Sentetik bölme c - bir polinom P (x) formu d (x) = birini ayıran basit bir yöntemdir. Örneğin, polinom P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) en basit iki polinomun (x + 1) ve (x 4 + 2x 3 ) çarpımı olarak gösterilebilir. ).
Polinomları bölmemize ek olarak, herhangi bir c sayısında bir polinom P (x) 'i değerlendirmemize izin verdiği için çok kullanışlı bir araçtır, bu da bize tam olarak söz konusu sayının polinomun sıfır olup olmadığını söyler.
Bölme algoritması sayesinde, iki sabit olmayan P (x) ve d (x) polinomumuz varsa, Q (x) ve r (x) benzersiz polinomları olduğunu biliyoruz, öyle ki P (x) = q (x) d (x) + r (x), burada r (x) sıfırdır veya q (x) 'den küçüktür. Bu polinomlar sırasıyla bölüm ve kalan veya kalan olarak bilinir.
Polinom d (x) 'in x-c biçiminde olduğu durumlarda, sentetik bölünme bize q (x) ve r (x)' in kim olduğunu bulmanın kısa bir yolunu verir.
Sentetik bölme yöntemi
P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0 bölmek istediğimiz polinom ve bölen d (x) = xc olsun. Sentetik bölme yöntemine göre bölmek için aşağıdaki gibi ilerliyoruz:
1- İlk satıra P (x) katsayılarını yazıyoruz. X'in herhangi bir kuvveti görünmezse, katsayısı olarak sıfırı koyarız.
2- İkinci satıra, a n'nin soluna c yerleştiririz ve aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi bölme çizgileri çizeriz:
3- Baştaki katsayıyı üçüncü sıraya indiriyoruz.
Bu ifadede b n-1 = a n
4- c'yi baş katsayısı b n-1 ile çarparız ve sonucu ikinci satıra yazarız, ancak bir sütun sağa.
5- Bir önceki sonucu yazdığımız sütunu ekliyoruz ve sonucu o toplamın altına yerleştiriyoruz; yani aynı sütunda üçüncü satırdır.
Toplarken, sonuç olarak n-1 + c * b n-1 elde ederiz, bu da kolaylık sağlamak için b n-2 olarak adlandırılır.
6- c'yi önceki sonuç ile çarpıp sonucu ikinci satırın sağına yazıyoruz.
7- biz katsayısını ulaşana kadar biz 5. ve 6. adımları tekrarlayın 0 .
8- Cevabı yazıyoruz; yani bölüm ve kalan. N dereceli bir polinomu 1. dereceden bir polinomla böldüğümüz için, bölümün n-1 derece olacağı sonucuna sahibiz.
Bölüm polinomunun katsayıları, kalan polinom veya bölümün geri kalanı olacak sonuncusu hariç üçüncü sıradaki sayılar olacaktır.
Çözülmüş egzersizler
- Örnek 1
Sentetik bölme yöntemiyle aşağıdaki bölmeyi gerçekleştirin:
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1).
Çözüm
Önce temettü katsayılarını şu şekilde yazıyoruz:
Sonra sol tarafa, ikinci satıra bölme çizgileriyle birlikte c yazıyoruz. Bu örnekte c = -1.
Baştaki katsayıyı düşürüyoruz (bu durumda b n-1 = 1) ve -1 ile çarpıyoruz:
Sonucunu aşağıda gösterildiği gibi ikinci satırda sağa yazıyoruz:
İkinci sütundaki sayıları ekliyoruz:
2'yi -1 ile çarpıp sonucu üçüncü sütuna, ikinci satıra yazıyoruz:
Üçüncü sütuna ekliyoruz:
Son sütuna ulaşana kadar aynı şekilde ilerliyoruz:
Böylece, elde edilen son sayının bölümün geri kalanı olduğunu ve kalan sayıların bölüm polinomunun katsayıları olduğunu görüyoruz. Bu şu şekilde yazılmıştır:
Sonucun doğru olduğunu doğrulamak istiyorsak, aşağıdaki denklemin doğru olduğunu doğrulamak yeterlidir:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
Böylece elde edilen sonucun doğru olup olmadığını kontrol edebiliriz.
