BAĞIMSIZ OLAYLAR: GÖSTERI, ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - DUDAS - 2026

İki olay bağımsızdır , bu olaylardan birinin meydana gelme olasılığı, diğerinin meydana gelmesinden veya meydana gelmemesinden etkilenmediğinde, bu olayların rastgele meydana geldiği düşünülürse.

Bu durum, 1. olayın sonucunu oluşturan süreç, 2. olayın olası sonuçlarının olasılığını hiçbir şekilde değiştirmediğinde ortaya çıkar. Ancak bu olmazsa, olayların bağımlı olduğu söylenir.

Şekil 1. Renkli mermerler, bağımsız olayların olasılığını açıklamak için sıklıkla kullanılır. Kaynak: Pixabay.

Bağımsız bir olay durumu şu şekildedir: Biri mavi, diğeri pembe olmak üzere altı yüzlü iki zar atıldığını varsayalım. Bir 1'in mavi kalıp üzerinde yuvarlanma olasılığı, pembe kalıp üzerinde bir 1'in yuvarlanması veya yuvarlanmaması olasılığından bağımsızdır.

İki bağımsız olayın bir başka durumu da, bir bozuk parayı iki kez arka arkaya atmaktır. İlk atışın sonucu ikincinin sonucuna bağlı olmayacaktır ve bunun tersi de geçerlidir.

İki bağımsız olayın kanıtı

İki olayın bağımsız olduğunu doğrulamak için, bir olayın diğerine göre koşullu olasılığı kavramını tanımlayacağız. Bunun için özel etkinlikler ile kapsayıcı etkinlikler arasında ayrım yapmak gerekir:

A olayının olası değerleri veya öğeleri, B olayının değerleri veya öğeleriyle ortak hiçbir şeye sahip değilse, iki olay özeldir.

Bu nedenle, iki özel olayda, A'nın B ile kesişme noktası boşluktur:

Olaylar hariç: A∩B = Ø

Aksine, olaylar kapsayıcıysa, A olayının bir sonucu da başka bir B'ninkiyle çakışabilir, A ve B farklı olaylar olabilir. Bu durumda:

Kapsayıcı etkinlikler: A∩B ≠ Ø

Bu, bizi iki kapsayıcı olayın koşullu olasılığını, başka bir deyişle, B olayı meydana geldiğinde A olayının meydana gelme olasılığını tanımlamaya götürür:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Bu nedenle, koşullu olasılık, A ve B'nin oluşma olasılığının, B'nin oluşma olasılığına bölünmesiyle elde edilir. B'nin, A'ya bağlı olarak oluşma olasılığı da tanımlanabilir:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

İki olayın bağımsız olup olmadığını bilmek için kriterler

Daha sonra, iki olayın bağımsız olup olmadığını bilmek için üç kriter vereceğiz. Olayların bağımsızlığının gösterilmesi için üçünden birinin yerine getirilmesi yeterlidir.

1.- B'nin meydana geldiği her zaman A'nın meydana gelme olasılığı, A'nın olasılığına eşitse, bunlar bağımsız olaylardır:

P (A¦B) = P (A) => A, B'den bağımsızdır

2.- A'da B'nin oluşma olasılığı B'nin olasılığına eşitse, bağımsız olaylar vardır:

P (B¦A) = P (B) => B, A'dan bağımsızdır

3.- A ve B'nin oluşma olasılığı, A'nın oluşma olasılığı ile B'nin oluşma olasılığının çarpımına eşitse, bunlar bağımsız olaylardır. Sohbet de doğrudur.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A ve B bağımsız olaylardır.

Bağımsız olay örnekleri

İki farklı tedarikçi tarafından üretilen kauçuk tabanlar karşılaştırılmıştır. Her üreticiden alınan numuneler, spesifikasyonlar dahilinde olup olmadıklarına karar verilen birkaç teste tabi tutulur.

Şekil 2. Çeşitli kauçuk tabanlar. Kaynak: Pixabay.

252 numunenin sonuç özeti aşağıdaki gibidir:

Üretici 1; 160 spesifikasyonları karşılıyor; 8 spesifikasyonları karşılamıyor.

Üretici 2; 80 spesifikasyonları karşılıyor; 4 spesifikasyonları karşılamıyor.

Olay A: "örnek üretici 1'den alınmıştır".

Olay B: "örneğin spesifikasyonları karşılaması."

Önceki bölümde bahsedilen üç kriterden birini uyguladığımız bu A ve B olaylarının bağımsız olup olmadığını bilmek istiyoruz.

Kriter: P (B¦A) = P (B) => B, A'dan bağımsızdır

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Sonuç: Olaylar A ve B bağımsızdır.

C olayını varsayalım: "örnek üretici 2'den geliyor"

B olayı C olayından bağımsız olacak mı?

Kriterlerden birini uyguluyoruz.

Kriter: P (B¦C) = P (B) => B, C'den bağımsızdır

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Bu nedenle, mevcut verilere göre, rastgele seçilen bir kauçuk tabanın spesifikasyonları karşılama olasılığı üreticiden bağımsızdır.

Bağımsız Bir Etkinliği Bağımlı Bir Etkinliğe Dönüştürme

Bağımlı ve bağımsız olayları ayırt etmek için aşağıdaki örneğe bakalım.

İki beyaz çikolata ve iki siyah top olan bir çantamız var. İlk denemede beyaz top veya siyah top alma olasılığı eşittir.

Sonucun bir isteka topu olduğunu varsayalım. Çekilen top çantada değiştirilirse, orijinal durum tekrarlanır: iki beyaz top ve iki siyah top.

Yani ikinci bir müsabaka veya çekilişte, bir beyaz top veya siyah top çekme şansı ilk seferdeki ile aynıdır. Bu nedenle bağımsız olaylardır.

Ancak ilk yarışmada çekilen beyaz bilardo topu, onu yediğimiz için değiştirilmezse, ikinci çekilişte siyah top çekme şansı daha yüksektir. İkinci bir ekstraksiyonun tekrar beyaz elde etme olasılığı, ilk olayınkinden farklıdır ve önceki sonuç tarafından koşullandırılmıştır.

Egzersizler

- 1. Egzersiz

Şekil 1'in 2'si yeşil, 4'ü mavi ve 4'ü beyaz olmak üzere 10 bilyeyi bir kutuya koyduk. Biri önce biri sonra olmak üzere rastgele iki bilye seçilecektir.
Aşağıdaki koşullar altında hiçbirinin mavi olmama olasılığının bulunması istenir :

a) Değiştirme ile yani ilk bilyeyi ikinci seçimden önce kutuya iade etmek. Bağımsız mı yoksa bağımlı olaylar mı olduklarını belirtin.

b) Değiştirilmeden, çıkarılan ilk bilye, ikinci seleksiyon yapılırken kutunun dışında kalacak şekilde. Benzer şekilde, bunların bağımlı mı yoksa bağımsız mı olduğunu belirtin.

Çözüm

Çıkarılan ilk bilyenin mavi olmama olasılığını, yani 1 eksi mavi P (A) olma olasılığını veya yeşil veya beyaz çıktığı için doğrudan mavi olmama olasılığını hesaplıyoruz:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (mavi olma) = 1 - (2/5) = 3/5

Peki:

P (yeşil veya beyaz) = 6/10 = 3/5.

Çıkarılan mermer iade edilirse her şey eskisi gibidir. Bu ikinci çekilişte çekilen bilyenin mavi olmaması da 3/5 olasılıktır.

P (mavi değil, mavi değil) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Çıkarılan bilye kutuya iade edildiğinden ve ilk olay ikincinin oluşma olasılığını etkilemediği için olaylar bağımsızdır.

Çözüm b

İlk ekstraksiyon için önceki bölümdeki gibi devam edin. Mavi olmama olasılığı 3 / 5'tir.

İkinci ekstraksiyon için, çantada 9 bilye var, çünkü ilki geri dönmedi, ancak mavi değildi, bu nedenle çantada 9 mermer var ve mavi değil 5:

P (yeşil veya beyaz) = 5/9.

