TERIMLERIN GRUPLANDIRILMASINA GÖRE ORTAK FAKTÖR: ÖRNEKLER, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Terimlerin gruplayarak ortak faktör Eğer faktörlerin şeklinde bazı cebirsel ifadeleri yazmak için izin veren bir cebirsel işlemdir. Bu amaca ulaşmak için, önce ifadeyi uygun şekilde gruplandırmalı ve bu şekilde oluşturulan her grubun aslında ortak bir faktöre sahip olduğunu gözlemlemelisiniz.

Tekniği doğru şekilde uygulamak biraz pratik gerektirir, ancak hiçbir zaman ustalaşamazsınız. Önce adım adım açıklanan açıklayıcı bir örneğe bakalım. Daha sonra okuyucu öğrendiklerini daha sonra ortaya çıkacak alıştırmaların her birinde uygulayabilir.

Şekil 1. Terimleri gruplayarak ortak bir çarpan almak cebirsel ifadelerle çalışmayı kolaylaştırır. Kaynak: Pixabay.

Örneğin, aşağıdaki ifadeyi çarpanlarına ayırmanız gerektiğini varsayalım:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Bu cebirsel ifade, + ve - işaretleriyle ayrılmış 4 tek terim veya terimden oluşur, yani:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Yakından bakıldığında, x ilk üç için ortaktır, ancak sonuncusu değil, y ikinci ve dördüncü için ortaktır ve z üçüncü ve dördüncü için ortaktır.

Yani prensipte dört terim için aynı anda ortak bir faktör yoktur, ancak bir sonraki bölümde gösterileceği gibi gruplanırlarsa, ifadeyi iki veya daha fazla terimin ürünü olarak yazmaya yardımcı olan birinin görünmesi mümkündür. faktörler.

Örnekler

İfadeyi çarpanlara ayırın : 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Adım 1 : Gruplama

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Adım 2: Her grubun ortak faktörünü bulun

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Ben mportant : eksi işareti de dikkate alınmalıdır ortak bir faktördür.

Şimdi, parantezlerin (x + y) gruplama ile elde edilen iki terimde tekrarlandığına dikkat edin. Aranan ortak faktör budur.

3. Adım: Tüm ifadeyi çarpanlara ayırın

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Önceki sonuçla, çarpanlara ayırma amacına ulaşılmıştır; bu, terimlerin toplanması ve çıkarılmasına dayanan bir cebirsel ifadeyi örneğimizde iki veya daha fazla faktörün ürününe dönüştürmekten başka bir şey değildir: (x + y) ve (2x - 3z).

Gruplandırarak ortak faktör hakkında önemli sorular

Soru 1 : Sonucun doğru olduğunu nasıl anlarım?

Cevap : Dağılım özelliği elde edilen sonuca uygulanır ve bu şekilde elde edilen ifade, indirgeme ve sadeleştirmeden sonra orijinaliyle eşleşmelidir, yoksa bir hata vardır.

Önceki örnekte, doğru olup olmadığını kontrol etmek için sonuçla tersine çalışıyoruz:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Eklerin sırası toplamı değiştirmediğinden, dağıtım özelliği uygulandıktan sonra tüm orijinal terimler iade edilir, işaretler dahil edilir, bu nedenle çarpanlara ayırma doğrudur.

Soru 2: Başka bir şekilde gruplanmış olabilir mi?

Cevap: Birden fazla gruplama biçimine izin veren cebirsel ifadeler ve izin vermeyen diğerleri vardır. Seçilen örnekte, okuyucu diğer olasılıkları kendi başına deneyebilir, örneğin şu şekilde gruplama:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Ve sonucun burada elde edilenle aynı olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. En uygun gruplamayı bulmak bir pratik meselesidir.

Soru 3: Cebirsel bir ifadeden ortak bir faktör almak neden gereklidir?

Cevap : Çünkü faktörlü ifadenin hesaplamaları kolaylaştırdığı uygulamalar var. Örneğin, 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy'yi 0'a eşitlemek istediğinizi varsayalım . Olasılıklar nelerdir?

Bu soruyu cevaplamak için faktörlü versiyon, bakımdan orijinal geliştirmeden çok daha kullanışlıdır. Şöyle belirtilir:

(x + y) (2x - 3z) = 0

İfadenin 0 değerinde olma olasılığından biri, z'nin değerine bakılmaksızın x = -y'dir. Diğeri ise y'nin değerine bakılmaksızın x = (3/2) z'dir.

Egzersizler

- 1. Egzersiz

Aşağıdaki ifadenin ortak faktörünü terimleri gruplayarak çıkarın:

ax + ay + bx + yazan

Çözüm

İlk ikisi ortak faktör "a" ve son ikisi ortak faktör "b" ile gruplandırılmıştır:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Bu yapıldıktan sonra, (x + y) olan yeni bir ortak faktör ortaya çıkar, böylece:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Gruplamanın başka bir yolu

Bu ifade başka bir gruplama yöntemini destekler. Bakalım, terimler yeniden düzenlenirse ve x içerenler ve y içerenler ile bir grup oluşturulursa ne olur:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Bu şekilde, yeni ortak faktör (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Bu da test edilen ilk gruplamadan aynı sonuca götürür.

- Egzersiz 2

Aşağıdaki cebirsel ifadenin iki faktörün ürünü olarak yazılması gerekmektedir:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Çözüm

Bu ifade 6 terim içerir. Birinci ve dördüncü, ikinci ve üçüncü ve son olarak beşinci ve altıncıyı gruplandırmayı deneyelim:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Şimdi her parantez çarpanlarına ayrılmıştır:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

İlk bakışta durum karmaşık görünüyor, ancak son terimi yeniden yazacağımız için okuyucunun cesareti kırılmamalıdır:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Son iki terimin artık ortak bir faktörü var, bu da (3b-a), yani çarpanlarına ayrılabilirler. İlk terim olan a ^2'yi (3a - 1) gözden kaçırmamak çok önemlidir, bu terimle çalışmıyor olsanız bile ek olarak her şeye eşlik etmeye devam etmesi gerekir:

bir ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

İfade iki terime indirgenmiştir ve sonuncusunda "b" olan yeni bir ortak faktör keşfedilmiştir. Şimdi kalır:

bir ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Görünecek bir sonraki ortak faktör 3a - 1'dir:

bir ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Veya parantez olmadan tercih ederseniz:

(3a - 1) = (3a - 1) (bir ² –ab + 3b ² )

Okuyucu, aynı sonuca götüren başka bir gruplama yolu bulabilir mi?

Şekil 2. Önerilen faktoring çalışmaları. Kaynak: F. Zapata.

Referanslar

1. Baldor, A. 1974. Elementary Cebir. Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
3. Faktoringin ana durumları. Julioprofe.net adresinden kurtarıldı.
4. UNAM. Temel Matematik: Terimlerin gruplanmasıyla çarpanlara ayırma. Muhasebe ve Yönetim Fakültesi.
5. Zill, D. 1984. Cebir ve Trigonometri. MacGraw Hill.