ENJEKSIYON IŞLEVI: NE OLDUĞU, NE IÇIN OLDUĞU VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Bir enjeksiyon işlevi , alanın unsurlarının ortak alanın tek bir öğesi ile herhangi bir ilişkisidir. Bire bir işlev ( 1 - 1 ) olarak da bilinen bu işlevler, öğelerinin ilişkilendirilme şekline göre işlevlerin sınıflandırmasının bir parçasıdır.

Eş etki alanının bir öğesi, yalnızca alanın tek bir öğesinin görüntüsü olabilir, bu şekilde bağımlı değişkenin değerleri tekrar edilemez.

Kaynak: Yazar.

Açık bir örnek, işi olan erkekleri A grubunda ve B grubunda tüm patronları gruplandırmak olabilir. İşlev F , her çalışanı patronuyla ilişkilendiren işlev olacaktır. Her işçi, F aracılığıyla farklı bir patronla ilişkilendirilmişse , o zaman F bir enjeksiyon işlevi olacaktır .

Bir işlev hedefini düşünmek için aşağıdakilerin karşılanması gerekir:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Bu söylemenin cebirsel yoludur her x için ₁ x farklı ₂ Biz bir F (x var ₁ F (x farklı) ₂ ).

Enjeksiyon fonksiyonları ne içindir?

Bir işlevin sürekliliğinin önemli bir yönü olan, alanın her bir öğesi için görüntülerin atanmasını sağladığından, sürekli işlevlerin bir özelliğidir.

Bir enjeksiyon fonksiyonunun grafiğinde X eksenine paralel bir çizgi çizerken, çizginin hangi Y yüksekliğinde veya büyüklüğünde çizildiğine bakılmaksızın grafiğe yalnızca tek bir noktada dokunulmalıdır . Bu, bir fonksiyonun enjektivitesini test etmenin grafiksel yoludur.

Bir fonksiyonun enjekte olup olmadığını test etmenin başka bir yolu , bağımsız değişken X'i bağımlı değişken Y cinsinden çözmektir . Bu durumda, bu yeni ifadenin alanının gerçek sayıları içerip içermediği doğrulanmalıdır, Y'nin her bir değeri için olduğu gibi. tek bir X değeri vardır .

İşlevler veya sıra ilişkileri, diğer yolların yanı sıra, F: D _f → C _f gösterimine _uyar

D _f'den C _f'ye giden F ne okunur

F fonksiyonunun Etki Alanı ve Kod Etki Alanı kümelerini ilişkilendirdiği yer. Başlangıç ​​seti ve bitiş seti olarak da bilinir.

D _f alanı , bağımsız değişken için izin verilen değerleri içerir. Eş alan C _f , bağımlı değişken için mevcut olan tüm değerlerden oluşur. C _f'nin D _f ile ilgili elemanları , fonksiyonun Aralığı (R _f ) olarak bilinir .

Fonksiyon koşullandırma

Bazen enjekte edici olmayan bir işlev belirli koşullara tabi tutulabilir. Bu yeni koşullar onu bir enjeksiyon işlevi yapabilir. Fonksiyonun etki alanı ve eş etki alanında yapılan her türlü değişiklik geçerlidir, burada amaç, karşılık gelen ilişkideki enjektivite özelliklerini yerine getirmektir.

Çözülmüş egzersizlerle enjeksiyon fonksiyonlarına örnekler

örnek 1

F: R → R fonksiyonunun F (x) = 2x - 3 doğrusuyla tanımlanmasına izin verin

A:

Kaynak: Yazar.

Etki alanının her değeri için eş etki alanında bir görüntü olduğu gözlemlenir. Bu görüntü benzersizdir ve F'yi bir enjeksiyon işlevi yapar. Bu, tüm doğrusal fonksiyonlar için geçerlidir (en yüksek değişken derecesi bir olan fonksiyonlar).

Kaynak: Yazar.

Örnek 2

Fonksiyonu olsun R: F → R 'olması ile tanımlanan , F (x) = x ² + 1

Kaynak: Yazar

Yatay bir çizgi çizilirken, grafiğin birden fazla durumda bulunduğu görülmektedir. Bundan dolayı F fonksiyonu , R → R tanımlandığı sürece enjekte edici değildir.

Fonksiyonun etki alanını koşullandırmaya devam ediyoruz:

K: R ⁺ U {0} → R

Kaynak: Yazar

Şimdi bağımsız değişken negatif değerler almaz, bu şekilde tekrar eden sonuçlardan kaçınılır ve F (x) = x ² + 1 ile tanımlanan F: R ⁺ U {0} → R fonksiyonu enjekte edicidir .

Başka bir homolog çözüm, alanı sola sınırlamak, yani işlevi yalnızca negatif ve sıfır değerleri alacak şekilde sınırlamak olacaktır.

Fonksiyonun etki alanını koşullandırmaya devam ediyoruz

F: R ^- U {0} → R

Kaynak: Yazar

Artık bağımsız değişken negatif değerler almaz, bu şekilde tekrar eden sonuçlardan kaçınılır ve F (x) = x ² + 1 ile tanımlanan F: R ^- U {0} → R fonksiyonu enjekte edicidir .

