ARDIŞIK TÜREVLER (ALIŞTIRMALAR ÇÖZÜLMÜŞ) - MATEMATIK - 2025

Birbirini takip eden türevleri ikinci türevi sonra bir fonksiyonu türetilenlerdir. Ardışık türevleri hesaplama süreci şu şekildedir: türetebileceğimiz ve böylece f 'türev fonksiyonunu elde edebileceğimiz bir f fonksiyonumuz var. (F ')' elde ederek f'nin bu türevini yeniden türetebiliriz.

Bu yeni işleve ikinci türev denir; ikinciden hesaplanan tüm türevler birbirini takip eder; Yüksek mertebe olarak da adlandırılan bunlar, bir fonksiyonun grafiğinin grafiği hakkında bilgi vermek, ikinci türevin göreceli uçlar için testi ve sonsuz serilerin belirlenmesi gibi harika uygulamalara sahiptir.

Tanım

Leibniz gösterimini kullanarak, bir "y" fonksiyonunun "x" e göre türevinin dy / dx olduğunu elde ederiz. Leibniz gösterimini kullanarak "y" nin ikinci türevini ifade etmek için aşağıdaki gibi yazıyoruz:

Genel olarak, ardışık türevleri, Leibniz gösterimi ile aşağıdaki gibi ifade edebiliriz, burada n, türevin sırasını temsil eder.

Kullanılan diğer gösterimler şunlardır:

Farklı gösterimleri görebileceğimiz bazı örnekler şunlardır:

örnek 1

Aşağıdaki şekilde tanımlanan f fonksiyonunun tüm türevlerini elde edin:

Olağan türetme tekniklerini kullanarak, f'nin türevini elde ederiz:

İşlemi tekrarlayarak ikinci türevi, üçüncü türevi vb. Elde edebiliriz.

Dördüncü türevin sıfır olduğuna ve sıfırın türevinin sıfır olduğuna dikkat edin, bu nedenle elimizde:

Örnek 2

Aşağıdaki fonksiyonun dördüncü türevini hesaplayın:

Sonuç olarak sahip olduğumuz verilen işlevi türetmek:

Hız ve ivme

Türevin keşfedilmesine yol açan motivasyonlardan biri, anlık hızın tanımının araştırılmasıydı. Resmi tanım aşağıdaki gibidir:

Y = f (t), grafiği t zamanındaki bir parçacığın yörüngesini tanımlayan bir fonksiyon olsun, o zaman t anındaki hızı şu şekilde verilir:

Bir parçacığın hızı elde edildiğinde, aşağıdaki gibi tanımlanan anlık ivmeyi hesaplayabiliriz:

Yolu y = f (t) ile verilen bir parçacığın anlık ivmesi:

örnek 1

Bir parçacık, konum işlevine göre bir çizgi boyunca hareket eder:

"Y" nin metre cinsinden ve "t" nin saniye cinsinden ölçüldüğü yer.

- Hangi anda hızı 0'dır?

- Hangi anda ivmesi 0'dır?

Konum fonksiyonu "ve" türetilirken, hızının ve ivmesinin sırasıyla şu şekilde verildiğine sahibiz:

İlk soruyu cevaplamak için v fonksiyonunun ne zaman sıfır olacağını belirlemek yeterlidir; bu:

Aşağıdaki soruya benzer bir şekilde devam ediyoruz:

Örnek 2

Bir parçacık, aşağıdaki hareket denklemine göre bir çizgi boyunca hareket eder:

A = 0 olduğunda "t, y" ve "v" yi belirleyin.

Hızın ve ivmenin

Aşağıdakileri türetmeye ve elde etmeye devam ediyoruz:

A = 0 yapıyoruz:

A'nın sıfıra eşit olması için t'nin değerinin t = 1 olduğunu nereden çıkarabiliriz.

Ardından, konum fonksiyonunu ve hız fonksiyonunu t = 1'de değerlendirirsek:

Uygulamalar

Açık türetme

Ardışık türevler, örtük türetme yoluyla da elde edilebilir.

Misal

Aşağıdaki elips göz önüne alındığında, "y" yi bulun:

X'e göre dolaylı olarak türetmek, elimizde:

Sonra, x'e göre dolaylı olarak yeniden türetmek bize şunu verir:

Son olarak, elimizde:

Göreceli aşırılıklar

İkinci dereceden türevlere verebileceğimiz diğer bir kullanım, bir fonksiyonun göreceli uçlarının hesaplanmasıdır.

Yerel aşırılıklar için birinci türevin kriteri bize, bir (a, b) aralığında sürekli bir f fonksiyonumuz varsa ve f'nin c'de kaybolacağı şekilde söz konusu aralığa ait bir c olduğunu söyler (yani, c kritik bir noktadır), üç durumdan biri ortaya çıkabilir:

- (a, c) 'ye ait herhangi bir x için f´ (x)> 0 ve (c, b)' ye ait x için f´ (x) <0 ise, o zaman f (c) yerel bir maksimumdur.

- (a, c) 'ye ait herhangi bir x için f´ (x) <0 ise ve (c, b)' ye ait x için f´ (x)> 0 ise, o zaman f (c) yerel bir minimumdur.

- Eğer f´ (x), (a, c) ve (c, b) 'de aynı işarete sahipse, bu f (c)' nin yerel bir uç olmadığı anlamına gelir.

İkinci türevin kriterini kullanarak, yukarıda belirtilen aralıklarda fonksiyonun işaretinin ne olduğunu görmek zorunda kalmadan, bir fonksiyonun kritik sayısının yerel maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu bilebiliriz.

İkinci sürüklenme kriteri bize f´ (c) = 0 ve f´´ (x) (a, b) 'de sürekli ise, f´´ (c)> 0 ise f (c) olduğunu söyler. yerel bir minimumdur ve eğer f´´ (c) <0 ise f (c) bir yerel maksimumdur.

Eğer f´´ (c) = 0 ise, herhangi bir sonuca varamayız.

Misal

F (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² fonksiyonu verildiğinde, ikinci türevin kriterini kullanarak f'nin göreceli maksimum ve minimumlarını bulun.

Önce f´ (x) ve f´´ (x) hesaplıyoruz ve elimizde:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Şimdi, f´ (x) = 0 eğer ve sadece 4x (x + 2) (x - 1) = 0 ise ve bu x = 0, x = 1 veya x = - 2 olduğunda olur.

Elde edilen kritik sayıların göreceli olarak aşırı olup olmadığını belirlemek için, f´´de değerlendirmek ve böylece işaretini gözlemlemek yeterlidir.

f´´ (0) = - 8, dolayısıyla f (0) yerel bir maksimumdur.

f´´ (1) = 12, yani f (1) yerel bir minimumdur.

f´´ (- 2) = 24, yani f (- 2) yerel bir minimumdur.

Taylor serisi

F aşağıdaki gibi tanımlanan bir fonksiyon olsun:

Bu fonksiyonun yakınsama yarıçapı R> 0'dır ve (-R, R) içindeki tüm derecelerin türevlerine sahiptir. F'nin ardışık türevleri bize şunu verir:

X = 0 alarak, c _n'nin değerlerini türevlerinin bir fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi elde edebiliriz:

F fonksiyonu olarak bir = 0 alırsak (yani, f ^ 0 = f), o zaman fonksiyonu aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

Şimdi fonksiyonu x = a'daki bir dizi güç olarak ele alalım:

Bir öncekine benzer bir analiz yaparsak, f fonksiyonunu şöyle yazabiliriz:

Bu seriler f'den a'ya Taylor serisi olarak bilinir. A = 0 olduğunda, Maclaurin serisi olarak adlandırılan özel duruma sahibiz. Bu tür seriler özellikle sayısal analizde büyük matematiksel öneme sahiptir, çünkü bunlar sayesinde bilgisayarlarda e ^x , sin (x) ve cos (x) gibi fonksiyonları tanımlayabiliriz .

Misal

E ^x için Maclaurin serisini edinin .

F (x) = e ^{x ise} , f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x ve f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1 ise, Maclaurin serisinin:

Referanslar

1. Frank Ayres, J. ve Mendelson, E. (nd). Hesaplama 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Analitik geometri ile hesaplama. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. ve Rigdon, SE (2007). Hesaplama. Meksika: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferansiyel hesap. Hipotenüs.
5. Saenz, J. (nd). Integral hesabı. Hipotenüs.