- Bir eğriye teğet doğrunun eğimi olarak türev
- Hareket eden bir nesnenin anlık hızı olarak türev
- Cebirsel fonksiyon
- Kuralları atla
- Sabitin türevi
- Bir gücün türevi
- Toplama ve çıkarma türevi
- Bir üründen türetilmiştir
- Bir bölümün türevi
- Zincir kuralı
- Referanslar
Cebirsel türevleri cebirsel fonksiyonların durumunda türevinin çalışma oluşur. Türev kavramının kökeni Antik Yunan'a kadar uzanmaktadır. Bu fikrin gelişimi, biri fizik diğeri matematikte olmak üzere iki önemli problemi çözme ihtiyacıyla motive edildi.
Fizikte türev, hareketli bir nesnenin anlık hızını belirleme problemini çözer. Matematikte, belirli bir noktada bir eğriye teğet doğruyu bulmanızı sağlar.
Türev kullanılarak çözülen gerçekten çok daha fazla sorun olmasına rağmen, genellemelerinin yanı sıra, konseptinin tanıtılmasından sonra gelen sonuçlar.
Diferansiyel hesabın öncüleri Newton ve Leibniz'dir. Biçimsel tanımı vermeden önce, matematiksel ve fiziksel bir bakış açısıyla arkasındaki fikri geliştireceğiz.
Bir eğriye teğet doğrunun eğimi olarak türev
Bir y = f (x) fonksiyonunun grafiğinin sürekli bir grafik olduğunu (tepe noktaları veya köşeler veya boşluklar olmadan) varsayalım ve A = (a, f (a)) üzerinde sabit bir nokta olsun. A noktasındaki f fonksiyonunun grafiğine teğet doğrunun denklemini bulmak istiyoruz.
Grafikte A noktasına yakın başka bir P = (x, f (x)) noktasını alalım ve A ve P'den geçen sekant çizgisini çizelim. Kesişen çizgi, bir eğrinin grafiğini bir kesen bir çizgidir. veya daha fazla puan.
İstediğimiz teğet doğruyu elde etmek için, doğrunun üzerinde zaten bir noktamız olduğundan eğimi hesaplamamız yeterlidir: A noktası.
P noktasını grafik boyunca hareket ettirir ve A noktasına yaklaşır ve yaklaşırsak, daha önce bahsedilen sekant doğrusu bulmak istediğimiz teğet doğrusuna yaklaşacaktır. "P, A'ya meylettiğinde" limit alındığında, her iki çizgi çakışacaktır, dolayısıyla eğimleri de çakışacaktır.
Sekant çizgisinin eğimi şu şekilde verilmiştir:
P'nin A'ya yaklaştığını söylemek, "x" in "a" ya yaklaştığını söylemekle eşdeğerdir. Böylece, teğet doğrunun f'nin grafiğine A noktasındaki eğimi şuna eşit olacaktır:
Yukarıdaki ifade f '(a) ile gösterilir ve "a" noktasında f fonksiyonunun türevi olarak tanımlanır. Bu nedenle, analitik olarak, bir noktadaki bir fonksiyonun türevinin bir limit olduğunu, ancak geometrik olarak, noktadaki fonksiyonun grafiğine teğet doğrunun eğimi olduğunu görüyoruz.
Şimdi bu düşünceye fizik açısından bakacağız. Önceki sınırın aynı ifadesine, farklı bir yoldan da olsa varacağız, böylece tanımın oybirliğini elde edeceğiz.
Hareket eden bir nesnenin anlık hızı olarak türev
Anlık hızın ne anlama geldiğine dair kısa bir örneğe bakalım. Örneğin bir hedefe ulaşmak için bir arabanın bunu saatte 100 km hızla yaptığı, yani bir saatte 100 km gittiği anlamına gelir.
Bu, aracın tüm saat boyunca her zaman 100 km olduğu anlamına gelmez, aracın hız göstergesinin bazı anlarda daha az veya daha fazla işaretleyebileceği anlamına gelmez. Bir trafik ışığında durmanız gerekiyorsa, o andaki hızınız 0 km idi. Ancak bir saat sonra yolculuk 100 km oldu.
