KOTANJANT TÜREVI: HESAPLAMA, ISPAT, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Konjant türevi cosecant "-Csc karesinin tersine eşittir ² ". Bu formül, tanımı gereği türev yasalarına ve trigonometrik fonksiyonların farklılaşmasına uyar. Aşağıdaki şekilde belirtilmiştir:

d (ctg u) = -csc ² u. du

"Du", bağımsız değişkene göre bağımsız değişken işlevinden türetilen ifadeyi sembolize eder.

Kaynak: Pixabay.com

Nasıl hesaplanır?

Bu türevleri geliştirme prosedürü oldukça basittir. Sadece argümanı ve temsil ettiği işlev türünü doğru bir şekilde tanımlamak yeterlidir.

Örneğin, Ctg (f / g) ifadesinin bağımsız değişkeninde bir bölümü vardır. Bu, kotanjant türevini geliştirdikten sonra, U / V ile ilgili bir farklılaşma gerektirecektir.

Kotanjant, tanjantın tersidir. Cebirsel olarak bu şu anlama gelir:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Kotanjant fonksiyonunun tanjantın "tersi" olduğunu söylemek yanlıştır. Bunun nedeni, tanım gereği ters tanjant fonksiyonunun ark tanjant olmasıdır.

(Tg ^-1 x) = arktg x

Pisagor trigonometrisine göre, kotanjant aşağıdaki bölümlerde yer alır:

Ctg x = (çünkü x) / (günah x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Analitik trigonometriye göre aşağıdaki kimliklere yanıt verir:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg bir)

Kotanjant fonksiyonunun özellikleri

Türevlenebilirliğini ve uygulamasını incelemek için gerekli yönleri tanımlamak için f (x) = ctg x fonksiyonunun çeşitli özelliklerini analiz etmek gerekir.

Dikey asimtotlar

Kotanjant işlevi, "Senx" ifadesini sıfır yapan değerlerde tanımlanmamıştır. Eşdeğeri Ctg x = (cos x) / (sin x) nedeniyle, n tam sayılara ait olan tüm "nπ" de bir belirsizliğe sahip olacaktır.

Yani, bu x = nπ değerlerinin her birinde dikey bir asimptot olacaktır. Soldan yaklaştıkça kotanjantın değeri hızla azalacak ve sağdan yaklaştığınızda işlev sonsuza kadar artacaktır.

Alan adı

Kotanjant fonksiyonunun alanı, {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z} kümesi ile ifade edilir. Bu, "x, nπ'den farklı olacak şekilde, n tam sayılar kümesine ait olacak şekilde, gerçek sayılar kümesine ait olan x" olarak okunur.

rütbe

Kotanjant fonksiyonunun aralığı eksi artı sonsuzdur. Bu nedenle, sırasının R gerçek sayılar kümesi olduğu sonucuna varılabilir.

Sıklık

Kotanjant fonksiyonu periyodiktir ve periyodu π'ye eşittir. Bu şekilde, n'nin Z'ye ait olduğu Ctg x = Ctg (x + nπ) eşitliği yerine getirilir.

davranış

Ctg (-x) = - Ctg x olduğundan tuhaf bir fonksiyondur. Bu şekilde, fonksiyonun koordinat başlangıcına göre bir simetri sunduğu bilinmektedir. Aynı zamanda art arda 2 dikey asimptot arasında bulunan her aralıkta bir azalma sunar.

Maksimum veya minimum değerlere sahip değildir, çünkü dikey asimptotlara yaklaşımları, fonksiyonun süresiz olarak arttığı veya azaldığı davranışlar sunar.

Kotanjant fonksiyonunun sıfırları veya kökleri π / 2'nin tek katlarında bulunur. Bu, Ctg x = 0'ın, x = nπ / 2 formundaki değerler için n tek tamsayı olduğu anlamına gelir.

gösteri

Kotanjant fonksiyonunun türevini kanıtlamanın 2 yolu vardır.

Trigonometrik diferansiyel kanıt

Kotanjant fonksiyonunun sinüs ve kosinüslerdeki eşdeğerinden türevi kanıtlanmıştır.

Bir fonksiyon bölümünün türevi olarak kabul edilir

Faktörler türetildikten sonra gruplandırılır ve amaç Pisagor kimliklerini taklit etmektir.

Kimlikleri ikame etmek ve karşılıklılık uygulamak, ifade

Türev tanımı ile kanıt

Aşağıdaki ifade, tanımı gereği türeve karşılık gelir. Fonksiyonun 2 noktası arasındaki mesafenin sıfıra yaklaştığı yer.

Elimizdeki kotanjantın yerine geçme:

Kimlikler, argümanların ve karşılıklılığın toplamı için uygulanır

Payın oranı geleneksel olarak çalıştırılır

Karşıt unsurları ortadan kaldırarak ve ortak bir faktör alarak elde ederiz

Pisagor kimlikleri ve karşılıklılık uygulamak zorundayız

X'de değerlendirilen elemanlar limite göre sabittir, bu nedenle bunun argümanını bırakabilirler. Daha sonra trigonometrik limitlerin özellikleri uygulanır.

Limit değerlendirilir

Ardından istenen değere ulaşılana kadar çarpanlara ayrılır.

Kotanjantın türevi böylece kosekantın karesinin tersi olarak gösterilir.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

F (x) fonksiyonuna bağlı olarak, f '(x) ifadesini tanımlayın

İlgili türetme zincir kuralına göre uygulanır

Argümanı türetmek

Bazen çözümleri uyarlamak için karşılıklı veya trigonometrik kimlikler uygulamak gerekir.

Egzersiz 2

F (x) 'e karşılık gelen diferansiyel ifadeyi tanımlayın

Türev formülüne göre ve zincir kuralına uyarak

Geri kalanı aynı kalırken argüman türetilmiştir

Tüm öğeleri türetmek

Aynı tabandaki ürünleri geleneksel bir şekilde işletmek

Eşit elemanlar eklenir ve ortak faktör çıkarılır

İşaretler basitleştirildi ve çalıştırıldı. Tamamen türetilmiş ifadeye yol vermek

Referanslar

1. Trigonometrik Seriler, Cilt 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Tek Değişkenli Hesap. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 Kasım 2008
3. Trigonometri ve analitik geometri ile matematik. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Sakson Yayıncıları, 1988
4. Çok Değişkenli Analiz. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 Aralık. 2010
5. Sistem Dinamiği: Mekatronik Sistemlerin Modellenmesi, Simülasyonu ve Kontrolü. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Mar 2012
6. Matematik: Matematik ve Modelleme. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 Ocak 1999