ÖRTÜK TÜREVLER: NASIL ÇÖZÜLÜR VE ALIŞTIRMALAR ÇÖZÜLÜR - MATEMATIK - 2025

Kapalı türevleri fonksiyonları tatbik edilen bir differencing tekniğinde kullanılan araçlardır. Türetilecek bağımlı değişkeni çözmek mümkün olmadığında, normal yöntemler altında uygulanırlar. Bu boşluk, bağımsız değişkenin bir fonksiyonu olarak gerçekleştirilir.

Örneğin, 3xy ³ - 2y + xy ² = xy ifadesinde "y" yi "x" in bir fonksiyonu olarak tanımlayan ifade elde edilemez. Böylece dy / dx diferansiyel ifadesi türetilerek elde edilebilir.

Örtük türevler nasıl çözülür?

Örtük bir türevi çözmek için örtük bir ifade ile başlıyoruz. Örneğin: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Bu zaten doğru bir şekilde çözülmüştür, ancak bunu yapmak y'nin x'e göre türevini elde etmek için gerekli bir koşul değildir. Ardından, öğelerin her biri, karışık işlevler için zincir kuralına göre türetilir:

3xy ³ 2 değişkenden oluşur, bu nedenle d (3xy ³ ) fonksiyonların bir ürününün türevi olarak değerlendirilecektir.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Y 'öğesi "y üssü" olarak bilinir ve dy / dx'i temsil eder

-2y KU = K.U 'kanununa göre türetilmiştir.

d (-2y) = -2 y '

xy ² , fonksiyonların bir ürününden oluşan başka bir diferansiyeli varsayar

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-xy homolog olarak işlenir

d (-xy) = -y - x y '

Sıfırın türevinin sıfır olduğunu bilerek eşitlikte ikame edilirler.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Y 'terimine sahip öğeler, eşitliğin bir tarafında gruplandırılır

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Ortak faktör y 'eşitliğin sağ tarafından çıkarılır

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Sonunda y 'ile çarpan terim temizlenir. Böylece y'nin x'e göre örtük türevine karşılık gelen ifade elde edilir.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Zincir kuralı

Örtülü türetmede zincir kuralına her zaman saygı gösterilir. Tüm diferansiyel ifadeler, bağımsız değişken X'in bir fonksiyonu olarak verilecektir. Dolayısıyla, X dışındaki her değişken variable, türetildikten sonra dθ / dx terimini içermelidir.

Bu terim yalnızca birinci derecede veya 1'e eşit bir üs ile görünecektir. Bu nitelik, geleneksel faktoring yöntemlerinde onu tamamen açık hale getirir. Böylece, dθ / dx diferansiyelini tanımlayan ifadeyi elde etmek mümkündür.

Zincir kuralı, farklılaşma veya türetme sürecinin ilerleyen doğasını gösterir. Her bir bileşik f fonksiyonu için, f'nin diferansiyel ifadesinin

Operasyonel düzen

Uygulanan her formül veya türetme yasasında, değişkenlerin sırası dikkate alınmalıdır. Bağımsız değişkenle ilişkili kriterlere, bağımlı değişkenle olan korelasyonunu değiştirmeden saygı gösterilir.

Bağımlı değişkenin türetme sırasındaki ilişkisi doğrudan alınır; Bunun ikinci bir işlev olarak kabul edilmesi dışında, karma işlevler için zincir kuralı kriterinin uygulanmasının nedeni budur.

Bu, 2'den fazla değişken içeren ifadelerde geliştirilebilir. Aynı ilkeler altında, bağımlı değişkenlere atıfta bulunan tüm farklar gösterilecektir.

Grafik olarak, türevi tanımlayan aynı kriter ele alınır. Türev, düzlemdeki eğriye teğet doğrunun eğimi iken, bağımlı değişkenlere (dy / dx, dz / dx) ait olan diferansiyellerin geri kalanı, çok değişkenli fonksiyonlar tarafından tanımlanan vektör gövdelerine teğet düzlemleri temsil eder.

üstü kapalı

Bir fonksiyon ifade y = f (x), uzun F R 'de tanımlandığı gibi bir çok değişkenli fonksiyonu F (x, y) = 0 olarak temsil edilebilir, eğer kapalı olarak tanımlı olduğu söylenir ² düzlem .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0 şeklinde yazılabilir

Y = f (x) fonksiyonunu açık hale getirmenin imkansızlığı nedeniyle.

Tarih

Diferansiyel hesap, on yedinci yüzyıl civarında çeşitli matematik araştırmacıları tarafından adlandırılmaya başlandı. İlk bahsedilişi Newton ve Leibniz'in katkılarıyla oldu. Her ikisi de diferansiyel hesabı farklı bakış açılarından ele aldı, ancak sonuçlarında yakınsama yaptı.

Newton bir hız veya değişim hızı olarak farklılaşmaya odaklanırken, Leibniz'in yaklaşımı daha geometrikti. Newton'un Perge'li Apollonius ve Leibniz'in Fermat'ın geometrik fikirlerine bıraktığı varsayımlara saldırdığı söylenebilir.

Örtük türetme, diferansiyel ve integral denklemler düşünüldüğünde hemen ortaya çıkar. Bu R Leibniz'in geometrik kavramı genişletilmiş ³ ve hatta çok boyutlu bir boşluk.

Uygulamalar

Örtük türevler çeşitli durumlarda kullanılır. İlgili değişkenler arasındaki döviz kuru problemlerinde yaygındırlar, burada çalışmanın anlamına bağlı olarak değişkenler bağımlı veya bağımsız olarak kabul edilecektir.

Ayrıca, şekli matematiksel olarak modellenebilen şekiller üzerinde yansıma veya gölge problemleri gibi ilginç geometrik uygulamalara da sahiptirler.

Genellikle ekonomi ve mühendislik alanlarında, ayrıca doğa olayları ve deneysel yapıların çeşitli araştırmalarında kullanılırlar.

Çözülmüş egzersizler

1. Egzersiz

Dy / dx'i tanımlayan örtük ifadeyi tanımlayın

İfadenin her bir öğesi farklılaştırılmıştır

Her yetkili vakada zincir kuralının oluşturulması

Dy / dx'e sahip öğeleri eşitliğin bir tarafında gruplamak

Ortak faktör kullanılarak çarpanlarına ayrılmıştır

Aranan ifade elde edilerek çözülür.

Egzersiz 2

Dy / dx'i tanımlayan örtük ifadeyi tanımlayın

Gerçekleştirilecek türevlerin ifade edilmesi

Zincir kuralına göre örtük olarak türetme

Ortak unsurları faktoring

Dy / dx terimini eşitliğin bir tarafında gruplamak

Diferansiyel eleman için ortak faktör

Aranan ifadeyi izole ediyor ve elde ediyoruz

Referanslar

1. Tek Değişkenli Hesap. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 Kasım 2008
2. Örtük Fonksiyon Teoremi: Tarih, Teori ve Uygulamalar. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 Kasım. 2012
3. Çok Değişkenli Analiz. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 Aralık. 2010
4. Sistem Dinamiği: Mekatronik Sistemlerin Modellenmesi, Simülasyonu ve Kontrolü. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Mar 2012
5. Matematik: Matematik ve Modelleme. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 Ocak 1999