlukta iki bitişik kenara sahip olduğunda, tüm kenarları aynı uzunlukta olacaktır ve ortaya çıkan şekil bir eşkenar dörtgendir.

Bir paralelkenarın yüksekliği, uçları zıt taraflarında ve onlara dik olan bir segmenttir.

Paralelkenarın alanı

Paralelkenarın alanı, tabanın çarpımı çarpı yüksekliğidir, taban, yüksekliğe dik bir kenardır (şekil 6).

Bir paralelkenarın köşegenleri

Bir köşeden başlayan köşegenin karesi, adı geçen köşeye bitişik iki kenarın karelerinin toplamına ve bu kenarların o köşenin açısının kosinüsüne göre çift çarpımına eşittir:

f ² = bir ² + d ² + 2 reklam Cos (α)

Şekil 6. Paralelkenar. Zıt açılar, yükseklik, köşegenler. Kaynak: F. Zapata.

Bir paralelkenarın tepe noktasının karşısındaki köşegenin karesi, söz konusu tepe noktasına bitişik iki kenarın karelerinin toplamına eşittir ve bu kenarların çift çarpımını o tepe açısının kosinüsü ile çıkarır:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Paralelkenarlar kanunu

Herhangi bir paralelkenarda, kenarlarının karelerinin toplamı, köşegenlerin karelerinin toplamına eşittir:

bir ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Dikdörtgen, karşıt kenarları ikişer ikişer paralel olan ve aynı zamanda dik açıya sahip bir dörtgendir. Başka bir deyişle, dikdörtgen, dik açılı bir paralelkenar türüdür. Paralelkenar olduğu için dikdörtgenin karşılıklı uzunlukları a = c ve b = d eşittir.

Ancak herhangi bir paralelkenarda olduğu gibi, bitişik açılar tamamlayıcıdır ve zıt açılar eşittir, dikdörtgende dik açıya sahip olduğundan, diğer üç açıda da zorunlu olarak dik açılar oluşturacaktır. Başka bir deyişle, bir dikdörtgende tüm iç açılar 90º veya π / 2 radyan ölçülür.

Dikdörtgenin köşegenleri

Bir dikdörtgende köşegenler, aşağıda gösterileceği gibi eşit uzunluktadır. Gerekçe şu şekildedir; Dikdörtgen, tüm dik açıları olan bir paralelkenardır ve bu nedenle, köşegenlerin uzunluğunu veren formül de dahil olmak üzere paralelkenarın tüm özelliklerini miras alır:

f ² = bir ² + d ² + 2 reklam Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

α = 90º ile

Cos (90º) = 0 olduğundan, şu şekilde olur:

f ² = g ² = bir ² + d ²

Yani, f = g ve bu nedenle dikdörtgenin iki köşegeninin uzunlukları f ve g eşittir ve uzunlukları şu şekilde verilir:

Ayrıca, bitişik kenarları a ve b olan bir dikdörtgenin bir kenarı taban olarak alınırsa, diğer kenar yüksek olacak ve dolayısıyla dikdörtgenin alanı:

Dikdörtgenin alanı = balta b.

Çevre, dikdörtgenin tüm kenarlarının toplamıdır, ancak karşıtlar eşit olduğundan, a ve b kenarları olan bir dikdörtgen için çevre aşağıdaki formülle verilir:

Dikdörtgenin çevresi = 2 (a + b)

Şekil 7. a ve b kenarlarına sahip dikdörtgen. F ve g köşegenleri eşit uzunluktadır. Kaynak: F. Zapata.

Meydan

Kare, bitişik kenarları aynı uzunlukta olan bir dikdörtgendir. Karenin a kenarı varsa, köşegenleri f ve g aynı uzunluktadır, bu f = g = (√2) a'dır.

