ENEAGON: ÖZELLIKLER, ENEAGON NASIL YAPILIR, ÖRNEKLER - MATEMATIK

Bir enegon , düzenli olabilen veya olmayabilen dokuz kenarı ve dokuz köşesi olan bir çokgendir. Eneágono adı Yunancadan gelir ve Yunanca ennea (dokuz) ve gonon (açı) kelimelerinden oluşur.

Dokuz kenarlı çokgen için alternatif bir ad, Latince nonus (dokuz) ve gonon (tepe) kelimesinden gelen nonagon'dur. Öte yandan, eneagonun kenarları veya açıları birbirine eşit değilse, düzensiz bir eneagonunuz var demektir. Öte yandan, eneagonun dokuz kenarı ve dokuz açısı eşitse, o zaman bu normal bir eneagondur.

Şekil 1. Düzenli eneagon ve düzensiz eneagon. (Kendi detaylandırma)

Eneagonun özellikleri

N kenarı olan bir çokgen için iç açılarının toplamı:

(n - 2) * 180º

Enegonda n = 9 olacaktır, dolayısıyla iç açılarının toplamı:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Herhangi bir poligonda, köşegenlerin sayısı:

D = n (n - 3) / 2 ve enegon durumunda, n = 9'dan beri D = 27'ye sahibiz.

Düzenli enegon

Düzenli eneagon veya nonagon'da eşit ölçüye sahip dokuz (9) iç açı vardır, bu nedenle her açı, iç açıların toplam toplamının dokuzda birini ölçer.

Bir enegonun iç açılarının ölçüsü bu durumda 1260º / 9 = 140º'dir.

Şekil 2. Normal bir eneagonun apothem, yarıçapı, kenarları, açıları ve köşeleri. (Kendi detaylandırma)

D yanına sahip düzenli bir enegonun alanı için formül türetmek için, şekil 2'de gösterilenler gibi bazı yardımcı yapıların yapılması uygundur.

Merkez O, iki bitişik kenarın açıortayları izlenerek bulunur. Merkez O köşelerden eşit uzaklıkta.

R uzunluğunun bir yarıçapı, O merkezinden enegonun bir tepe noktasına kadar olan segmenttir. Şekil 2 r uzunluğunun OD ve OE yarıçaplarını göstermektedir.

Apothem, merkezden enegonun bir tarafının orta noktasına giden segmenttir. Örneğin OJ, uzunluğu a olan bir özdeyiştir.

Yan ve apothem bilinen bir enegonun alanı

Şekil 2'de ODE üçgenini ele alıyoruz. Bu üçgenin alanı DE tabanının çarpımıdır ve OJ yüksekliğinin 2'ye bölünmesiyle elde edilir:

ODE alanı = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Enegonda 9 eşit alana sahip üçgen olduğu için, aynı alanın olduğu sonucuna varılmıştır:

Enegon alanı = (9/2) (d * a)

Yanda bilinen bir enerji alanı

Yalnızca enegonun kenarlarının d uzunluğu biliniyorsa, önceki bölümde verilen formülü uygulamak için özdevin uzunluğunu bulmak gerekir.

J'deki OJE dik üçgenini dikkate alıyoruz (bkz. Şekil 2). Teğet trigonometrik oran uygulanırsa, şunu elde ederiz:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

OEJ = 140º / 2 = 70º açısı, çünkü EO enegonun iç açısının açıortayıcısıdır.

Öte yandan, OJ, a uzunluğunun özüdür.

Daha sonra, J ED'nin orta noktası olduğundan, EJ = d / 2 olduğunu izler.

Elimizdeki teğet ilişkideki önceki değerleri ikame etmek:

tan (70º) = a / (d / 2).

Şimdi apothem'in uzunluğunu temizliyoruz:

a = (d / 2) tan (70º).

