- formül
- İki boyutta öklid mesafesi
- Öklid dışı yüzeyler
- N boyutlu öklid mesafesi
- Öklid mesafesi nasıl hesaplanır
- Misal
- Referanslar
Öklit mesafesi Öklid geometrisinin Aksiyomlar ve teoremi yerine getirilmesi bir boşluk içinde iki nokta arasındaki mesafeyi gösteren bir pozitif sayıdır.
Bir Öklid uzayında A ve B iki noktası arasındaki mesafe , bu noktalardan geçen tek doğruya ait AB vektörünün uzunluğudur .
Şekil 1 . Çizginin oluşturduğu tek boyutlu Öklid uzayı (OX). Bahsedilen boşluk, koordinatları ve mesafeleri üzerinde birkaç nokta gösterilir. (Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır).
İnsanların algıladığı ve hareket ettiğimiz alan, Öklid'in geometrisinin aksiyomlarının ve teoremlerinin yerine getirildiği üç boyutlu (3-D) bir uzaydır. İki boyutlu alt uzaylar (düzlemler) ve tek boyutlu alt uzaylar (çizgiler) bu uzayda yer alır.
Öklid uzayları tek boyutlu (1-D), iki boyutlu (2-D), üç boyutlu (3-D) veya n-boyutlu (nD) olabilir.
Tek boyutlu X uzayındaki noktalar, yönlendirilmiş çizgiye (OX) ait olanlar, O'dan X'e yön pozitif yöndür. Bu çizgi üzerindeki noktaları bulmak için, çizginin her noktasına bir sayı atamaktan oluşan Kartezyen sistemi kullanılır.
formül
Bir doğru üzerinde bulunan A ve B noktaları arasındaki Öklid mesafesi d (A, B), X koordinatlarındaki farklılıkların karelerinin karekökü olarak tanımlanır:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Bu tanım şunu garanti eder: iki nokta arasındaki mesafe her zaman pozitif bir miktardır. Ve A ile B arasındaki mesafenin B ile A arasındaki mesafeye eşit olduğunu.
Şekil 1, çizgi (OX) ve söz konusu çizgi üzerindeki birkaç noktanın oluşturduğu tek boyutlu Öklid uzayını göstermektedir. Her noktanın bir koordinatı vardır:
A noktasının koordinatı XA = 2.5, B noktası koordinatı XB = 4 ve C noktası koordinatı XC = -2.5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
İki boyutta öklid mesafesi
İki boyutlu Öklid uzayı bir düzlemdir. Bir Öklid düzleminin noktaları Öklid geometrisinin aksiyomlarını yerine getirir, örneğin:
- Tek bir hat iki noktadan geçer.
- Düzlemdeki üç nokta, iç açıları toplamı her zaman 180º olan bir üçgen oluşturur.
- Dik üçgende hipotenüsün karesi, bacaklarının karelerinin toplamına eşittir.
İki boyutta bir noktanın X ve Y koordinatları vardır.
Örneğin, bir P noktasının koordinatları (XP, YP) ve bir Q noktası koordinatları (XQ, YQ) vardır.
P ve Q noktası arasındaki Öklid mesafesi aşağıdaki formülle tanımlanır:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Bu formülün, Şekil 2'de gösterildiği gibi Pisagor teoremine eşdeğer olduğu unutulmamalıdır.
Şekil 2. Düzlemdeki iki P ve Q noktası arasındaki mesafe Pisagor teoremini yerine getirir. (Ricardo Pérez tarafından hazırlanmıştır).
Öklid dışı yüzeyler
Tüm iki boyutlu uzaylar Öklid geometrisine uymaz. Bir kürenin yüzeyi iki boyutlu bir uzaydır.
Küresel bir yüzey üzerindeki bir üçgenin açılarının toplamı 180º'ye kadar çıkmaz ve bununla Pisagor teoremi yerine getirilmez, bu nedenle küresel bir yüzey Öklid'in aksiyomlarını yerine getirmez.
N boyutlu öklid mesafesi
Koordinatlar kavramı daha büyük boyutlara genişletilebilir:
- 2-B noktasında P koordinatlara sahiptir (XP, YP)
- 3-D'de Q noktasının koordinatları vardır (XQ, YQ, ZQ)
- 4-D'de R noktasının koordinatları olacaktır (XR, YR, ZR, WR)
- nD'de P noktasının koordinatları olacaktır (P1, P2, P3,… .., Pn)
N boyutlu bir Öklid uzayının iki P ve Q noktası arasındaki mesafe aşağıdaki formülle hesaplanır:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Başka bir sabit noktadan (P) (merkez) eşit uzaklıkta olan n-boyutlu bir Öklid uzayındaki tüm Q noktalarının lokusu n-boyutlu bir hiper-küre oluşturur.
Öklid mesafesi nasıl hesaplanır
Aşağıda, üç boyutlu Öklid uzayında bulunan iki nokta arasındaki mesafenin nasıl hesaplandığı gösterilmektedir.
A :( 2, 3, 1) ile verilen Kartezyen koordinatlarının A noktasını ve B :( -3, 2, 2) koordinatlarının B noktasını varsayalım.
Genel ilişkiden yararlanılan bu noktalar arasındaki mesafeyi belirlemek istiyoruz:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196
Misal
P ve Q olmak üzere iki nokta vardır. Kartezyen koordinatlarının P noktası P :( 2, 3, 1) tarafından verilen P noktası ve Q koordinatlarının Q noktası :( -3, 2, 1).
İki noktayı birleştiren parçanın orta noktasının M koordinatlarının bulunması istenir.
Bilinmeyen M noktasının koordinatlara (X, Y, Z) sahip olduğu varsayılır.
M orta noktası olduğundan, d (P, M) = d (Q, M) olduğu doğru olmalıdır, bu nedenle d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 de doğru olmalıdır:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Bu durumda olduğu gibi, üçüncü terim her iki üyede de eşittir, önceki ifade şu şekilde basitleşir:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Daha sonra X ve Y bilinmeyen iki denklemimiz var. Problemi çözmek için başka bir denklem gerekiyor.
M noktası, aşağıdaki gibi hesaplayabileceğimiz P ve Q noktalarından geçen çizgiye aittir:
İlk müdürü vektör bulmak PQ hattının: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Öyleyse PM = OP + a PQ , burada OP , P noktasının konum vektörüdür ve gerçek sayılara ait bir parametredir.
Yukarıdaki denklem, Kartezyen koordinatlarda aşağıdaki biçimi alan doğrunun vektör denklemi olarak bilinir:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Elimizdeki karşılık gelen bileşenleri eşitlemek:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3-a; Z - 1 = 0
Yani, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, son olarak Z = 1.
X ile Y'yi ilişkilendiren ikinci dereceden ifadede ikame edilir:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Basitleştirilmiştir:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Şimdi ortaya çıkıyor:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Her iki üye için de benzer terimleri iptal ederek basitleştirilmiştir:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
A parametresi temizlenir:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, a = 1 ile sonuçlanır.
Yani, X = 4-5, Y = 6-1, son olarak Z = 1.
Son olarak, segmentin orta noktası M'nin Kartezyen koordinatlarını elde ederiz:
M: (-1, 5, 1).
Referanslar
- Lehmann C. (1972) Analitik Geometri. UTEHA.
- Superprof. İki nokta arasındaki mesafe. Kurtarıldığı kaynak: superprof.es
- UNAM. Afin alt doğrusal manifoldlar arasındaki mesafe. Kurtarıldı: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Öklid mesafesi. Kurtarıldı: es.wikipedia.com
- wikipedia. Öklid uzayı. Kurtarıldı: es.wikipedia.com