Bir karenin alanı yan karesidir:

Bir karenin alanı = a ²

Bir karenin çevresi kenarın iki katıdır:

Bir karenin çevresi = 4 a

Şekil 8. A kenarı, alanını, çevresini ve köşegenlerinin uzunluğunu gösteren kare. Kaynak: F. Zapata ..

Elmas

Eşkenar dörtgen, bitişik kenarları aynı uzunlukta olan bir paralelkenardır, ancak bir paralelkenarda zıt kenarlar eşit olduğundan, bir eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının uzunluğu eşittir.

Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri farklı uzunluklardadır, ancak dik açılarda kesişirler.

Şekil 9. a kenarının eşkenar dörtgen, alanını, çevresini ve köşegenlerinin uzunluğunu gösterir. Kaynak: F. Zapata.

Örnekler

örnek 1

Bir dörtgende (kesişmemiş) iç açıların toplamının 360º olduğunu gösterin.

Şekil 10: Bir dörtgenin açılarının toplamının 360º'ye ulaştığı gösterilmiştir. Kaynak: F. Zapata.

Dörtgen bir ABCD düşünülür (bkz. Şekil 10) ve diyagonal BD çizilir. ABD ve BCD olmak üzere iki üçgen oluşturulmuştur. ABD üçgeninin iç açılarının toplamı:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

Ve BCD üçgeninin iç açılarının toplamı:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Elde ettiğimiz iki denklemi ekleyerek:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Gruplama:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Gruplandırarak ve yeniden adlandırarak nihayet şunu gösterir:

α + β + δ + γ = 360º

Örnek 2

Bir yamuğun medyanının tabanlarına paralel olduğunu ve uzunluğunun, tabanların yarı parçası olduğunu gösterin.

Şekil 11. Trapez ABCD'nin medyan MN'si. Kaynak: F. Zapata.

Bir yamuğun medyanı, yanlarının orta noktalarını, yani paralel olmayan kenarları birleştiren segmenttir. Şekil 11'de gösterilen yamuk ABCD'de medyan MN'dir.

M, AD'nin orta noktası ve N, BC'nin orta noktası olduğundan, AM / AD ve BN / BC oranları eşittir.

Yani, AM, AD'nin BC ile aynı oranda BN ile orantılıdır, bu nedenle Thales'in (karşılıklı) teoreminin uygulanması için koşullar verilmiştir, bu da aşağıdakileri belirtir:

"Orantılı bölümler iki bölüm tarafından kesilen üç veya daha fazla çizgide belirlenirse, bu doğruların hepsi paraleldir."

Bizim durumumuzda MN, AB ve DC hatlarının birbirine paralel olduğu sonucuna varıldı, bu nedenle:

"Bir yamuğun medyanı, tabanlarına paraleldir."

Şimdi Thales teoremi uygulanacak:

"İki veya daha fazla sekant tarafından kesilen bir dizi paralellik, orantılı segmentleri belirler."

Bizim durumumuzda AD = 2 AM, AC = 2 AO, dolayısıyla DAC üçgeni MAO üçgenine benzer ve dolayısıyla DC = 2 MO.

Benzer bir argüman, CAB'nin CON'a benzer olduğunu doğrulamamıza izin verir, burada CA = 2 CO ve CB = 2 CN. Hemen AB = 2 ON olur.

Kısaca, AB = 2 AÇIK ve DC = 2 MO. Yani eklerken elimizde:

AB + DC = 2 AÇIK + 2 MO = 2 (MO + AÇIK) = 2 MN

Sonunda MN temizlenir:

MN = (AB + DC) / 2

Ve bir yamuğun medyanının bazların yarı toplamını ölçtüğü veya başka bir şekilde ifade ettiği sonucuna varıldı: medyan, ikiye bölünerek bazların toplamını ölçer.

Örnek 3

Bir eşkenar dörtgende köşegenlerin dik açılarda kesiştiğini gösterin.

Şekil 12. Eşkenar dörtgen ve köşegenlerinin dik açılarda kesiştiğinin gösterilmesi. Kaynak: F. Zapata.

Şekil 12'deki yazı tahtası, gerekli yapıyı göstermektedir. Önce paralelkenar ABCD, AB = BC, yani bir eşkenar dörtgen ile çizilir. Çapraz AC ve DB, şekilde gösterilen sekiz açıyı belirler.

Bir sekant tarafından kesilen paralellikler arasındaki alternatif iç açıların eşit açıları belirlediğini belirten teoremi (aip) kullanarak, aşağıdakileri oluşturabiliriz:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ ve δ2 = β2. (*)

Öte yandan, bir eşkenar dörtgenin bitişik kenarları eşit uzunlukta olduğundan, dört ikizkenar üçgen belirlenir:

DAB, BCD, CDA ve ABC

Şimdi, tabana bitişik açıların eşit ölçülerde olduğunu belirten üçgen (ikizkenar) teoremi çağrılır ve bundan şu sonuca varılır:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ ve α ₁ = γ2 (**)

(*) Ve (**) ilişkileri birleştirilirse, aşağıdaki açı eşitliğine ulaşılır:

Bir yandan α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ ve diğer yandan β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2.

İki eşit açı arasında eşit kenarlı iki üçgenin eşit olduğunu belirten eşit üçgen teoremini hatırlayarak, elimizde:

AOD = AOB ve dolayısıyla açıları da ∡AOD = ∡AOB.

O zaman ∡AOD + ∡AOB = 180º, ancak her iki açı da eşit ölçülerde olduğundan, 2 ∡AOD = 180º elde ederiz ki bu AOD = 90º anlamına gelir.

Yani, bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin dik açılarda kesiştiği geometrik olarak gösterilmiştir.

Egzersizler çözüldü

- 1. Egzersiz

Sağ yamukta dik olmayan açıların tamamlayıcı olduğunu gösterin.

Çözüm

Şekil 13. Sağ yamuk. Kaynak: F. Zapata.

Yamuk ABCD, AB ve DC paralel bazlarla oluşturulmuştur. A tepe noktasının iç açısı doğrudur (90º ölçüsündedir), bu yüzden sağ yamuğumuz var.

Α ve δ açıları, AB ve DC paralelleri arasındaki iç açılardır, bu nedenle eşittirler, yani δ = α = 90º.

Öte yandan, bir dörtgenin iç açılarının toplamının 360º'ye ulaştığı gösterilmiştir, yani:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Yukarıdakiler şunlara yol açar:

β + δ = 180º

Ve δ açılarının tamamlayıcı olduğunu göstermek istediklerini doğrulamak.

- Egzersiz 2

Bir paralelkenar ABCD, AB = 2 cm ve AD = 1 cm'ye sahiptir, ayrıca BAD açısı 30º'dir. Bu paralelkenarın alanını ve iki köşegeninin uzunluğunu belirleyin.

Çözüm

Bir paralelkenarın alanı, tabanının uzunluğunun ve yüksekliğinin çarpımıdır. Bu durumda b = AB = 2 cm segmentin uzunluğu esas alınacak, diğer tarafın uzunluğu a = AD = 1 cm olacak ve h yüksekliği şu şekilde hesaplanacaktır:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Yani: Alan = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Referanslar

1. CEA (2003). Geometri elemanları: alıştırmalar ve pusula geometrisi ile. Medellin Üniversitesi.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Editoryal Patria.
3. Serbest, K. (2007). Çokgenleri Keşfedin. Benchmark Eğitim Şirketi.
4. Hendrik, V. (2013). Genelleştirilmiş Çokgenler. Birkhäuser.
5. Iger. (Sf). Matematik Birinci Dönem Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. (2014). Çokgenler. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren ve Hornsby. (2006). Matematik: Akıl Yürütme ve Uygulamalar (Onuncu Baskı). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Editoryal Progreso.
9. Vikipedi. Dörtgenler. Kurtarıldı: es.wikipedia.com