Önceki sonuç, aşağıdakileri elde etmek için alan formülünde ikame edilir:

Enegonun alanı = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Son olarak, sadece kenarlarının uzunluğu d biliniyorsa, düzenli enegonun alanını elde etmeye izin veren formül vardır:

Enegonun alanı = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

Düzenli bir enegonun çevresi, tarafını biliyor

Bir çokgenin çevresi, kenarlarının toplamıdır. Enegon durumunda, kenarların her biri bir d uzunluğunu ölçtüğü için, çevresi dokuz kere d toplamı olacaktır, yani:

Çevre = 9 d

Enegonun çevresi yarıçapını biliyor

J'deki dik üçgen OJE dikkate alındığında (bkz. Şekil 2), trigonometrik kosinüs oranı uygulanır:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Nereden elde edilir:

d = 2r çünkü (70º)

Bu sonucu değiştirerek, enegonun yarıçapının bir fonksiyonu olarak çevre için formül elde ederiz:

Çevre = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

Düzenli bir enegon nasıl yapılır

1- Bir cetvel ve bir pusula ile düzgün bir eneagon inşa etmek için, enegonu çevreleyen c çevresinden başlayın. (bkz. şekil 3)

2- Çevrenin O merkezinden iki dikey çizgi çizilir. Daha sonra hatlardan birinin A ve B kesişimleri çevre ile işaretlenir.

3- Pusula ile B kesişim noktasında ve BO yarıçapına eşit açıklıkta bir merkez yaparak, C noktasında orijinal çevreyi kesen bir yay çizilir.

Şekil 3. Düzenli bir enegon oluşturma adımları. (Kendi detaylandırma)

4- Önceki adım tekrar edilir ancak A ve AO yarıçapında bir merkez yapılarak, c çevresini E noktasında kesen bir yay çizilir.

5- AC açılarak ve merkez A'da açılarak bir çevre yayı çizilir. Benzer şekilde BE'nin açılması ve B merkezi ile başka bir yay çizilir. Bu iki yayın kesişme noktası G noktası olarak işaretlenmiştir.

6- G'de ortalanarak ve GA'yı açarak, ikincil ekseni (bu durumda yatay) H noktasında kesen bir yay çizilir. İkincil eksenin orijinal çevre c ile kesişimi I olarak işaretlenir.

7- IH segmentinin uzunluğu, enegon kenarının d uzunluğuna eşittir.

8- Pusula açıklığı IH = d ile, A merkez yarıçapı AJ, merkez J yarıçapı AK, merkez K yarıçapı KL ve merkez L yarıçapı LP yayları arka arkaya çizilir.

9- Benzer şekilde, A'dan başlayarak ve sağ taraftan başlayarak, orijinal c çevresinde M, N, C ve Q noktalarını işaretleyen IH = d yarıçaplı yaylar çizilir.

10- Son olarak AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ ve son olarak PB bölümleri çizilir.

Son taraf PB'nin diğer taraflardan% 0.7 daha uzun olduğu doğrulanabildiğinden, yapım yönteminin tamamen kesin olmadığı unutulmamalıdır. Bugüne kadar,% 100 doğru olan bir cetvel ve pusula ile bilinen bir yapım yöntemi yoktur.

Örnekler

İşte bazı üzerinde çalışılmış örnekler.

örnek 1

Kenarları 2 cm olan normal bir enegon inşa etmek istiyoruz. Daha önce açıklanan konstrüksiyonu uygulayarak istenen sonucu elde etmek için onu çevreleyen çevre ne kadar yarıçapa sahip olmalıdır?

Önceki bir bölümde, sınırlı dairenin yarıçapını r ile düzenli bir enegonun d kenarı ile ilişkilendiren formül çıkarılmıştır:

d = 2r çünkü (70º)

Önceki ifadeden r'yi çözersek:

r = d / (2 cos (70º)) = 1.4619 * d

Önceki formülde d = 2 cm değerini değiştirmek 2,92 cm'lik bir r yarıçapı verir.

Örnek 2

Kenarları 2 cm olan normal bir enegonun alanı nedir?

Bu soruyu cevaplamak için, daha önce gösterilen formüle başvurmalıyız, bu da bilinen bir enegonun alanını kenarının d uzunluğuna göre bulmamızı sağlar: