FAKTORING: YÖNTEMLER VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Çarpanlara bir polinom numaraları veya harfler veya her ikisi de olabilir çarpım faktörü olarak ifade edildiği bir yöntemdir. Çarpanlara ayırmak için, terimlerde ortak olan faktörler birlikte gruplandırılır ve bu şekilde polinom, birkaç polinomlara ayrıştırılır.

Bu nedenle, faktörler birlikte çarpıldığında, sonuç orijinal polinomdur. Faktoring, cebirsel ifadeleriniz olduğunda çok kullanışlı bir yöntemdir, çünkü birkaç basit terimin çarpımına dönüştürülebilir; örneğin: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Bir polinomun çarpanlarına ayrılamayacağı durumlar vardır çünkü terimleri arasında ortak bir faktör yoktur; bu nedenle, bu cebirsel ifadeler yalnızca kendilerine ve 1'e bölünebilir. Örneğin: x + y + z.

Cebirsel bir ifadede, ortak faktör, onu oluşturan terimlerin en büyük ortak bölenidir.

Faktoring yöntemleri

Vakaya bağlı olarak uygulanan birkaç faktoring yöntemi vardır. Bunlardan bazıları aşağıdaki gibidir:

Ortak faktöre göre faktoring

Bu yöntemde ortak olan faktörler belirlenir; yani, ifade açısından tekrarlananlar. Daha sonra dağıtım özelliği uygulanır, en büyük ortak bölen alınır ve faktoring işlemi tamamlanır.

Başka bir deyişle, ifadenin ortak faktörü tanımlanır ve her terim ona bölünür; Ortaya çıkan terimler, çarpanlara ayırmayı ifade etmek için en büyük ortak bölenle çarpılacaktır.

örnek 1

Faktör (b ² x) + (b ² y).

Çözüm

Önce her terimin ortak faktörünü bulursunuz, bu durumda b ^2'dir ve ardından terimleri aşağıdaki gibi ortak faktöre bölersiniz:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Çarpanlara ayırma, ortak faktörü ortaya çıkan terimlerle çarparak ifade edilir:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Örnek 2

Faktör (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Çözüm

Bu durumda, her terimde tekrarlanan "a" ve "b" olan ve bir kuvvete yükseltilen iki faktörümüz var. Bunları çarpanlarına ayırmak için, iki terim önce uzun biçimlerinde ayrıştırılır:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

İkinci terimde "a" faktörünün yalnızca bir kez tekrarlandığı ve bunda "b" faktörünün iki kez tekrarlandığı görülebilir; yani ilk terimde geriye sadece 2, bir "a" faktörü ve bir "b" faktörü kalır; ikinci dönemde ise geriye sadece 3 kişi kaldı.

Bu nedenle, "a" ve "b" nin tekrarlandığı zamanlar, resimde gösterildiği gibi, her terimden kalan faktörlerle yazılır ve çarpılır:

Gruplama faktoringi

Her durumda bir polinomun en büyük ortak böleni açıkça ifade edilmediği için, polinomu ve dolayısıyla faktörü yeniden yazabilmek için başka adımlar atılması gerekir.

Bu adımlardan biri, polinom terimlerini birkaç gruba ayırmak ve ardından ortak faktör yöntemini kullanmaktır.

örnek 1

Ac + bc + ad + bd faktörü.

Çözüm

İkisinin ortak olduğu 4 faktör vardır: ilk terimde "c" ve ikincisinde "d" dir. Bu şekilde iki terim gruplandırılır ve ayrılır:

(ac + bc) + (reklam + bd).

Şimdi, her terimi ortak faktörüne bölerek ve ardından bu ortak faktörü ortaya çıkan terimlerle çarparak, aşağıdaki gibi ortak faktör yöntemini uygulamak mümkündür:

(ac + bc) / c = a + b

(reklam + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Şimdi her iki terim için ortak olan bir iki terimli elde ederiz. Çarpanlarına ayırmak için, kalan faktörlerle çarpılır; bu şekilde yapmalısın:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Muayene faktoringi

Bu yöntem, üç terimli olarak da adlandırılan kuadratik polinomları çarpanlarına ayırmak için kullanılır; yani "a" değerinin 1'den farklı olduğu eksen ² ± bx + c olarak yapılandırılanlar . Bu yöntem, üç terimli x ² ± bx + c biçimine ve "a" değerine sahip olduğunda da kullanılır. = 1.

örnek 1

Faktör x ² + 5x + 6.

Çözüm

X ² ± bx + c şeklinde ikinci dereceden bir üç terimimiz var . Çarpanlarına ayırmak için, çarpıldığında, sonuç olarak "c" değerini (yani 6) veren ve toplamları 5 olan "b" katsayısına eşit olan iki sayı bulmalısınız. Bu sayılar 2 ve 3'tür. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Bu şekilde ifade şu şekilde basitleştirilir:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Her terim faktörlere ayrılmıştır:

- (x ² + 2x) için ortak terim alınır: x (x + 2)

- (3x + 6) = 3 (x + 2) için

Dolayısıyla ifade şu şekildedir:

x (x +2) + 3 (x +2).

Ortak bir iki terimimiz olduğu için, ifadeyi azaltmak için bunu kalan terimlerle çarpıyoruz ve şunları yapmalıyız:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Örnek 2

Faktör 4a ² + 12a + 9 = 0.

Çözüm

Bunu çarpanlarına ayırmak için ax ² ± bx + cy biçiminde ikinci dereceden bir üç terimimiz var , tüm ifadeyi x ² katsayısı ile çarpın ; bu durumda, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 bir ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² bir ² + 12a (4) + 36 = 0

Şimdi, birbiriyle çarpıldığında, sonuç olarak "c" değerini (36 olan) veren ve bir araya toplandığında 6 olan "a" teriminin katsayısını veren iki sayı bulmalıyız.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Bu şekilde 4 ² a ² = 4a _* 4a dikkate alınarak ifade yeniden yazılır . Bu nedenle, dağıtım özelliği her terim için geçerlidir:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Son olarak, ifade ² katsayısına bölünür ; yani, 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

İfade aşağıdaki gibidir:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Önemli ürünlerle faktoring

Polinomları yukarıdaki yöntemlerle tamamen çarpanlara ayırmanın çok uzun bir süreç haline geldiği durumlar vardır.

Bu nedenle dikkat çeken ürünlerin formülleri ile bir ifade geliştirilebilir ve böylece süreç daha basit hale gelir. En çok kullanılan dikkate değer ürünler arasında:

- İki karenin farkı: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Bir toplamın tam karesi: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Farkın mükemmel karesi: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- İki küpün farkı: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- İki küpün toplamı: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

örnek 1

Faktör (5 ² - x ² )

Çözüm

Bu durumda iki kareden oluşan bir fark vardır; bu nedenle dikkate değer ürün formülü geçerlidir:

(bir ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Örnek 2

Faktör 16x ² + 40x + 25 ²

Çözüm

Bu durumda, bir toplamın tam karesine sahip olursunuz, çünkü iki terimin karesini tanımlayabilirsiniz ve kalan terim, ikiyi birinci terimin karekökü ile ikinci terimin karekökü ile çarpmanın sonucudur.

bir ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Yalnızca birinci ve üçüncü terimlerin kareköklerini çarpanlarına ayırmak için hesaplanır:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Daha sonra ortaya çıkan iki terim, işlemin işaretiyle ayrılmış olarak ifade edilir ve tüm polinomun karesi alınır:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Örnek 3

Faktör 27a ³ - b ³

Çözüm

İfade, iki faktörün küp şeklinde olduğu bir çıkarmayı temsil eder. Bunları çarpanlara ayırmak için, küp farkının dikkate değer ürününün formülü uygulanır, bu:

bir ³ - b ³ = (ab) _* (bir ² + ab + b ² )

Böylece, çarpanlara ayırmak için, iki terimli terimin her bir teriminin küp kökü alınır ve birinci terimin karesi artı birinci terimin çarpımı ile ikinci terimin karesi artı ikinci terimin karesi ile çarpılır.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Ruffini kuralı ile faktoring

Bu yöntem, ifadeyi daha düşük dereceli birkaç polinom için basitleştirmek için ikiden büyük bir derece polinomuna sahip olduğunuzda kullanılır.

örnek 1

Çarpan Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Çözüm

Önce bağımsız terim olan 12'nin bölenleri olan sayıları ararız; Bunlar ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ve ± 12'dir.

Daha sonra x, en düşükten en yükseğe bu değerlerle değiştirilir ve böylelikle bölünmenin hangi değerlerle kesin olacağı belirlenir; diğer bir deyişle, kalan 0 olmalıdır:

x = -1

Q, (1) = (1) ⁴ - 9 (1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q, (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q, (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Ve böylece her bölen için. Bu durumda, bulunan faktörler x = -1 ve x = 2 içindir.

Şimdi, ifadenin katsayılarının, bölmenin kesin olması için bulunan faktörlere bölüneceği, Ruffini yöntemi uygulandı. Polinom terimler en yüksekten en düşüğe doğru sıralanır; dizide bir sonraki dereceye sahip bir terimin eksik olması durumunda, onun yerine bir 0 yerleştirilir.

Katsayılar, aşağıdaki resimde gösterildiği gibi bir şemada bulunur.

İlk katsayı azaltılır ve bölen ile çarpılır. Bu durumda, birinci bölen -1'dir ve sonuç bir sonraki sütuna yerleştirilir. Daha sonra elde edilen sonuç ile katsayının değeri dikey olarak eklenir ve sonuç aşağıya yerleştirilir. Bu şekilde işlem son sütuna kadar tekrar edilir.

Daha sonra aynı prosedür tekrarlanır, ancak ikinci bölenle (ki bu 2'dir) çünkü ifade hala basitleştirilebilir.

Böylece, elde edilen her kök için polinom bir (x - a) terimine sahip olacaktır, burada "a" kökün değeridir:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Öte yandan, bu terimler, bir dereceyi temsil eden faktörler olan Ruffini'nin 1: 1 ve -6 kuralının geri kalanıyla çarpılmalıdır. Bu şekilde oluşan ifade: (x ² + x - 6).

Polinomun, Ruffini yöntemi ile çarpanlara ayrılması sonucunu elde etmek:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Son olarak, önceki ifadede görünen derece 2 polinomu (x + 3) (x-2) olarak yeniden yazılabilir. Bu nedenle, son çarpanlara ayırma şudur:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Referanslar

1. Arthur Goodman, LH (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Çocuklara Polinomu Çarpanlarına Ayırmayı Öğretme
3. Manuel Morillo, AS (sf). Uygulamalar ile Temel Matematik.
4. Roelse, PL (1997). Sonlu alanlar üzerinde polinom çarpanlarına ayırma için doğrusal yöntemler: teori ve uygulamalar. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Halkalar ve Çarpanlara Ayırma.