KESIKLI OLASILIK DAĞILIMLARI: ÖZELLIKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Kesikli olasılık dağılımları bir fonksiyonu olduğu X (S) = her bir elemanı için atar {x1, x2, …, xi …} X verilen ayrı bir rasgele değişken ve S, örnek alanı olması ihtimali olduğu söz konusu olay meydana gelir. F (xi) = P (X = xi) olarak tanımlanan X (S) 'nin bu f fonksiyonuna bazen olasılık kütle fonksiyonu denir.

Bu olasılık kütlesi genellikle tablo biçiminde temsil edilir. X ayrık bir rastgele değişken olduğu için, X (S) sınırlı sayıda olaya veya sayılabilir sonsuzluğa sahiptir. En yaygın kesikli olasılık dağılımları arasında tekdüze dağılım, binom dağılımı ve Poisson dağılımına sahibiz.

karakteristikleri

Olasılık dağılımı işlevi aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

Dahası, eğer X yalnızca sonlu sayıda değer alırsa (örneğin x1, x2,…, xn), o zaman p (xi) = 0 eğer i> ny ise, bu nedenle sonsuz b koşulu dizisi a olur sonlu seriler.

Bu işlev aynı zamanda aşağıdaki özellikleri de yerine getirir:

B rasgele değişken X ile ilişkili bir olay olsun. Bu, B'nin X (S) içinde bulunduğu anlamına gelir. Özellikle, B = {xi1, xi2, …} olduğunu varsayalım. Böylece:

Başka bir deyişle, bir B olayının olasılığı, B ile ilişkili bireysel sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir.

Buradan şu sonuca varabiliriz: eğer a <b, (X ≤ a) ve (a <X ≤ b) olayları birbirini dışlarsa ve dahası, bunların birleşimi olaydır (X ≤ b), bu nedenle biz:

Türleri

N nokta üzerinde düzgün dağılım

Rastgele bir değişken X'in, her bir değere aynı olasılık atanırsa, n noktada tek tip olmakla karakterize edilen bir dağılımı takip ettiği söylenir. Olasılık kütle işlevi:

İki olası sonucu olan bir deneyimiz olduğunu varsayalım, olası sonuçları yazı veya yazı olan bir bozuk para atışı veya sonucu çift sayı veya tek sayı olabilen bir tam sayı seçimi olabilir; bu tür deneyler Bernoulli testleri olarak bilinir.

Genel olarak, iki olası sonuç başarı ve başarısızlık olarak adlandırılır; burada p, başarı olasılığı ve 1-p, başarısızlık olasılığıdır. Birbirinden bağımsız n Bernoulli testinde x başarı olasılığını aşağıdaki dağılım ile belirleyebiliriz.

Binom dağılımı

Başarı olasılığı p olan n bağımsız Bernoulli testinde x başarı elde etme olasılığını temsil eden fonksiyondur. Olasılık kütle işlevi:

Aşağıdaki grafik, binom dağılımının parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle fonksiyonunu temsil etmektedir.

Aşağıdaki dağılım, adını iki terimli dağılımın sınırı olarak elde eden Fransız matematikçi Simeon Poisson'a (1781-1840) borçludur.

Poisson Dağılımı

Rastgele bir X değişkeninin, pozitif tamsayı değerleri 0,1,2,3, … alabildiğinde aşağıdaki olasılıkla Poisson dağılımına sahip olduğu söylenir:

Bu ifadede λ, her bir zaman birimi için olayın oluşumlarına karşılık gelen ortalama sayıdır ve x, olayın meydana gelme sayısıdır.

Olasılık kütle işlevi:

Poisson dağılımının parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle fonksiyonunu temsil eden bir grafik aşağıda verilmiştir.

Başarı sayısı düşük olduğu ve bir binom dağılımında gerçekleştirilen test sayısı n'si yüksek olduğu sürece, Poisson dağılımı binom dağılımının sınırı olduğundan bu dağılımları her zaman yaklaşık olarak tahmin edebiliriz.

Bu iki dağılım arasındaki temel fark, iki terimli iki parametreye, yani n ve p'ye bağlıyken, Poisson'un yalnızca bazen dağılımın yoğunluğu olarak adlandırılan λ'ya bağlı olmasıdır.

Şimdiye kadar sadece farklı deneylerin birbirinden bağımsız olduğu durumlar için olasılık dağılımlarından bahsettik; yani birinin sonucu başka bir sonuçtan etkilenmediğinde.

Bağımsız olmayan deneyler olması durumunda, hipergeometrik dağılım çok kullanışlıdır.

Hipergeometrik dağılım

N, sonlu bir kümedeki nesnelerin toplam sayısı olsun, bunlardan k kümesini bir şekilde tanımlayabiliriz, böylece tamamlayıcısı kalan Nk elemanları tarafından oluşturulan bir alt küme K oluşturabiliriz.

Rastgele n nesne seçersek, söz konusu seçimde K'ye ait olan nesnelerin sayısını temsil eden X rastgele değişkeni, N, n ve k parametrelerinin hipergeometrik bir dağılımına sahiptir. Olasılık kütle işlevi:

Aşağıdaki grafik, hipergeometrik dağılımın parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle fonksiyonunu temsil etmektedir.

Çözülmüş egzersizler

İlk egzersiz

Bir radyo tüpünün (belirli bir ekipman türüne yerleştirilmiş) 500 saatten fazla çalışma olasılığının 0,2 olduğunu varsayalım. 20 tüp test edilirse, bunların tam olarak k'sinin 500 saatten fazla çalışma olasılığı nedir, k = 0, 1,2,…, 20?

Çözüm

X, 500 saatten fazla çalışan tüplerin sayısı ise, X'in iki terimli bir dağılımı olduğunu varsayacağız. Yani

Ve bu yüzden:

K≥11 için olasılıklar 0,001'den azdır

Böylelikle bunların k'sinin 500 saatten fazla çalışma olasılığının maksimum değerine (k = 4 ile) ulaşana kadar nasıl arttığını ve sonra azalmaya başladığını görebiliriz.

İkinci egzersiz

Bir bozuk para 6 kez atılır. Sonuç pahalı olduğunda başarı olduğunu söyleyeceğiz. Tam olarak iki tura çıkma olasılığı nedir?

Çözüm

Bu durumda n = 6'ya sahibiz ve hem başarı hem de başarısızlık olasılığı p = q = 1/2

Bu nedenle, iki tura verilmesi olasılığı (yani, k = 2)

Üçüncü egzersiz

En az dört kafa bulma olasılığı nedir?

Çözüm

Bu durum için k = 4, 5 veya 6'ya sahibiz

Üçüncü egzersiz

Bir fabrikada üretilen ürünlerin% 2'sinin kusurlu olduğunu varsayalım. 100 maddelik bir örneklemde üç kusurlu madde olma olasılığını P bulunuz.

Çözüm

Bu durumda, n = 100 ve p = 0.02 için binom dağılımını uygulayabiliriz ve sonuç olarak şunu elde edebiliriz:

Bununla birlikte, p küçük olduğu için, Poisson yaklaşımını λ = np = 2 ile kullanıyoruz. Yani,

Referanslar

1. Kai Lai Chung. Stokastik Süreçlerle Temel Olasılık Teorisi. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen. Ayrık Matematik ve Uygulamaları. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Olasılık ve İstatistiksel Uygulamalar. SA ALHAMBRA MEKSİKANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Ayrık Matematiğin Çözülmüş Problemleri. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori ve Olasılık Problemleri. McGraw-Hill.