KISMI KESIRLER: VAKALAR VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Kısmi fraksiyonlar payda ilave olarak, bir doğrusal ya da ikinci dereceden polinom olabilir ve burada polinom ile oluşturulan fraksiyonları, bu belli bir güce yükseltilebilir. Bazen rasyonel işlevlere sahip olduğumuzda, bu işlevi kısmi kesirler veya basit kesirler toplamı olarak yeniden yazmak çok yararlıdır.

Bu böyledir çünkü bu şekilde, özellikle söz konusu uygulamayı entegre etmenin gerekli olduğu durumlarda, bu işlevleri daha iyi bir şekilde yönetebiliriz. Rasyonel bir fonksiyon basitçe iki polinom arasındaki bölümdür ve uygun veya uygunsuz olabilirler.

Payın polinomunun derecesi paydadan küçükse, buna rasyonel uygun işlev denir; aksi takdirde, uygunsuz bir rasyonel işlev olarak bilinir.

Tanım

Uygun olmayan bir rasyonel fonksiyonumuz olduğunda, payın polinomunu paydanın polinomuna bölebilir ve böylelikle p (x) / q (x) kesirini t (x) + s (x) / olarak bölme algoritmasını izleyerek yeniden yazabiliriz. q (x), burada t (x) bir polinomdur ve s (x) / q (x) uygun bir rasyonel fonksiyondur.

Kısmi bir kesir, paydası (ax + b) ⁿ veya (ax ² + bx + c) ⁿ biçiminde olan polinomların herhangi bir uygun işlevidir , eğer polinom eksen ² + bx + c gerçek köklere sahip değilse ve n bir sayı ise doğal.

Kısmi kesirlerdeki rasyonel bir işlevi yeniden yazmak için yapılacak ilk şey, paydayı q (x) doğrusal ve / veya ikinci dereceden faktörlerin bir ürünü olarak çarpanlarına ayırmaktır. Bu yapıldıktan sonra, bu faktörlerin doğasına bağlı olarak kısmi kesirler belirlenir.

Kılıflar

Birkaç vakayı ayrı ayrı ele alıyoruz.

Dava 1

Q (x) faktörlerinin tümü doğrusaldır ve hiçbiri tekrarlanmaz. Demek ki:

q (x) = (bir ₁ x + b ₁ ) (bir ₂ x + b ₂ )… (bir _s x + b _s )

Doğrusal faktör bir diğeriyle aynı değildir. Bu durum ortaya çıktığında şunu yazacağız:

p (x) / q (x) = A ₁ / (bir ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (bir ₂ x + b ₂ )… + A _s / (bir _s x + b _s ).

Burada A ₁ , A ₂ ,…, A _s bulunacak sabitlerdir.

Misal

Rasyonel işlevi basit kesirlere ayırmak istiyoruz:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Paydayı çarpanlarına ayırmaya devam ediyoruz, yani:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Sonra:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

En az ortak çarpanı uygulayarak şu elde edilebilir:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Her bir terimi iptal eden kökleri ikame ederek bulunabilen A, B ve C sabitlerinin değerlerini elde etmek istiyoruz. Elimizde x yerine 0 koyarsak:

0-1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Yerine koyma - x yerine 1 elimizde:

- 1-1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

İkame - x yerine 2'ye sahibiz:

- 2-1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Bu şekilde A = –1/2, B = 2 ve C = –3/2 değerleri elde edilir.

A, B ve C değerlerini elde etmenin başka bir yöntemi daha var.Eğer denklemin sağ tarafında x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x terimleri birleştiririz, elimizde:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Bu bir polinom eşitliği olduğundan, sol taraftaki katsayıların sağ taraftakilere eşit olması gerektiğine sahibiz. Bu, aşağıdaki denklem sistemi ile sonuçlanır:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Bu denklem sistemini çözerek, A = -1/2, B = 2 ve C = -3/2 sonuçlarını elde ederiz.

Son olarak, elde edilen değerleri ikame ederek şuna sahibiz:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Durum 2

Q (x) faktörlerinin tümü doğrusaldır ve bazıları tekrarlanır. (Ax + b) 'nin "s" kez tekrar eden bir faktör olduğunu varsayalım; daha sonra, bu faktöre, kısmi kesirlerin toplamına karşılık gelir.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Burada A _s , A _s-1 ,…, A ₁ belirlenecek sabitlerdir. Aşağıdaki örnekle bu sabitlerin nasıl belirleneceğini göstereceğiz.

Misal

Kısmi kesirlere ayrıştırın:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Rasyonel işlevi, aşağıdaki gibi kısmi kesirlerin toplamı olarak yazıyoruz:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Sonra:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

X yerine 2 koyarsak, bizde:

7 = 4C, yani C = 7/4.

