- gerçek bir α sayısının V'ye ait olan ve başka bir vektör veren bir v : α v vektörüyle çarpımı .

Bir vektör uzayının sanatsal görüşü. Kaynak: Pixabay

Bir vektörü belirtmek için kalın ( v bir vektördür) ve skaler veya sayılar için Yunan harfleri (α bir sayıdır) kullanırız.

Aksiyomlar ve özellikler

Bir vektör uzayı verilebilmesi için aşağıdaki sekiz aksiyomun geçerli olması gerekir:

1-değiştirilebilirlik: u + v = v + u

2-Geçişlilik: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

Boş vektör 3-varlığı 0 olacağı şekilde 0 + h = V

4-Tersinin varlığı: v'nin tersi (- v ) 'dir, çünkü v + (- v ) = 0

5-Ürünün vektör toplamına göre dağılımı: α ( u + v ) = α u + α v

6-Ürünün skaler toplama göre dağılımı: (α + β) v = α v + β v

7-Skaler çarpımın ilişkilendirilebilirliği: α (β v ) = (α β) v

8-1 sayısı nötr elementtir çünkü: 1 v = v

Vektör uzaylarının örnekleri

örnek 1

(R²) düzlemindeki vektörler, vektör uzayına bir örnektir. Düzlemdeki bir vektör, büyüklüğü ve yönü olan geometrik bir nesnedir. Söz konusu düzleme ait olan ve büyüklüğü ile orantılı bir boyuta sahip yönlendirilmiş bir segment ile temsil edilir.

Düzlemdeki iki vektörün toplamı, birinci vektörden sonraki ikinci vektörün geometrik öteleme işlemi olarak tanımlanabilir. Toplamın sonucu, birincinin başlangıcından başlayıp ikincinin ucuna ulaşan yönlendirilmiş segmenttir.

Şekilde R²'deki toplamın değişmeli olduğu görülmektedir.

Şekil 2. Düzlemdeki vektörler vektör uzayını oluşturur. Kaynak: kendi kendine.

Bir α sayısı ve bir vektörün çarpımı da tanımlanır. Sayı pozitifse, orijinal vektörün yönü korunur ve boyut, orijinal vektörün α katıdır. Sayı negatifse, yön tam tersidir ve elde edilen vektörün boyutu sayının mutlak değeridir.

Herhangi bir v vektörünün karşısındaki vektör - v = (- 1) v'dir .

Boş vektör, R² düzlemindeki bir noktadır ve sıfır çarpı vektör, sıfır vektörü verir.

Tüm söylenenler Şekil 2'de gösterilmektedir.

Örnek 2

Grubu P derecesi her polinomların daha az veya sıfır derece dahil olmak üzere, iki eşit, bir dizi oluşturacak şekilde bir vektör alan tümünü taşıyan aksiyonları.

Polinom P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

İki polinomun toplamı tanımlanır: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

P kümesine ait polinomların toplamı değişmeli ve geçişlidir.

P kümesine ait boş polinom , tüm katsayıları sıfıra eşit olan bir polinomdur :

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Bir polinom tarafından skaler bir α'nın toplamı şu şekilde tanımlanır: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

P (x) 'in zıt polinomu -P (x) = (-1) P (x)' dir.

Yukarıdakilerin hepsinden, ikiye eşit veya daha düşük derecedeki tüm polinomların P kümesinin bir vektör uzayı olduğu anlaşılır .

Örnek 3

Elemanları gerçek sayı olan m satır xn sütunlarının tüm matrislerinin M kümesi , matrislerin toplanması ve bir matris ile bir sayının çarpımı işlemlerine göre gerçek bir vektör uzayı oluşturur.

Örnek 4

Gerçek değişkenin sürekli fonksiyonlarının F kümesi bir vektör uzayı oluşturur, çünkü iki fonksiyonun toplamını tanımlamak mümkündür, bir skalerin bir fonksiyonla çarpımı, sıfır fonksiyonu ve simetrik fonksiyon. Ayrıca bir vektör uzayını karakterize eden aksiyomları da yerine getirirler.

Bir vektör uzayının tabanı ve boyutu

baz

Bir vektör uzayının temeli, o vektör uzayının herhangi bir vektörünün bunların doğrusal bir kombinasyonundan üretilebileceği şekilde, doğrusal olarak bağımsız vektörler kümesi olarak tanımlanır.

İki veya daha fazla vektörün doğrusal olarak birleştirilmesi, vektörlerin bir skaler ile çarpılması ve ardından vektörel olarak eklenmesinden oluşur.

Örneğin, R³ ile oluşturulan üç boyutlu vektörlerin vektör uzayında, birim vektörler (1 büyüklüğünde) i , j , k tarafından tanımlanan kanonik temel kullanılır .

Burada i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Bunlar Kartezyen veya kanonik vektörlerdir.

R³'ya ait herhangi bir V vektörü , V = a i + b j + c k şeklinde yazılır , bu, i , j , k taban vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olan . A skaler veya a, b, c sayıları, V'nin Kartezyen bileşenleri olarak bilinir .

Bir vektör uzayının temel vektörlerinin vektör uzayının bir jeneratör setini oluşturduğu da söylenir.

boyut

Bir vektör uzayının boyutu, o uzay için bir vektör tabanının kardinal sayısıdır; yani, söz konusu tabanı oluşturan vektörlerin sayısı.

