- karakteristikleri
- Türleri
- Birinci sınıf
- İkinci sınıf
- çözücü
- En yüksek not
- Çözülmüş egzersizler
- İlk egzersiz
- Çözüm
- İkinci egzersiz
- Çözüm
- Referanslar
Polinom denklemler yapmak terimlerin az bir iki ifadeler ya üyeden eşitliğini yükselten bir ifadesidir yukarı eşitlik her tarafını polinomları P (x) bulunmaktadır. Bu denklemler değişkenlerinin derecesine göre adlandırılır.
Genel olarak bir denklem, iki ifadenin eşitliğini sağlayan bir ifadedir; bunlardan en az birinde, değişkenler veya bilinmeyenler olarak adlandırılan bilinmeyen miktarlar vardır. Birçok denklem türü olmasına rağmen, genellikle iki türe ayrılırlar: cebirsel ve aşkın.
Polinom denklemler, yalnızca denklemde bir veya daha fazla bilinmeyen içeren cebirsel ifadeler içerir. Sahip oldukları üs (derece) göre, birinci derece (doğrusal), ikinci derece (ikinci derece), üçüncü derece (kübik), dördüncü derece (dörtlü), beşe eşit veya beşten büyük derece ve irrasyonel olarak sınıflandırılabilirler.
karakteristikleri
Polinom denklemleri, iki polinom arasındaki eşitlikle oluşturulan ifadelerdir; yani, bilinmeyen (değişkenler) ve sabit sayılar (katsayılar) olan değerler arasındaki çarpımların sonlu toplamıdır, burada değişkenler üslere sahip olabilir ve değerleri sıfır dahil pozitif bir tamsayı olabilir.
Üsler, denklemin derecesini veya türünü belirler. İfadedeki en yüksek üslü terim, polinomun mutlak derecesini temsil edecektir.
Polinom denklemler, cebirsel denklemler olarak da bilinir, katsayıları gerçek veya karmaşık sayılar olabilir ve değişkenler, "x" gibi bir harfle temsil edilen bilinmeyen sayılardır.
P (x) 'de "x" değişkeni için bir değer değiştirilirse, sonuç sıfıra (0) eşittir, o zaman bu değerin denklemi karşıladığı söylenir (bu bir çözümdür) ve genellikle polinomun kökü olarak adlandırılır.
Bir polinom denklemi geliştirirken tüm kökleri veya çözümleri bulmak istersiniz.
Türleri
Değişkenlerin sayısına ve ayrıca üslerinin derecesine göre farklılaştırılan çeşitli polinom denklem türleri vardır.
Böylece, polinom denklemleri - birinci terimi tek bir bilinmeyenli bir polinom olduğunda, derecesinin herhangi bir doğal sayı (n) ve ikinci terimin sıfır olabileceği düşünülürse, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
bir n * x n + bir n-1 * x n-1 +… + bir 1 * x 1 + bir 0 * x 0 = 0
Nerede:
- a n, a n-1 ve 0 gerçek katsayılardır (sayılar).
- a n sıfırdan farklıdır.
- Üst n, denklemin derecesini temsil eden pozitif bir tamsayıdır.
- x, aranacak değişkendir veya bilinmemektedir.
Bir polinom denkleminin mutlak veya daha yüksek derecesi, polinomu oluşturanların tümü arasında en yüksek değere sahip üsdür; bu nedenle denklemler şu şekilde sınıflandırılır:
Birinci sınıf
Doğrusal denklemler olarak da bilinen birinci derece polinom denklemleri, derecenin (en büyük üs) 1'e eşit olduğu, polinomun P (x) = 0 formunda olduğu denklemlerdir; y doğrusal bir terimden ve bağımsız bir terimden oluşur. Aşağıdaki gibi yazılmıştır:
ax + b = 0.
Nerede:
- a ve b gerçek sayılardır ve a ≠ 0.
- ax doğrusal terimdir.
- b bağımsız terimdir.
Örneğin, 13x - 18 = 4x denklemi.
Doğrusal denklemleri çözmek için, bilinmeyen x'i içeren tüm terimlerin eşitliğin bir tarafına geçirilmesi, olmayanların ise çözmesi ve bir çözüm elde etmesi için diğer tarafa geçmesi gerekir:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
Dolayısıyla, verilen denklemin yalnızca bir çözümü veya kökü vardır, bu da x = 2'dir.
İkinci sınıf
İkinci dereceden denklemler olarak da bilinen ikinci derece polinom denklemleri, derecenin (en büyük üs) 2'ye eşit olduğu, polinomun P (x) = 0 biçiminde olduğu ve ikinci dereceden bir terimden oluşan denklemlerdir. , bir doğrusal ve bir bağımsız. Şöyle ifade edilir:
ax 2 + bx + c = 0.
Nerede:
- a, b ve c gerçek sayılardır ve a ≠ 0.
- ax 2 ikinci dereceden terimdir ve "a" ikinci dereceden terimin katsayısıdır.
- bx doğrusal terimdir ve "b" doğrusal terimin katsayısıdır.
- c bağımsız terimdir.
çözücü
Genel olarak, bu tür denklemlerin çözümü, denklemden x'i temizleyerek verilir ve çözücü olarak adlandırılan aşağıdaki gibidir:
Orada, (b 2 - 4ac) denklemin ayırıcısı olarak adlandırılır ve bu ifade, denklemin sahip olabileceği çözüm sayısını belirler:
- Eğer (b 2 - 4ac) = 0 ise, denklemin çift olan tek bir çözümü olacaktır; yani iki eşit çözüme sahip olacaktır.
- (b 2 - 4ac)> 0 ise, denklemin iki farklı gerçek çözümü olacaktır.
- (b 2 - 4ac) <0 ise, denklemin çözümü yoktur (iki farklı karmaşık çözümü olacaktır).
Örneğin, 4x 2 + 10x - 6 = 0 denklemimiz var, onu çözmek için önce a, b ve c terimlerini tanımlayın ve ardından formülde değiştirin:
a = 4
b = 10
c = -6.
İkinci derece polinom denklemlerinin üç terime birden sahip olmadığı durumlar vardır ve bu yüzden farklı şekilde çözülürler:
- İkinci dereceden denklemlerin doğrusal terime sahip olmaması durumunda (yani, b = 0), denklem ax 2 + c = 0 olarak ifade edilecektir. Bunu çözmek için x 2'yi çözün ve her bir üyedeki karekökleri uygulayın. bilinmeyenin sahip olabileceği iki olası işaretin dikkate alınması gerektiğini hatırlayarak:
ax 2 + c = 0.
x 2 = - c ÷ a
Örneğin, 5 x 2 - 20 = 0.
5 x 2 = 20
x 2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2.
x 2 = -2.
- İkinci dereceden denklemin bağımsız bir terimi olmadığında (yani, c = 0), denklem ax 2 + bx = 0 olarak ifade edilecektir. Bunu çözmek için, ilk üyedeki bilinmeyen x'in ortak faktörü alınmalıdır; Denklem sıfıra eşit olduğundan, faktörlerden en az birinin 0'a eşit olacağı doğrudur:
ax 2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Bu nedenle, yapmanız gerekenler:
x = 0.
x = -b ÷ a.
Örneğin: 5x 2 + 30x = 0 denklemimiz var. İlk olarak şunları çarpanlara ayırıyoruz:
5x 2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Xy (5x + 30) olan iki faktör oluşturulur. Bunlardan birinin sıfıra eşit olacağı düşünülür ve diğeri çözülür:
x 1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
En yüksek not
Daha yüksek dereceli polinom denklemleri, herhangi bir derece için genel polinom denklemi ile ifade edilebilen veya çözülebilen üçüncü dereceden itibaren devam eden denklemlerdir:
bir n * x n + bir n-1 * x n-1 +… + bir 1 * x 1 + bir 0 * x 0 = 0
Bu, ikiden büyük bir dereceye sahip bir denklemin bir polinomu çarpanlarına ayırmanın sonucu olduğu için kullanılır; yani, bir veya daha büyük derecedeki polinomların gerçek kökleri olmadan çarpımı olarak ifade edilir.
Bu tür denklemlerin çözümü doğrudandır, çünkü faktörlerden herhangi biri null (0) ise iki faktörün çarpımı sıfıra eşit olacaktır; bu nedenle, bulunan polinom denklemlerinin her biri, faktörlerinin her biri sıfıra eşit olacak şekilde çözülmelidir.
Örneğin, üçüncü derece denklemimiz var (kübik) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. Bunu çözmek için aşağıdaki adımlar izlenmelidir:
- Terimler gruplandırılmıştır:
x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0
(x 3 + x 2 ) + (4x + 4) = 0.
- Üyeler, bilinmeyen ortak faktörünü elde etmek için ayrıştırılır:
x 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x 2 + 4) * (x + 1) = 0.
- Bu şekilde, sıfıra eşit olması gereken iki faktör elde edilir:
(x 2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- (x 2 + 4) = 0 faktörünün gerçek bir çözüme sahip olmayacağı, (x + 1) = 0 faktörünün ise gerçek bir çözüme sahip olmadığı görülebilir . Yani çözüm şudur:
(x + 1) = 0
x = -1.
Çözülmüş egzersizler
Aşağıdaki denklemleri çözün:
İlk egzersiz
(2x 2 + 5) * (x - 3) * (1 + x) = 0.
Çözüm
Bu durumda denklem, polinomların çarpımı olarak ifade edilir; yani faktörlüdür. Çözmek için her faktör sıfıra eşitlenmelidir:
- 2x 2 + 5 = 0, çözümü yok.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Dolayısıyla, verilen denklemin iki çözümü vardır: x = 3 ve x = -1.
İkinci egzersiz
X 4 - 36 = 0.
Çözüm
Daha hızlı bir çözüme ulaşmak için karelerin farkı olarak yeniden yazılabilen bir polinom verildi. Dolayısıyla denklem şu şekildedir:
(x 2 + 6) * (x 2 = 0-6).
Denklemlerin çözümünü bulmak için her iki faktör de sıfıra eşit olarak ayarlanmıştır:
(x 2 + 6) = 0, çözümü yok.
(x 2 - 6) = 0
x 2 = 6
x = ± √6.
Böylece, ilk denklemin iki çözümü vardır:
x = √6.
x = - √6.
Referanslar
- Andres, T. (2010). Matematik Olimpiyatı Tresure. Springer. New York.
- Melek, AR (2007). Temel Cebir. Pearson Education,.
- Baer, R. (2012). Doğrusal Cebir ve Projektif Geometri. Courier Corporation.
- Baldor, A. (1941). Cebir. Havana: Kültür.
- Castaño, HF (2005). Hesaplamadan önce matematik. Medellin Üniversitesi.
- Cristóbal Sánchez, MR (2000). Olimpik Hazırlık Matematik El Kitabı. Jaume I. Üniversitesi
- Kreemly Pérez, ML (1984). Daha Yüksek Cebir I.
- Massara, NC-L. (bindokuzyüz doksan beş). Matematik 3.