- Örnek 2
Sentetik bölme yöntemiyle aşağıdaki polinom bölünmesini gerçekleştirin
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
Çözüm
Bu durumda, x 2 terimi görünmüyor, bu yüzden katsayısı olarak 0 yazacağız. Dolayısıyla, polinom 7x 3 + 0x 2 -x + 2 olacaktır.
Katsayılarını arka arkaya yazıyoruz, bu:
İkinci satırın sol tarafına C = -2 değerini yazıp bölme çizgilerini çiziyoruz.
Baştaki katsayı b n-1 = 7'yi indirip -2 ile çarparak sonucunu ikinci satıra sağa yazıyoruz.
Son terime ulaşana kadar daha önce açıklandığı gibi ekler ve devam ederiz:
Bu durumda, kalan r (x) = - 52 ve elde edilen bölüm q (x) = 7x 2 -14x + 27'dir.
- Örnek 3
Sentetik bölmeyi kullanmanın başka bir yolu da şudur: Diyelim ki n derecesinde bir P (x) polinomumuz var ve onu x = c'de değerlendirerek değerin ne olduğunu bilmek istiyoruz.
Bölme algoritması ile polinom P (x) 'i aşağıdaki şekilde yazabiliriz:
Bu ifadede q (x) ve r (x) sırasıyla bölüm ve kalan kısımdır. Şimdi, eğer d (x) = x- c ise, polinomda c olarak değerlendirirken şunu elde ederiz:
Bu nedenle, geriye sadece ar (x) 'i bulmak kalır ve bunu sentetik bölüm sayesinde yapabiliriz.
Örneğin, P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 polinomumuz var ve x = 5'te değerlendirerek değerinin ne olduğunu bilmek istiyoruz. Bunu yapmak için sentetik bölme yöntemi ile P (x) ve d (x) = x -5 arasındaki bölünme:
İşlemler tamamlandıktan sonra, P (x) 'i şu şekilde yazabileceğimizi biliyoruz:
P (x) = (x 6 -4x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
Bu nedenle, değerlendirirken şunları yapmalıyız:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Gördüğümüz gibi, bir polinomun değerini bulmak için sadece x yerine c yerine c olarak değerlendirerek sentetik bölmeyi kullanmak mümkündür.
P (5) 'i geleneksel şekilde değerlendirmeye çalışırsak, genellikle sıkıcı hale gelen bazı hesaplamalar yapmak zorunda kalırdık.
- Örnek 4
Polinomlar için bölme algoritması, karmaşık katsayılara sahip polinomlar için de geçerlidir ve sonuç olarak, sentetik bölme yönteminin bu tür polinomlar için de işe yaradığını gördük. Aşağıda bir örnek göreceğiz.
Z = 1+ 2i'nin P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i) polinomunun sıfır olduğunu göstermek için sentetik bölme yöntemini kullanacağız ; yani, P (x) bölümünün d (x) = x - z ile kalan kısmı sıfıra eşittir.
Daha önce olduğu gibi ilerliyoruz: ilk satıra P (x) 'in katsayılarını yazıyoruz, sonra ikinci satırda z yazıp bölme çizgilerini çiziyoruz.
Bölünmeyi eskisi gibi yapıyoruz; bu:
Kalanın sıfır olduğunu görebiliriz; bu nedenle z = 1+ 2i'nin P (x) 'in sıfır olduğu sonucuna varıyoruz.
Referanslar
- Baldor Aurelio. Cebir Grupo Editoryal Patria.
- Demana, Waits, Foley ve Kennedy. Precalculus: Graphical, Numerical, Cebebraic 7th Ed. Pearson Education.
- Flemming W & Varserg D. Analitik Geometri ile Cebir ve Trigonometri. Prentice salonu
- Michael Sullivan. Precalculus 4. Baskı. Pearson Education.
- Kırmızı. Armando O. Cebir 1 6th Ed. Athenaeum.