BIR IŞLEVIN ETKI ALANI VE ÇELIŞKI ALANI (ÖRNEKLERLE) - MATEMATIK - 2025

Bir fonksiyonun alan ve karşı alan kavramları, genellikle üniversite derecelerinin başında öğretilen matematik derslerinde öğretilir.

Etki alanı ve karşıt etki alanını tanımlamadan önce, bir işlevin ne olduğunu bilmelisiniz. Bir f işlevi, iki kümenin öğeleri arasında yapılan bir yazışma yasasıdır (kuralıdır).

Elemanların seçildiği küme, işlevin etki alanı olarak adlandırılır ve bu elemanların f aracılığıyla gönderildiği küme karşı etki alanı olarak adlandırılır.

Matematikte, etki alanı A ve sayaç etki alanı B olan bir fonksiyon, f: A → B ifadesi ile gösterilir.

Önceki ifade, A kümesinin elemanlarının, yazışma yasası f'nin ardından B kümesine gönderildiğini söylüyor.

Bir işlev, A kümesinin her bir öğesine B kümesinin tek bir öğesini atar.

Etki alanı ve contradomain

Bir gerçek değişken f (x) 'in gerçek bir fonksiyonu verildiğinde, fonksiyonun etki alanının, f'de değerlendirildiğinde sonucun gerçek bir sayı olacağı şekilde tüm bu gerçek sayılar olacağını görürüz.

Genel olarak, bir fonksiyonun karşı alanı, gerçek sayılar R kümesidir. Karşı alan, f fonksiyonunun varış kümesi veya ortak alanı olarak da adlandırılır.

Bir fonksiyonun zıtlık alanı her zaman R midir?

Hayır. Fonksiyon ayrıntılı olarak çalışılmadığı sürece, gerçek sayılar kümesi R genellikle bir karşı alan olarak alınır.

Ancak fonksiyon incelendikten sonra, R'nin bir alt kümesi olacak olan karşı alan olarak daha uygun bir küme alınabilir.

Önceki paragrafta bahsedilen uygun küme, işlevin görüntüsüyle eşleşir.

Bir f fonksiyonunun görüntüsünün veya aralığının tanımı, f'deki alanın bir elemanının değerlendirilmesinden gelen tüm değerleri ifade eder.

Örnekler

Aşağıdaki örnekler, bir fonksiyonun alanının ve görüntüsünün nasıl hesaplanacağını göstermektedir.

örnek 1

F, f (x) = 2 ile tanımlanan gerçek bir fonksiyon olsun.

F'nin etki alanı, f'de değerlendirildiğinde sonucun gerçek bir sayı olacağı şekilde tüm gerçek sayılardır. Şu an için çelişki R'ye eşittir.

Verilen fonksiyon sabit olduğundan (her zaman 2'ye eşittir), hangi gerçek sayının seçildiği önemli değildir, çünkü onu f'de değerlendirirken sonuç her zaman gerçek sayı olan 2'ye eşit olacaktır.

Bu nedenle, verilen fonksiyonun alanı tamamen gerçek sayılardır; yani, A = R.

Artık fonksiyonun sonucunun her zaman 2'ye eşit olduğu bilindiğine göre, fonksiyonun görüntüsünün sadece 2 sayısı olduğuna sahibiz, bu nedenle fonksiyonun karşı alanı B = Img (f) = olarak yeniden tanımlanabilir. {iki}.

Bu nedenle, f: R → {2}.

Örnek 2

G, g (x) = √x ile tanımlanan gerçek bir fonksiyon olsun.

G'nin görüntüsü bilinmediği sürece, g'nin karşıt alanı B = R'dir.

Bu işlevle, kareköklerin yalnızca negatif olmayan sayılar için tanımlandığı dikkate alınmalıdır; yani, sıfırdan büyük veya sıfıra eşit sayılar için. Örneğin, √-1 gerçek bir sayı değildir.

Bu nedenle, g fonksiyonunun etki alanı sıfırdan büyük veya sıfıra eşit tüm sayılar olmalıdır; yani x ≥ 0.

Bu nedenle, A = [0, + ∞).

Aralığı hesaplamak için, g (x) 'in herhangi bir sonucunun, bir karekök olduğu için, her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olacağına dikkat edilmelidir. Yani, B = [0, + ∞).

Sonuç olarak, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Örnek 3

Eğer h (x) = 1 / (x-1) fonksiyonuna sahipsek, bu fonksiyonun x = 1 için tanımlanmamasına sahibiz, çünkü paydada sıfır alırız ve sıfıra bölme tanımlanmaz.

Öte yandan, başka herhangi bir gerçek değer için sonuç gerçek bir sayı olacaktır. Bu nedenle, etki alanı biri hariç tüm gerçeklerdir; yani, A = R \ {1}.

Aynı şekilde, sonuç olarak elde edilemeyen tek değerin 0 olduğu gözlemlenebilir, çünkü bir kesirin sıfıra eşit olması için payın sıfır olması gerekir.

Bu nedenle, fonksiyonun görüntüsü sıfır dışındaki tüm gerçeklerin kümesidir, bu nedenle B = R \ {0} bir karşıt alan olarak alınır.

Sonuç olarak, h: R \ {1} → R \ {0}.

Gözlemler

Örnek 1 ve 3'te gösterildiği gibi alan ve görüntünün aynı set olması gerekmez.

Kartezyen düzlemde bir fonksiyonun grafiği çizildiğinde, alan X ekseni ile temsil edilir ve karşı alan veya aralık Y ekseni ile temsil edilir.

Referanslar

1. Fleming, W. ve Varberg, DE (1989). Kalkülüs Öncesi Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. ve Varberg, DE (1989). Kalkülüs öncesi matematik: bir problem çözme yaklaşımı (2, Resimli ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. ve Varberg, D. (1991). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Kalkülüs (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM ve Viloria, NG (2005). Düzlem Analitik Geometri. Mérida - Venezuela: Editoryal Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. ve Rigdon, SE (2007). Calculus (Dokuzuncu baskı). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Bilim ve Mühendislik için erken aşkın fonksiyonlara sahip Diferansiyel Kalkülüs (İkinci Baskı ed.). Hipotenüs.
9. Scott, CA (2009). Kartezyen Düzlem Geometrisi, Bölüm: Analitik Konikler (1907) (yeniden basıldı). Yıldırım Kaynağı.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.