P (hiçbiri mavi değildir) = P (önce mavi değil). P (ikinci mavi değil / ilk mavi değil) = (3/5). (5/9) = 1/3

Bu durumda, birinci olay ikinciyi koşullandırdığı için bağımsız olaylar değildir.

- Egzersiz 2

Bir mağazada üç bedende 15 gömlek bulunur: 3 küçük, 6 orta ve 6 büyük. 2 gömlek rastgele seçilir.

a) Biri önce alınırsa ve partide bir başkası değiştirilmeden alınırsa, seçilen her iki gömleğin de küçük olma olasılığı nedir?

b) Seçilen her iki gömleğin de küçük olması, ilk önce biri çekilirse, partide değiştirilir ve ikincisi çıkarılırsa olasılığı nedir?

Çözüm

İşte iki olay:

Olay A: seçilen ilk forma küçük

Etkinlik B: ikinci seçilen forma küçük

A olayının meydana gelme olasılığı: P (A) = 3/15

B olayının meydana gelme olasılığı: P (B) = 2/14, çünkü bir gömlek zaten çıkarılmıştı (14 kaldı), ancak ek olarak, A olayı yerine getirilmek isteniyorsa, ilk çıkarılan gömlek küçük olmalı ve bu nedenle ikisi de 2 küçük.

Yani, A ve B'nin olasılıkların ürünü olma olasılığı şöyledir:

P (A ve B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

Bu nedenle, A ve B olayının meydana gelme olasılığı, A olayının meydana gelme olasılığı çarpı, A olayı durumunda B olayının meydana gelmesi olasılığının çarpımına eşittir.

Bu not alınmalı:

P (B¦A) = 2/14

A olayının olup olmadığına bakılmaksızın B olayının meydana gelme olasılığı şu şekilde olacaktır:

İlk küçükse P (B) = (2/14) veya ilk küçük değilse P (B) = 3/14.

Genel olarak şu sonuçlara varılabilir:

P (B¦A) eşit değildir P (B) => B, A'dan bağımsız değildir

Çözüm b

Yine iki olay var:

Olay A: seçilen ilk forma küçük

Etkinlik B: ikinci seçilen forma küçük

P (A) = 3/15

Sonuç ne olursa olsun, partiden çekilen gömlek değiştirilir ve yine rastgele bir gömlek çekilir. A olayı meydana gelirse, B olayının meydana gelme olasılığı:

P (B¦A) = 3/15

A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı:

P (A ve B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0.04

Bunu not et:

P (B¦A) eşittir P (B) => B, A'dan bağımsızdır.

- Egzersiz 3

A ve B olmak üzere iki bağımsız olayı ele alalım. A olayının meydana gelme olasılığının 0.2 ve B olayının oluşma olasılığının 0.3 olduğu bilinmektedir. Her iki olayın da meydana gelme olasılığı nedir?

2.Çözüm

Olayların bağımsız olduğunu bilerek, her iki olayın da meydana gelme olasılığının bireysel olasılıkların ürünü olduğu bilinmektedir. Demek ki,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.2 * 0.3 = 0.06

Bunun, her olayın diğerinin sonucuna bakılmaksızın meydana gelme olasılığından çok daha düşük bir olasılık olduğuna dikkat edin. Veya başka bir deyişle, bireysel oranlardan çok daha düşük.

Referanslar

1. Berenson, M. 1985. Yönetim ve ekonomi için istatistik. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Enstitüsü. Bağımsız olayların olasılığı. Monterreyinstitute.org'dan kurtarıldı
3. Matematik öğretmeni. Bağımsız olaylar. Youtube.com adresinden kurtarıldı
4. Superprof. Olay türleri, bağımlı olaylar. Kurtarıldığı kaynak: superprof.es
5. Sanal öğretmen. Olasılık. Vitutor.net'ten kurtarıldı
6. Vikipedi. Bağımsızlık (olasılık). Wikipedia.com adresinden kurtarıldı