Bu, ortalama hız olarak bilinen şeydir ve az önce gördüğümüz gibi, gidilen mesafe ile geçen sürenin bölümü ile verilir. Öte yandan anlık hız, belirli bir anda (zaman) bir arabanın hız göstergesinin iğnesini işaretleyen hızdır.
Şimdi buna daha genel bakalım. Bir nesnenin bir çizgi boyunca hareket ettiğini ve bu yer değiştirmenin s = f (t) denklemiyle temsil edildiğini varsayalım; burada t değişkeni zamanı ölçerken ve değişken s yer değiştirmeyi t = 0 anında da sıfırdır, yani f (0) = 0.
Bu f (t) işlevi konum işlevi olarak bilinir.
Sabit bir "a" anındaki nesnenin anlık hızı için bir ifade aranır. Bu hızda onu V (a) ile göstereceğiz.
"A" anına herhangi bir an yakın olalım. "A" ile "t" arasındaki zaman aralığında, nesnenin pozisyonundaki değişiklik f (t) -f (a) ile verilir.
Bu zaman aralığındaki ortalama hız:
Bu, V (a) anlık hızının yaklaşık bir değeridir. Bu yaklaşım t "a" ya yaklaştıkça daha iyi olacaktır. Böylece,
Bu ifadenin önceki durumda elde edilenle aynı, ancak farklı bir perspektiften olduğuna dikkat edin. Bu, bir f fonksiyonunun "a" noktasındaki türevi olarak bilinir ve yukarıda belirtildiği gibi f '(a) ile gösterilir.
H = xa değişikliğini yaparken, "x" "a" ya eğilimli olduğunda, "h" 0'a eğilimli olduğunda ve önceki sınırın (eşdeğer olarak) şu şekle dönüştürüldüğüne sahip oluruz:
Her iki ifade de eşdeğerdir ancak duruma bağlı olarak bazen diğerinin yerine birini kullanmak daha iyidir.
Etki alanına ait olan herhangi bir "x" noktasındaki bir f fonksiyonunun türevi, daha genel bir şekilde şu şekilde tanımlanır:
Bir y = f (x) fonksiyonunun türevini temsil eden en yaygın gösterim, az önce gördüğümüz (f 'veya y') gösterimidir. Bununla birlikte, yaygın olarak kullanılan bir başka gösterim, Leibniz'in aşağıdaki ifadelerden herhangi biri olarak temsil edilen gösterimi:
Türev esas olarak bir limit olduğu için, limitler her zaman mevcut olmadığı için var olabilir veya olmayabilir. Varsa, söz konusu fonksiyonun verilen noktada türevlenebilir olduğu söylenir.
Cebirsel fonksiyon
Cebirsel bir fonksiyon, toplama, çıkarma, ürünler, bölümler, üsler ve radikaller aracılığıyla polinomların bir kombinasyonudur.
Bir polinom, formun bir ifadesidir
P n = bir n x n + bir n-1 x n-1 + bir n-2 x n-2 +… + bir 2 x 2 + bir 1 x + bir 0
Burada n bir doğal sayıdır ve i = 0,1, …, n olan tüm a i rasyonel sayılardır ve n ≠ 0'dır. Bu durumda, bu polinomun derecesinin n olduğu söylenir.
Aşağıdakiler cebirsel fonksiyonlara örnektir:
Üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar buraya dahil edilmemiştir. Daha sonra göreceğimiz türetme kuralları genel olarak fonksiyonlar için geçerlidir, ancak kendimizi kısıtlayıp cebirsel fonksiyonlar durumunda uygulayacağız.
Kuralları atla
Sabitin türevi
Bir sabitin türevinin sıfır olduğunu belirtir. Yani, eğer f (x) = c, o zaman f '(x) = 0. Örneğin, sabit fonksiyon 2'nin türevi 0'a eşittir.
Bir gücün türevi
F (x) = x n ise , f '(x) = nx n-1 olur . Örneğin, x 3'ün türevi 3x 2'dir . Bunun bir sonucu olarak, özdeşlik fonksiyonu f (x) = x'in türevinin f '(x) = 1x 1-1 = x 0 = 1 olduğunu elde ederiz .
Başka bir örnek şudur: f (x) = 1 / x 2 , sonra f (x) = x -2 ve f '(x) = - 2x -2-1 = -2x -3 .
Bu özellik aynı zamanda geçerli köklerdir, çünkü kökler rasyonel güçlerdir ve yukarıdakiler bu durumda da uygulanabilir. Örneğin, bir karekökün türevi şu şekilde verilir:
Toplama ve çıkarma türevi
Eğer f ve g x'te türevlenebilir fonksiyonlarsa, o zaman f + g toplamı da türevlenebilir ve (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x) olduğu doğrudur.
Benzer şekilde, bizde (fg) '(x) = f' (x) -g '(x) var. Başka bir deyişle, bir toplamın (çıkarma) türevi, türevlerin toplamıdır (veya çıkarılmasıdır).
Misal
H (x) = x 2 + x-1 ise, o zaman
h '(x) = (x 2 ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.
Bir üründen türetilmiştir
F ve g x'te türevlenebilir fonksiyonlarsa, fg çarpımı da x'te türevlenebilir ve şu doğrudur:
(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).
Sonuç olarak, eğer c bir sabitse ve f, x'te türevlenebilir bir fonksiyonsa, o zaman cf, x'de de türevlenebilir ve (cf) '(x) = cf' (X).
Misal
F (x) = 3x (x 2 +1) ise, o zaman
f '(x) = (3x)' (x 2 +1) + (3x) (x 2 +1) '= 3 (x)' (x 2 +1) + 3x
= 3 (1) (x 2 +1) + 3x = 3 (x 2 +1) + 3x (2x) = 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 +3.
Bir bölümün türevi
F ve g x ve g (x) ≠ 0'da türevlenebilirse, o zaman f / g x'de de türevlenebilir ve bu doğrudur
Örnek: h (x) = x 3 / (x 2 -5x) ise, o zaman
h '(x) = / (x 5 -5x) 2 = / (x 5 -5x) 2 .
Zincir kuralı
Bu kural, fonksiyonların bileşiminin türetilmesine izin verir. Aşağıdakileri belirtin: y = f (u) u'da türevlenebilirse, yu = g (x) x'te türevlenebilirse, o zaman bileşik f (g (x)) fonksiyonu x'te türevlenebilir ve '= f '(g (x)) g' (x).
Yani, bir bileşik fonksiyonun türevi, harici fonksiyonun türevinin (harici türev) ve dahili fonksiyonun türevinin (dahili türev) ürünüdür.
Misal
F (x) = (x 4 -2x) 3 ise , o zaman
f (x) = 3 (x 4 2x) 2 (x 4 2x) '= 3 (x 4 2x) 2 (4x 3 -2).
Bir fonksiyonun tersinin türevini hesaplamanın yanı sıra daha yüksek mertebeden türevlere genelleme için de sonuçlar vardır. Uygulamalar kapsamlıdır. Bunlar arasında optimizasyon problemlerindeki kullanışlılığı ve maksimum ve minimum fonksiyonları öne çıkmaktadır.
Referanslar
- Alarcon, S., González, M. ve Quintana, H. (2008). Diferansiyel hesap. ITM.
- Cabrera, VM (1997). Hesaplama 4000. Editoryal Progreso.
- Castaño, HF (2005). Hesaplamadan önce matematik. Medellin Üniversitesi.
- Eduardo, NA (2003). Kalkülüse Giriş. Eşik Sürümleri.
- Fuentes, A. (2016). TEMEL MATEMATİK. Kalkülüse Giriş. Lulu.com.
- Purcell, EJ, Rigdon, SE ve Varberg, DE (2007). Hesaplama. Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). Diferansiyel Hesap (İkinci baskı). Barquisimeto: Hipotenüs.
- Thomas, GB ve Weir, MD (2006). Hesaplama: birkaç değişken. Pearson Education.