Trigonometrik fonksiyonlar, bağımlı değişkendeki değerlerin tekrarlarını bulmanın çok yaygın olduğu dalgaya benzer davranışlara sahiptir. Spesifik şartlandırma yoluyla, bu fonksiyonların önceki bilgilerine dayanarak, alanı enjekte etme koşullarını karşılamak için daraltabiliriz.

Örnek 3

Fonksiyonu olsun F: → R 'olması ile tanımlanan , F (x) = Cos (x)

Aralıkta kosinüs işlevi sonuçlarını sıfır ile bir arasında değiştirir.

Kaynak: Yazar.

Grafikte görüldüğü gibi. X = - π / 2'de sıfırdan başlar , sonra sıfırda maksimuma ulaşır. X = 0'dan sonra değerler, x = π / 2'de sıfıra dönene kadar tekrar etmeye başlar . Bu şekilde, F (x) = Cos (x) ' un aralık için enjekte edici olmadığı bilinmektedir .

F (x) = Cos (x) fonksiyonunun grafiğini incelerken, eğrinin davranışının enjektivite kriterlerine uyum sağladığı aralıklar gözlenir. Aralık gibi

Fonksiyonun değiştiği durumlarda, bağımlı değişkendeki herhangi bir değeri tekrar etmeden 1'den -1'e sonuçlanır.

Bu şekilde, fonksiyon fonksiyonu F: → R , F (x) = Cos (x) ile tanımlanır. Enjekte edici

Benzer durumların meydana geldiği doğrusal olmayan fonksiyonlar vardır. Paydanın en az bir değişken içerdiği rasyonel tipte ifadeler için, ilişkinin enjekte edilmesini engelleyen kısıtlamalar vardır.

Örnek 4

Fonksiyonu olsun F: R → R 'olması ile tanımlanan , F (x) = 10 / x

İşlev, belirsizliği olan {0} dışındaki tüm gerçek sayılar için tanımlanmıştır (Sıfıra bölünemez) .

Bağımlı değişken soldan sıfıra yaklaştıkça çok büyük negatif değerler alır ve sıfırdan hemen sonra bağımlı değişkenin değerleri büyük pozitif rakamlar alır.

Bu bozulma, F (x) = 10 / x ile tanımlanan F: R → R ifadesini yapar.

İğneleyici olmayın.

Önceki örneklerde görüldüğü gibi, alandaki değerlerin dışlanması bu belirsizlikleri "onarmaya" hizmet eder. Sıfırı etki alanından çıkararak, başlangıç ​​ve bitiş kümelerini aşağıdaki gibi tanımlamaya devam ediyoruz:

R - {0} → R

Burada R - {0} , tek elemanı sıfır olan bir küme dışında gerçekleri sembolize eder.

Bu şekilde, F (x) = 10 / x ile tanımlanan F: R - {0} → R ifadesi enjektedir.

Örnek 5

Fonksiyonu olsun F: → R edilmesi ile tanımlanan , F (x) = Sen (x)

Aralıkta sinüs işlevi, sonuçlarını sıfır ile bir arasında değiştirir.

Kaynak: Yazar.

Grafikte görüldüğü gibi. X = 0'da sıfırdan başlar ve sonra x = π / 2'de maksimuma ulaşır . Bu sonra , x = π da sıfıra dönene kadar değerleri, tekrar başlar / 2, X = tt. Bu şekilde, F (x) = Sen (x) 'in aralık için enjekte olmadığı bilinmektedir .

F (x) = Sen (x) fonksiyonunun grafiğini incelerken, eğrinin davranışının enjektivite kriterlerine uyum sağladığı aralıklar gözlenir. Aralık gibi

Fonksiyonun değiştiği durumlarda, bağımlı değişkendeki herhangi bir değeri tekrar etmeden 1'den -1'e sonuçlanır.

Bu şekilde, F (x) = Sen (x) ile tanımlanan F: → R fonksiyonu . Enjekte edici

Örnek 6

F (x) = Tan (x) ile tanımlanan F: → R fonksiyonunun

F: → R , F (x) ile tanımlanır = Cos (x + 1)

F: R → R , F (x) = 7x + 2 doğrusuyla tanımlanır

Referanslar

1. Mantık ve Eleştirel Düşünmeye Giriş. Merrilee H. Salmon. Pittsburgh Üniversitesi
2. Matematiksel Analizde Problemler. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Wroclaw Üniversitesi. Polonya.
3. Soyut Analizin Unsurları. Mícheál O'Searcoid PhD. Matematik bölümü. Dublin Üniversite Koleji, Beldfield, Dublind 4.
4. Mantığa ve Tümdengelimli Bilimlerin Metodolojisine Giriş. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford Üniversitesi basını.
5. Matematiksel analizin ilkeleri. Enrique Linés Escardó. Editoryal Reverté S. A 1991. Barselona İspanya.