HOMOGRAFIK FONKSIYON: GRAFIK NASIL YAPILIR, ÇÖZÜLMÜŞ ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Fonksiyon eşyazımlı veya rasyonel ng matematik fonksiyonunun bir tür polinom bölme iki bileşenden oluşur. Q (x) 'in boş bir form alamadığı P (x) / Q (x) formuna uyar.

Örneğin (2x - 1) / (x + 3) ifadesi, P (x) = 2x - 1 ve Q (x) = x + 3 olan bir homografik işleve karşılık gelir.

Kaynak: Pixabay.com

Homografik fonksiyonlar, analitik fonksiyonların etüdünün bir bölümünü oluşturur ve grafikleme yaklaşımından ve alan ve aralık etüdünden ele alınır. Bu, kararlarınız için uygulanması gereken kısıtlamalar ve gerekçelerden kaynaklanmaktadır.

Bir homografik işlev nedir?

Bunlar, tek bir değişkenin rasyonel ifadeleridir, ancak bu, iki veya daha fazla değişken için benzer bir ifade olmadığı anlamına gelmez, burada zaten düzlemdeki homografik fonksiyonla aynı kalıplara uyan uzayda cisimlerin varlığında olurdu.

Bazı durumlarda gerçek kökleri vardır, ancak dikey ve yatay asimptotların varlığı ve büyüme ve azalma aralıkları her zaman korunur. Genellikle bu eğilimlerden yalnızca biri mevcuttur, ancak her ikisini de gelişimlerinde gösterebilecek ifadeler vardır.

Gerçek sayıların sıfıra bölünmesi olmadığından, etki alanı paydanın kökleriyle sınırlıdır.

Karışık homografik işlev

Hesaplamada çok sıktırlar, özellikle diferansiyel ve integraldir, belirli formüller altında türetmek ve anti-türev almak için gereklidirler. En yaygın olanlardan bazıları aşağıda listelenmiştir.

Homografik fonksiyonun n. Kökü

Bağımsız değişkeni negatif yapan tüm alan öğelerini hariç tutun. Her polinomda bulunan kökler, değerlendirildiğinde sıfır değerindedir.

Bu değerler radikal tarafından kabul edilir, ancak homografik fonksiyonun temel kısıtlaması dikkate alınmalıdır. Q (x) boş değerler alamaz.

Aralıkların çözümleri durdurulmalıdır:

Kavşakların çözümüne ulaşmak için diğerleri arasında işaret yöntemi kullanılabilir.

Homografik fonksiyonun logaritması

Diğer olası kombinasyonların yanı sıra her iki ifadeyi de bir arada bulmak yaygındır.

Bir homografik fonksiyonun grafiği nasıl çizilir?

Homografik fonksiyonlar, düzlemdeki hiperbollere grafiksel olarak karşılık gelir. Polinomları tanımlayan değerlere göre yatay ve dikey olarak taşınan.

Rasyonel veya homografik bir fonksiyonun grafiğini çizmek için tanımlamamız gereken birkaç unsur vardır.

Arazi

İlki P ve Q fonksiyonlarının kökleri veya sıfırları olacaktır.

Elde edilen değerler grafiğin x ekseninde gösterilecektir. Grafiğin eksenle kesişme noktalarını gösterir.

Dikey asimptot

Grafiği sundukları eğilimlere göre ayıran dikey çizgilere karşılık gelirler. Paydayı sıfır yapan değerlerde x eksenine dokunurlar ve homografik fonksiyonun grafiği tarafından asla dokunulmazlar.

Yatay asimptot

Yatay bir dikiş çizgisi ile temsil edilir ve fonksiyonun tam noktada tanımlanmayacağı bir sınırı belirler. Bu hattan önce ve sonra trendler gözlemlenecektir.

Bunu hesaplamak için L'Hopital'in yöntemine benzer, sonsuza meyilli rasyonel fonksiyonların sınırlarını çözmek için kullanılan bir yönteme başvurmalıyız. Fonksiyonun pay ve paydasındaki en yüksek güçlerin katsayılarını almalıyız.

Örneğin, aşağıdaki ifadenin y = 2/1 = 2 konumunda yatay bir asimptoti vardır.

Büyüme aralığı

Ordinat değerleri, asimptotlar nedeniyle grafikte işaretlenmiş trendlere sahip olacaktır. Büyüme durumunda, etki alanının öğeleri soldan sağa doğru değerlendirildikçe işlev değerlerinde artacaktır.

Aralığı azalt

Alan öğeleri soldan sağa doğru değerlendirildikçe ordinat değerleri azalacaktır.

Değerlerde bulunan sıçramalar, artış veya azalış olarak dikkate alınmayacaktır. Bu, grafik dikey veya yatay bir asimptota yakın olduğunda meydana gelir; burada değerler sonsuzdan negatif sonsuza kadar değişebilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Y kesişimi

X'in değerini sıfıra ayarlayarak, ordinat ekseniyle kesişmeyi buluruz. Bu, rasyonel fonksiyonun grafiğini elde etmek için çok faydalı bir veridir.

Örnekler

Aşağıdaki ifadelerin grafiğini tanımlayın, köklerini, dikey ve yatay asimptotlarını, artış ve azalma aralıklarını ve ordinat ekseni ile kesişme noktalarını bulun.

1. Egzersiz

İfadenin kökü yoktur, çünkü payda sabit bir değeri vardır. Uygulanacak kısıtlama sıfırdan x farklı olacaktır. Y = 0'da yatay asimptot ve x = 0'da dikey asimptot ile. Y ekseniyle kesişme noktası yoktur.

X = 0'da eksi artı sonsuza sıçramada bile büyüme aralıklarının olmadığı görülmüştür.

Azaltma aralığı

Kimlik: (-∞; o) U (0, ∞)

Egzersiz 1.2

İlk tanımdaki gibi 2 polinom gözlendi, bu nedenle belirlenen adımlara göre ilerliyoruz.

Bulunan kök x = 7 / 2'dir, bu da fonksiyonun sıfıra eşit ayarlanmasından kaynaklanır.

Dikey asimptot, rasyonel işlev koşulu tarafından etki alanından dışlanan değer olan x = - 4'tedir.

Yatay asimptot y = 2'dedir, bu derece 1 değişkenlerinin katsayıları olan 2/1 böldükten sonra.

Bir y kesme noktasına sahiptir = - 7/4. X'i sıfıra eşitledikten sonra bulunan değer.

Fonksiyon, x = -4 kökü etrafında artıdan eksi sonsuza bir sıçrayışla sürekli olarak büyüyor.

Büyüme aralığı (-∞, - 4) U (- 4, ∞) 'dir.

X'in değeri eksi sonsuza yaklaştığında, fonksiyon 2'ye yakın değerler alır. Aynı şey, x daha fazla sonsuza yaklaştığında da olur.

İfade, soldan - 4 olarak değerlendirilirken artı sonsuza ve sağdan - 4 olarak değerlendirildiğinde eksi sonsuza yaklaşır.

Egzersiz 2

Aşağıdaki homografik fonksiyonun grafiği gözlenir:

Ordinat ekseni ile davranışını, köklerini, dikey ve yatay asimptotlarını, büyüme ve azalma aralıklarını ve kesişimini tanımlayın.

İfadenin paydası, kareler arasındaki farkı (x + 1) (x - 1) köklerin değerlerini çarpanlarına ayırarak bize söyler. Bu şekilde, her iki dikey asimptot şu şekilde tanımlanabilir:

x = -1 ve x = 1

Yatay asimptot, en yüksek güç paydada olduğu için apsis eksenine karşılık gelir.

Tek kökü x = -1/3 ile tanımlanır.

İfade daima soldan sağa doğru azalır. Sonsuzluğa yaklaşırken sıfıra yaklaşır. Soldan -1'e yaklaşırken eksi sonsuz. Sağdan -1'e yaklaşırken bir artı sonsuz. Soldan 1'e yaklaşırken daha az sonsuz ve sağdan 1'e yaklaşırken daha fazla sonsuz.

Referanslar

1. Rasyonel Fonksiyonlarla Yaklaşım. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31 Aralık. 1979
2. Ortogonal Rasyonel Fonksiyonlar. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 Şubat. 1999
3. Gerçek Fonksiyonların Rasyonel Yaklaşımı. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 Mart. 2011
4. Cebirsel Fonksiyonlar. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1 Ocak 2004
5. İspanyol Matematik Derneği Dergisi, Cilt 5-6. İspanyol Matematik Derneği, Madrid 1916