Bu kardinal, o vektör uzayının doğrusal olarak bağımsız vektörlerinin maksimum sayısı ve aynı zamanda bu alanın bir jeneratör setini oluşturan minimum vektör sayısıdır.

Bir vektör uzayının tabanları benzersiz değildir, ancak aynı vektör uzayının tüm tabanları aynı boyuta sahiptir.

Vektör alt uzay

Bir vektör uzayının S vektör alt uzayı, V'nin bir alt kümesidir, burada aynı işlemler V'deki ile tanımlanır ve tüm vektör uzayı aksiyomlarını yerine getirir. Bu nedenle, S alt uzayı da bir vektör uzayı olacaktır.

Vektör alt uzayına örnek, XY düzlemine ait vektörlerdir. Bu alt uzay, üç boyutlu XYZ uzayına ait olan vektörler kümesinden daha büyük bir boyutsallık vektör uzayının bir alt kümesidir.

Gerçek elemanlara sahip 2 × 2 matrislerin tümü tarafından oluşturulan S vektör uzayının S1 vektör alt uzayına bir başka örnek aşağıda tanımlanmıştır:

Öte yandan, aşağıda tanımlanan S2, S'nin bir alt kümesi olmasına rağmen, bir vektör alt uzay oluşturmaz:

Çözülmüş egzersizler

-1. Egzersiz

V1 = (1, 1, 0) vektörleri olsun ; R³'da V2 = (0, 2, 1) ve V3 = (0, 0, 3).

a) Doğrusal olarak bağımsız olduklarını gösterin.

b) Herhangi bir üçlü (x, y, z) V1, V2, V3'ün doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabileceğinden, R³'da bir temel oluşturduklarını gösterin.

c) Üçlü V = (-3,5,4) 'ün bileşenlerini V1 , V2 , V3 tabanında bulun .

Çözüm

Doğrusal bağımsızlığı gösterme kriteri, α, β ve γ'de aşağıdaki denklem setini oluşturmaktan oluşur.

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Bu sistem için tek çözümün α = β = γ = 0 olması durumunda vektörler doğrusal olarak bağımsızdır, aksi takdirde değildirler.

Α, β ve γ değerlerini elde etmek için aşağıdaki denklem sistemini öneriyoruz:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Birincisi α = 0'a, ikincisi α = -2 ∙ to'ya yol açar ancak α = 0'dan sonra β = 0'dır. Üçüncü denklem, γ = (- 1/3) β anlamına gelir, ancak β = 0 olduğu için γ = 0'dır.

Cevaplamak

Bunun R³'da doğrusal olarak bağımsız bir vektörler kümesi olduğu sonucuna varılmıştır.

Cevap b

Şimdi üçlüyü (x, y, z) V1, V2, V3'ün lineer kombinasyonu olarak yazalım.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Nerede var:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Birincisi α = x, ikincisi β = (yx) / 2 ve üçüncü γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3'ü belirtir. Bu şekilde herhangi bir R³ üçlüsünün α, β ve γ üreteçlerini bulduk.

Cevap c

V1 , V2 , V3 tabanındaki üçlü V = (-3,5,4) bileşenlerini bulmaya devam edelim .

Yukarıda bulunan ifadelerde jeneratörler için karşılık gelen değerleri değiştiriyoruz.

Bu durumda elimizde: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Yani:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Son olarak:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

V1, V2, V3'ün 3 boyutunun R³ vektör uzayında bir temel oluşturduğu sonucuna vardık .

Egzersiz 2

P (t) = t² + 4t -3 polinomunu P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t ve P3 (t) = t + 3'ün doğrusal kombinasyonu olarak ifade edin.

Çözüm

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

x, y, z sayılarının belirleneceği yer.

Aynı derecede t cinsinden terimleri çarparak ve gruplayarak, elde ederiz:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Bu da bizi aşağıdaki denklem sistemine götürür:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Bu denklem sisteminin çözümleri:

x = -3, y = 2, z = 4.

Yani:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

Egzersiz 3

V1 = (1, 0, -1, 2) vektörlerinin ; v2 = (1, 1, 0, 1) ve v3 = (2, 1, -1, 1) R⁴ doğrusal olarak bağımsızdır.

Çözüm

Biz doğrusal üç vektörler birleştirmek v1 , v2 , v3 kombinasyonu R⁴ sıfır elemanı eklediği ve talep

bir v1 + b v2 + c v3 = 0

Demek ki,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Bu bizi aşağıdaki denklem sistemine götürür:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Birinci ve dördüncüyü çıkarırsak: -a + c = 0 a = c anlamına gelir.

Ancak üçüncü denkleme bakarsak, a = -c'ye sahibiz. A = c = (- c) 'nin tutmasının tek yolu c'nin 0 olmasıdır ve bu nedenle a da 0 olacaktır.

a = c = 0

Bu sonucu ilk denkleme koyarsak, b = 0 olduğu sonucuna varırız.

Son olarak a = b = c = 0, böylece v1, v2 ve v3 vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olduğu sonucuna varılabilir.

Referanslar

1. Lipschutz, S. 1993. Doğrusal cebir. İkinci baskı. McGraw-Hill. 167-198.