HALAT (GEOMETRI): UZUNLUK, TEOREM VE ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Bir kiriş , düzlem geometri, bir eğri üzerinde iki nokta birleştiren hat bölümdür. Bu parçayı içeren çizginin eğriye sekant bir çizgi olduğu söylenir. Bu genellikle bir çemberdir, ancak akorlar kesinlikle elipsler ve paraboller gibi diğer birçok eğrinin üzerine çizilebilir.

Soldaki şekil 1'de A ve B noktalarının ait olduğu bir eğri vardır A ve B arasındaki akor yeşil segmenttir. Sağda bir çevre ve onun iplerinden biri var, çünkü sonsuzluklar çizmek mümkün.

Şekil 1. Solda rastgele bir eğrinin akoru ve sağında bir dairenin kirişi. Kaynak: Wikimedia Commons.

Çevresinde çapı özellikle ilgi çekicidir, bu aynı zamanda ana akor olarak da bilinir. Her zaman çevrenin merkezini içeren ve yarıçapın iki katını ölçen bir akordur.

Aşağıdaki şekil yarıçapı, çapı, bir kirişi ve ayrıca bir çevrenin yayını gösterir. Sorunları çözerken her birini doğru şekilde tanımlamak önemlidir.

Şekil 2. Çevrenin unsurları. Kaynak: Wikimedia Commons.

Bir dairenin akor uzunluğu

Akorun uzunluğunu bir daire içinde Şekil 3a ve 3b'den hesaplayabiliriz. Bir üçgenin her zaman iki eşit kenardan (ikizkenar) oluştuğuna dikkat edin: çevrenin yarıçapı olan R'yi ölçen OA ve OB bölümleri. Üçgenin üçüncü kenarı, tam olarak akorun uzunluğu olan C olarak adlandırılan AB segmentidir.

İki yarıçap arasında var olan ve tepe noktası çevrenin merkezi O olan θ açısını ikiye bölmek için C kirişine dik bir çizgi çizmek gerekir. Bu merkezi bir açıdır - çünkü tepe noktası merkezdir - ve açıortay çizgisi de çevreye bir sekanttır.

Hipotenüsü R'yi ölçen iki dik üçgen hemen oluşur. Açıortay ve bununla birlikte akoru iki eşit parçaya böldüğünden, ayaklardan birinin C'nin yarısı olduğu ortaya çıkar. Şekil 3b.

Bir açının sinüsünün tanımından:

günah (θ / 2) = ters bacak / hipotenüs = (C / 2) / R

Böylece:

günah (θ / 2) = C / 2R

C = 2R günah (θ / 2)

Şekil 3. İki yarıçap ve bir çevre kirişinden oluşan üçgen, iki eşit kenara sahip olduğu için ikizkenardır (şekil 3). Açıortay, onu iki dik üçgene böler (Şekil 3b). Kaynak: F. Zapata tarafından hazırlanmıştır.

String teoremi

String teoremi şu şekildedir:

Aşağıdaki şekil, aynı çevreye sahip iki akoru göstermektedir: P noktasında kesişen AB ve CD, akor AB'de AP ve PB bölümleri tanımlanırken, akorda CD CP ve PD tanımlanmıştır. Öyleyse, teoreme göre:

AP. PB = CP. Not;

Şekil 4. Bir dairenin akor teoremi. Kaynak: F. Zapata.

Dizelerin çözülmüş alıştırmaları

- 1. Egzersiz

Bir daire, merkezden 7 cm uzaklıkta olan 48 cm'lik bir kirişe sahiptir. Dairenin alanını ve çevrenin çevresini hesaplayın.

Çözüm

A çemberinin alanını hesaplamak için, doğru olduğu için çevrenin karesinin yarıçapını bilmek yeterlidir:

A = π.R ²

Şimdi verilen verilerle oluşturulan şekil, bacakları sırasıyla 7 ve 24 cm olan bir dik üçgendir.

Şekil 5. Çözümlenmiş alıştırma için geometri 1. Kaynak: F. Zapata.

Bu yüzden, R değerini bulmak için ² , C Pisagor teoreminin ² = bir ² + B ² direkt olarak uygulanır ki burada R üçgenin hipotenüs olduğu,:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Yani istenen alan:

Bir = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Çevrenin çevresi veya uzunluğu L ile ilgili olarak, şu şekilde hesaplanır:

L = 2π. R,

Değişim değerleri:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Egzersiz 2

Denklemi şu olan bir dairenin kirişinin uzunluğunu belirleyin:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Akorun orta noktasının koordinatlarının P (17/2; 7/2) olduğu bilinmektedir.

Çözüm

Akor P'nin orta noktası çevreye ait değildir, ancak akorun uç noktaları buna aittir. Sorun, daha önce açıklanan dizi teoremi kullanılarak çözülebilir, ancak önce çevre denklemini kanonik formda yazmak, yarıçapını R ve merkezini O belirlemek için uygundur.

Adım 1: Çevrenin kanonik denklemini elde edin

Dairenin merkez (h, k) ile kanonik denklemi:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Bunu elde etmek için kareleri tamamlamanız gerekir:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

6x = 2. (3x) ve 14y = 2. (7y) olduğuna dikkat edin, böylece önceki ifade bu şekilde yeniden yazılır ve değişmeden kalır:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14 yıldır + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

Ve şimdi, dikkat çekici ürün (ab) ² = a ² - 2ab + b ^2'nin tanımını hatırlayarak yazabilirsiniz:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Çevrenin merkezi (3,7) ve yarıçapı R = √169 = 13. Aşağıdaki şekil teoremde kullanılacak çevre ve akorların grafiğini göstermektedir:

Şekil 6. Çözümlenen alıştırmanın çevresinin grafiği 2. Kaynak: F. Mathway çevrimiçi grafik hesap makinesini kullanan Zapata.

Adım 2: String teoreminde kullanılacak segmentleri belirleyin

Kullanılacak bölümler şekil 6'ya göre CD ve AB dizeleridir, her ikisi de P noktasında kesilmiştir, bu nedenle:

CP. PD = AP. PB

Şimdi O ve P noktaları arasındaki mesafeyi bulacağız, çünkü bu bize OP segmentinin uzunluğunu verecektir. Yarıçapı bu uzunluğa eklersek, CP segmentine sahip oluruz.

İki koordinat noktası (x ₁ , y ₁ ) ve (x ₂ , y ₂ ) arasındaki d _OP mesafesi :

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Elde edilen tüm sonuçların yanı sıra grafikle aşağıdaki segment listesini oluşturuyoruz (bkz.Şekil 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = akor uzunluğu

Dizi teoreminde ikame etmek:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Dizenin uzunluğu 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Okuyucu problemi başka bir şekilde çözebilir mi?

Referanslar

1. Baldor, A. 2004. Trigonometri ile Düzlem ve Uzay Geometrisi. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Cı-K12. Akor Uzunluğu. Kurtarıldı: ck12.org.
3. Escobar, J. Çevre. Kurtarılan: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Kurtarıldı: dspace.espol.edu.ec.
5. Vikipedi. İp (Geometri). Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.