Elimizde x yerine 0 koyarsak:

- 1 = –8A veya A = 1/8.

Bu değerleri önceki denklemde değiştirip geliştirerek, şunlara sahibiz:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ör ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Katsayıları eşitleyerek, aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Sistemi çözerken:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Bunun için yapmalıyız:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Durum 3

Q (x) faktörleri, tekrarlanan ikinci dereceden faktörler olmaksızın doğrusal ikinci derecedentir. Bu durumda, ikinci dereceden faktör (ax ² + bx + c) kısmi kesire (Ax + B) / (ax ² + bx + c) karşılık gelecektir , burada A ve B sabitleri belirleneceklerdir.

Aşağıdaki örnek, bu durumda nasıl devam edileceğini gösterir

Misal

Basit kesirler a (x + 1) / (x ³ - 1) olarak ayrıştırın .

Önce paydayı çarpanlarına ayırmaya devam ediyoruz, bu da bize sonuç olarak şunu verir:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

(X ² + x + 1) 'in indirgenemez kuadratik bir polinom olduğunu gözlemleyebiliriz ; yani gerçek kökleri yoktur. Kısmi kesirlere ayrışması aşağıdaki gibi olacaktır:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Bundan aşağıdaki denklemi elde ederiz:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Polinomların eşitliğini kullanarak aşağıdaki sistemi elde ederiz:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Bu sistemden A = 2/3, B = - 2/3 ve C = 1 / 3'e sahibiz. İkame edersek, bizde:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Durum 4

Son olarak, durum 4, q (x) faktörlerinin doğrusal ve ikinci dereceden olduğu, bazı doğrusal ikinci dereceden faktörlerin tekrarlandığı durumdur.

Bu durumda, (ax ² + bx + c) "s" kez tekrar eden ikinci dereceden bir faktörse, faktöre (ax ² + bx + c) karşılık gelen kısmi kesir :

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

Burada A _s , A _s-1 ,…, A ve B _s , B _s-1 ,…, B belirlenecek sabitlerdir.

Misal

Aşağıdaki rasyonel işlevi kısmi kesirlere ayırmak istiyoruz:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

X ² - 4x + 5 indirgenemez ikinci dereceden bir faktör olduğundan, kısmi kesirlere ayrışmasının şu şekilde verildiğine sahibiz:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Basitleştirme ve geliştirme, bizde:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Yukarıdakilerden aşağıdaki denklem sistemine sahibiz:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Sistemi çözerken şunlarla karşı karşıyayız:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ve E = - 3/5.

Elde edilen değerleri ikame ederek:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Uygulamalar

Integral hesabı

Kısmi kesirler esas olarak integral hesabı çalışması için kullanılır. Kısmi kesirler kullanarak integrallerin nasıl gerçekleştirileceğine dair bazı örnekler.

örnek 1

Aşağıdakilerin integralini hesaplamak istiyoruz:

Q (x) = (t + 2) ² (t + 1) paydasının , bunlardan birinin tekrarlandığı doğrusal faktörlerden oluştuğunu görebiliriz; Bu yüzden 2. durumdayız.

Zorundayız:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Denklemi yeniden yazıyoruz ve elimizde:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

T = - 1 ise, bizde:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

T = - 2 ise bize şunu verir:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

O halde, t = 0 ise:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

A ve C değerlerini ikame ederek:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Yukarıdakilerden B = - 1 var.

İntegrali şu şekilde yeniden yazıyoruz:

İkame yöntemiyle çözmeye devam ediyoruz:

Sonuç şu:

Örnek 2

Aşağıdaki integrali çözün:

Bu durumda, faktör olabilir akıcı (x) = ² - 4 q (x) = (x - 2) (x + 2). Açıkça 1. durumdayız. Bu nedenle:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Aynı zamanda şu şekilde de ifade edilebilir:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

X = - 2 ise, elimizde:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Ve x = 2 ise:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Böylece, verilen integralin çözülmesinin çözülmeye eşdeğer olduğunu çözmemiz kaldı:

Bu bize sonuç olarak şunu verir:

Örnek 3

İntegrali çözün:

Q (x) = 9x ⁴ + x ^2'ye sahibiz, bunu q (x) = x ² (9x ² + 1) olarak çarpanlarına ayırabiliriz .

Bu sefer tekrarlanan bir doğrusal faktör ve ikinci dereceden bir faktörümüz var; yani 3. durumdayız.

Zorundayız:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Eşit polinomları gruplama ve kullanma, elimizde:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Bu denklem sisteminden elimizde:

D = - 9 ve C = 0

Bu şekilde elimizde:

Yukarıdakileri çözerek şunları elde ederiz:

Kitle eylem yasası

İntegral hesabına uygulanan kısmi kesirlerin ilginç bir uygulaması kimyada, daha kesin olarak kütle hareketi yasasında bulunur.

Diyelim ki, C miktarının zamana göre türevi, herhangi bir zamanda A ve B miktarlarının çarpımı ile orantılı olacak şekilde, bir araya gelen ve bir C maddesini oluşturan A ve B olmak üzere iki maddemiz var.

Kitle eylem yasasını şu şekilde ifade edebiliriz:

Bu ifadede α, A'ya karşılık gelen ilk gram sayısıdır ve β B'ye karşılık gelen ilk gram sayısıdır.

Ayrıca, r ve s, sırasıyla r + s gram C'yi oluşturmak üzere birleşen A ve B gramlarının sayısını temsil eder.Bunun parçası için, x, t anında C maddesinin gram sayısını temsil eder ve K, orantılılık sabiti. Yukarıdaki denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

Aşağıdaki değişikliği yapmak:

Denklem şu hale gelir:

Bu ifadeden şunları elde edebiliriz:

A ≠ b ise, kısmi kesirler entegrasyon için kullanılabilir.

Misal

Örneğin, bir A maddesinin bir B ile birleştirilmesinden ortaya çıkan bir C maddesini, a ve b'nin değerleri sırasıyla 8 ve 6 olduğunda kütle yasası yerine getirilecek şekilde ele alalım. Bize zamanın bir fonksiyonu olarak C'nin gram değerini veren bir denklem verin.

Verilen kütle yasasındaki değerleri değiştirerek, elimizde:

Değişkenleri ayırırken elimizde:

Burada 1 / (8 - x) (6 - x), aşağıdaki gibi kısmi kesirlerin toplamı olarak yazılabilir:

Böylece, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

X yerine 6 koyarsak, B = 1/2 olur; ve x yerine 8 koyarsak, A = - 1/2 olur.

Elimizde kısmi kesirler ile entegrasyon:

Bu bize sonuç olarak şunu verir:

Diferansiyel denklemler: lojistik denklem

Kısmi kesirlere verilebilecek bir diğer uygulama lojistik diferansiyel denklemdedir. Basit modellerde, bir nüfusun büyüme hızının büyüklüğüyle orantılı olduğunu görüyoruz; demek ki:

Bu durum ideal bir durumdur ve bir sistemdeki mevcut kaynakların nüfusu desteklemek için yetersiz kalması gerçekleşene kadar gerçekçi kabul edilir.

Bu durumlarda en mantıklı olan şey, L diyeceğimiz, sistemin sürdürebileceği bir maksimum kapasite olduğunu ve büyüme oranının nüfusun büyüklüğünün mevcut büyüklükle çarpımı ile orantılı olduğunu düşünmektir. Bu argüman aşağıdaki diferansiyel denkleme yol açar:

Bu ifadeye lojistik diferansiyel denklem denir. Kısmi kesir integral yöntemi ile çözülebilen ayrılabilir diferansiyel denklemdir.

Misal

Örnek olarak, aşağıdaki lojistik diferansiyel denklem y '= 0.0004y (1000 - y)' ye göre büyüyen ve başlangıç ​​verisi 400 olan bir popülasyonu ele almak olabilir. T = 2 anında popülasyonun boyutunu bilmek istiyoruz, burada t ölçülür yıllar içinde.

T'ye bağlı bir fonksiyon olarak Leibniz'in gösterimi ile y 'yazarsak, elimizde:

Sol taraftaki integral, kısmi kesir entegrasyon yöntemi kullanılarak çözülebilir:

Bu son eşitliği şu şekilde yeniden yazabiliriz:

- y = 0 yerine A'nın 1 / 1000'e eşit olduğunu elde ederiz.

- y = 1000 yerine B'nin 1 / 1000'e eşit olduğunu elde ederiz.

Bu değerlerle integral aşağıdaki gibidir:

Çözüm şudur:

İlk verileri kullanarak:

Temizlerken ve bizde:

O zaman t = 2'de buna sahibiz:

Sonuç olarak, 2 yıl sonra nüfus büyüklüğü yaklaşık 597,37'dir.

Referanslar

1. A, RA (2012). Matematik 1. Universidad de los Andes. Yayın Konseyi.
2. Cortez, I. ve Sanchez, C. (nd). 801 Çözümlenmiş integraller. Tachira Ulusal Deneysel Üniversitesi.
3. Leithold, L. (1992). Analitik geometri ile hesaplama. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D. ve Rigdon, SE (2007). Hesaplama. Meksika: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Integral hesabı. Hipotenüs.