Logaritmik fonksiyon matematiksel bir ilişki olan bir temel a üzerindeki logaritma y ile ilişkilendirir Her pozitif reel sayı, x. Bu ilişki, bir işlev olma gereksinimlerini karşılar: etki alanına ait her x öğesinin benzersiz bir görüntüsü vardır.
Böylece:
Bir x sayısına dayalı logaritma, x'i elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken y sayısı olduğundan.
-Tabanın logaritması her zaman 1'dir. Dolayısıyla, f (x) = log a x'in grafiği daima (1,0) noktasında x ekseniyle kesişir.
-Logaritmik fonksiyon aşkındır ve bir polinom olarak veya bunların bir bölümü olarak ifade edilemez. Logaritmaya ek olarak, bu grup diğerleri arasında trigonometrik fonksiyonları ve üstel fonksiyonlarını içerir.
Örnekler
Logaritmik fonksiyon çeşitli bazlarla oluşturulabilir, ancak en çok kullanılan 10 ve e'dir, burada e, 2.71828… e eşit Euler sayısıdır.
10 tabanı kullanıldığında, logaritma ondalık logaritma, sıradan logaritma, Briggs 'veya sadece düz logaritma olarak adlandırılır.
Ve e sayısı kullanılırsa, o zaman logaritmaları keşfeden İskoç matematikçi John Napier'den sonra doğal logaritma olarak adlandırılır.
Her biri için kullanılan gösterim aşağıdaki gibidir:
Ondalık logaritma: log 10 x = log x
-Nerya logaritması: ln x
Başka bir baz kullanılacağı zaman, onu bir alt simge olarak belirtmek kesinlikle gereklidir, çünkü her sayının logaritması, kullanılacak tabana bağlı olarak farklıdır. Örneğin, 2 tabanındaki logaritma ise, şunu yazın:
y = günlük 2 x
Bu noktayı açıklamak için 10 sayısının logaritmasına üç farklı temelde bakalım:
günlük 10 = 1
ln 10 = 2.30259
günlük 2 10 = 3.32193
Yaygın hesap makineleri yalnızca ondalık logaritma (log fonksiyonu) ve doğal logaritma (ln fonksiyonu) getirir. İnternette başka tabanlara sahip hesap makineleri var. Her durumda okuyucu, yardımıyla önceki değerlerin karşılandığını doğrulayabilir:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Küçük ondalık farklar, logaritmanın hesaplanmasında alınan ondalık basamak sayısından kaynaklanır.
Logaritmanın avantajları
Logaritma kullanmanın avantajları arasında, doğrudan sayı yerine logaritmalarını kullanarak büyük sayılarla çalışma kolaylığı sağlamasıdır.
Bu mümkündür çünkü grafikte de görebileceğimiz gibi, sayılar büyüdükçe logaritma işlevi daha yavaş büyür.
Dolayısıyla çok büyük sayılarla bile, logaritmaları çok daha küçüktür ve küçük sayıları değiştirmek her zaman daha kolaydır.
Ek olarak, logaritmalar aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Ürün : log (ab) = log a + log b
- Bölüm : log (a / b) = log a - log b
- Güç : log a b = b.log a
Ve bu şekilde, ürünler ve bölümler, daha küçük sayıların toplanması ve çıkarılması haline gelirken, güç yüksek olsa bile, güçlendirme basit bir ürün haline gelir.
Bu nedenle logaritmalar, sesin yoğunluğu, bir çözeltinin pH'ı, yıldızların parlaklığı, elektriksel direnç ve Richter ölçeğindeki depremlerin yoğunluğu gibi çok büyük değer aralıklarında değişen sayıları ifade etmemize izin verir.
Şekil 2. Logaritmalar, depremlerin büyüklüğünü ölçmek için Richter ölçeğinde kullanılır. Resim, Şili'nin Concepción kentinde 2010 depremi sırasında yıkılmış bir binayı göstermektedir. Kaynak: Wikimedia Commons.
Logaritmaların özelliklerinin işlenmesine bir örnek görelim:
Misal
Aşağıdaki ifadede x'in değerini bulun:
cevap
Burada logaritmik bir denklemimiz var, çünkü bilinmeyen logaritmanın argümanında. Eşitliğin her iki tarafında tek bir logaritma bırakılarak çözülür.
Eşitliğin soluna "x" içeren tüm terimleri ve yalnızca sayı içeren terimleri sağına yerleştirerek başlıyoruz:
günlük (5x + 1) - günlük (2x-1) = 1
Solda, bir bölümün logaritması olarak yazılabilen iki logaritmanın çıkarılması var:
log = 1
Ancak sağda, daha önce gördüğümüz gibi log 10 olarak ifade edebileceğimiz 1 sayısı var. Yani:
log = log 10
Eşitliğin doğru olması için, logaritmaların argümanları eşit olmalıdır:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Uygulama alıştırması: Richter ölçeği
1957'de Meksika'da Richter ölçeğine göre büyüklüğü 7.7 olan bir deprem meydana geldi. 1960 yılında Şili'de 9.5 şiddetinde başka bir deprem meydana geldi.
Richter ölçeğindeki M R büyüklüğünün aşağıdaki formülle verildiğini bilerek Şili'deki depremin Meksika'dakinden kaç kat daha şiddetli olduğunu hesaplayın :
M R = günlük (10 4 I)
Çözüm
Bir depremin Richter ölçeğindeki büyüklük, logaritmik bir fonksiyondur. Richter büyüklüklerine sahip olduğumuz için her depremin şiddetini hesaplayacağız. Adım adım yapalım:
- Meksika : 7,7 = log (10 4 I)
Logaritma fonksiyonunun tersi üstel olduğundan, bunu logaritmanın argümanında bulunan I için çözme niyetiyle eşitliğin her iki tarafına da uygularız.
Ondalık logaritmalar olduklarından taban 10'dur. Sonra:
10 7.7 = 10 4 Ben
Meksika depreminin yoğunluğu şöyleydi:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Şili : 9.5 = log (10 4 I)
Aynı prosedür bizi Şili I Ch depreminin yoğunluğuna götürür :
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Şimdi her iki yoğunluğu da karşılaştırabiliriz:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63.1. Ben M
Şili'deki deprem, Meksika'dakinden yaklaşık 63 kat daha şiddetliydi. Büyüklük logaritmik olduğundan, yoğunluktan daha yavaş büyür, dolayısıyla büyüklükteki 1'lik bir fark, sismik dalganın 10 kat daha büyük bir genliği anlamına gelir.
Her iki depremin büyüklükleri arasındaki fark 1.8'dir, bu nedenle, gerçekte olduğu gibi, 100'e 10'dan 10'a yakın yoğunluklarda bir fark bekleyebiliriz.
Aslında, fark tam olarak 2 olsaydı, Şili depremi Meksika depreminden 100 kat daha şiddetli olurdu.
Referanslar
- Carena, M. 2019. Üniversite Öncesi Matematik El Kitabı. Ulusal Litoral Üniversitesi.
- Figuera, J. 2000. Matematik 1. Çeşitlendirilmiş Yıl. CO-BO sürümleri.
- Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Bir değişkenin hesaplanması. 9. Baskı. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5. Baskı. Cengage Learning.