Toplamsal ayrıştırma pozitif tam sayı, iki veya daha fazla pozitif bir tamsayı toplamı olarak ifade oluşur. Böylece, 5 sayısının 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 veya 5 = 1 + 2 + 2 olarak ifade edilebileceğine sahibiz. 5 sayısını yazmanın bu yollarının her biri, eklemeli ayrıştırma dediğimiz şeydir.

Dikkat edersek, 5 = 2 + 3 ve 5 = 3 + 2 ifadelerinin aynı bileşimi temsil ettiğini görebiliriz; ikisi de aynı numaraya sahip. Bununla birlikte, sadece kolaylık sağlamak için, eklerin her biri genellikle en düşükten en yükseğe ölçütü takip ederek yazılır.

Katkı maddesi ayrışması

Başka bir örnek olarak 27 sayısını alabiliriz ve bunu şu şekilde ifade edebiliriz:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Katkı maddesi ayrıştırma, numaralandırma sistemleri bilgimizi pekiştirmemizi sağlayan çok faydalı bir araçtır.

Kanonik katkı ayrışımı

İkiden fazla basamaklı sayılara sahip olduğumuzda, onları ayırmanın belirli bir yolu, onu oluşturan 10, 100, 1000, 10 000, vb. Katlarıdır. Herhangi bir sayının bu şekilde yazılması kanonik toplamsal ayrıştırma olarak adlandırılır. Örneğin, 1456 sayısı şu şekilde ayrıştırılabilir:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

20846295 sayısını elde edersek, kanonik katkı ayrışımı şöyle olacaktır:

20846295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Bu ayrıştırma sayesinde, verilen bir rakamın değerinin kapladığı pozisyon tarafından verildiğini görebiliriz. Örnek olarak 24 ve 42 sayılarını alalım:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Burada 24'te 2'nin 20 birim değerine ve 4'ün 4 birim değerine sahip olduğunu görebiliriz; Öte yandan, 42'de 4, 40 birim değerine ve iki birimin 2'sine sahiptir. Bu nedenle, her iki sayı da aynı basamakları kullansa da, kapladıkları konum nedeniyle değerleri tamamen farklıdır.

Uygulamalar

Eklemeli ayrıştırmaya verebileceğimiz uygulamalardan biri, pozitif bir tamsayıyı diğerlerinin toplamı olarak görmenin çok yararlı olduğu bazı ispat türlerindedir.

Örnek teorem

Aşağıdaki teoremi ilgili ispatları ile birlikte örnek olarak alalım.

- Z, 4 basamaklı bir tamsayı olsun, bu durumda Z, birimlere karşılık gelen rakamı sıfır veya beş ise, 5'e bölünebilir.

gösteri

Bölünebilirliğin ne olduğunu hatırlayalım. "A" ve "b" tam sayılarımız varsa, "a" nın "b" yi böldüğünü söyleriz, eğer b = a * c şeklinde bir "c" tamsayısı varsa.

Bölünebilirliğin özelliklerinden biri bize "a" ve "b" nin "c" ile bölünebilmesi durumunda "ab" çıkarımının da bölünebileceğini söyler.

Z, 4 basamaklı bir tam sayı olsun; bu nedenle Z'yi Z = ABCD olarak yazabiliriz.

Kanonik katkı ayrışımını kullanarak:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

A * 1000 + B * 100 + C * 10'un 5'e bölünebileceği açıktır. Bunun için, Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) 5'e bölünebiliyorsa, Z'nin 5'e bölünebileceğini görüyoruz.

Ancak Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D ve D tek haneli bir sayıdır, bu nedenle 5'e bölünmesinin tek yolu, 0 veya 5 olmasıdır.

Bu nedenle, D = 0 veya D = 5 ise Z, 5'e bölünebilir.

Z'nin n hanesi varsa, ispatın tamamen aynı olduğuna dikkat edin, sadece şimdi Z = A ₁ A ₂ … A _n yazacağımızı ve amacın A _n'nin sıfır veya beş olduğunu kanıtlamak olacağını unutmayın .

bölmeler

Pozitif bir tamsayının bölümünün, bir sayıyı pozitif tam sayıların toplamı olarak yazmanın bir yolu olduğunu söylüyoruz.

Bir eklemeli ayrıştırma ile bir bölüm arasındaki fark, ilki en azından iki veya daha fazla eke ayrıştırılabileceğini ararken, bölümün bu kısıtlamaya sahip olmamasıdır.

Böylece aşağıdakilere sahibiz:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Yukarıdakiler 5'in bölümleri.

Yani, her eklemeli ayrışmanın bir bölüm olduğuna sahibiz, ancak her bölümün ille de bir ek ayrıştırma olması gerekmez.

Sayı teorisinde, aritmetiğin temel teoremi, her tamsayının benzersiz bir şekilde asalların bir ürünü olarak yazılabileceğini garanti eder.

Bölümleri incelerken amaç, pozitif bir tam sayının diğer tam sayıların toplamı olarak kaç şekilde yazılabileceğini belirlemektir. Bu nedenle, bölüm işlevini aşağıda gösterildiği gibi tanımlıyoruz.

Tanım

Bölme fonksiyonu p (n), pozitif bir n tamsayısının pozitif tam sayıların toplamı olarak yazılabileceği yolların sayısı olarak tanımlanır.

5 örneğine dönersek, elimizde:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Böylece, p (5) = 7.

Grafik

Bir n sayısının hem bölümleri hem de ek ayrıştırmaları geometrik olarak gösterilebilir. N'nin bir toplamsal ayrışımına sahip olduğumuzu varsayalım. Bu ayrıştırmada ekler, toplamın üyeleri en küçükten büyüğe sıralanacak şekilde düzenlenebilir. Peki, tamam:

n = bir ₁ + bir ₂ + bir ₃ +… + bir _r ile

bir ₁ ≤ bir ₂ ≤ bir ₃ ≤… ≤ bir _r .

Bu ayrıştırmanın grafiğini şu şekilde yapabiliriz: ilk satırda ₁ noktayı işaretleriz , sonra bir sonraki satırda ₂ noktayı işaretleriz ve bu şekilde _r'ye ulaşana kadar devam eder .

Örneğin 23 sayısını ve aşağıdaki ayrışmasını ele alalım:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Bu ayrıştırmayı emrediyoruz ve elimizde:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Karşılık gelen grafik şöyle olacaktır: