Bir örten işlev , eş etki alanına ait olan her öğenin etki alanının en az bir öğesinin görüntüsü olduğu herhangi bir ilişkidir. Zarf işlevi olarak da bilinen bu işlevler , öğelerinin ilişkilendirilme şekline göre işlevlerin sınıflandırılmasının bir parçasıdır.

Örneğin , F (x) = 2x ile tanımlanan bir F: A → B fonksiyonu

"Okunur Hangi F gider A için B ile tanımlanan F (x) = 2x"

Başlangıç ​​ve bitiş setleri A ve B'yi tanımlamalısınız .

C: {1, 2, 3, 4, 5} Şimdi bu öğelerin her birinin F'de değerlendirildiğinde vereceği değerler veya görüntüler, ortak alanın öğeleri olacak.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Böylece B kümesi oluşturulur : {2, 4, 6, 8, 10}

O zaman şu sonuca varılabilir:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} tarafından tanımlanan = 2x bir örten fonksiyonu F (x),

Eş etki alanının her bir öğesi, bağımsız değişkenin söz konusu işlev aracılığıyla en az bir işleminden kaynaklanmalıdır. Görüntülerde herhangi bir sınırlama yoktur, ortak etki alanının bir öğesi, alanın birden fazla öğesinin görüntüsü olabilir ve yine de bir kuşatma işlevi deneyebilir .

Resimde örten işlevli 2 örnek gösterilmektedir .

Kaynak: Yazar

Birincisinde, görüntülerin aynı öğeye, işlevin üstlenebilirliğinden ödün vermeden atıfta bulunulabileceği görülmüştür .

İkincisinde, alan ve görüntüler arasında eşit bir dağılım görüyoruz. Bu yol açmaktadır bijective fonksiyonun kriterleri, İnjektif fonksiyonu ve örten fonksiyonu yerine getirilmelidir .

Örtücü işlevleri tanımlamanın başka bir yöntemi , eş etki alanının işlevin derecesine eşit olup olmadığını doğrulamaktır. Bu, bağımsız değişkeni değerlendirirken varış kümesinin işlev tarafından sağlanan görüntülere eşit olması durumunda , işlevin örtük olduğu anlamına gelir.

Özellikleri

Bir işlev örtenini düşünmek için aşağıdakilerin yerine getirilmesi gerekir:

Let F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E bir ℮ D _f / F (bir) = b

Bu, C _f'ye ait olan her "b" için , "a" da değerlendirilen F fonksiyonunun "b" ye eşit olacağı şekilde D _f'ye ait bir "a" olduğunu belirlemenin cebirsel yoludur .

Surjektiflik, ortak alan ve aralığın benzer olduğu fonksiyonların bir özelliğidir. Böylece fonksiyonda değerlendirilen elemanlar varış kümesini oluşturur.

Fonksiyon koşullandırma

Bazen sübjektif olmayan bir işlev belirli koşullara tabi tutulabilir. Bu yeni koşullar onu bir örtme işlevi yapabilir.

Fonksiyonun etki alanı ve eş etki alanında yapılan her türlü değişiklik geçerlidir; burada amaç, karşılık gelen ilişkide örtünme özelliklerini yerine getirmektir.

Örnekler: çözülmüş alıştırmalar

Örnektivite koşullarını karşılamak için , eş etki alanının her bir öğesinin işlevin görüntü kümesi içinde olmasını sağlamak için farklı koşullandırma teknikleri uygulanmalıdır.

1. Egzersiz

• Fonksiyonu olsun F: R → R edilebilir hattı ile tanımlanan , F (x) = 8 - X

A:

Kaynak: yazar

Bu durumda işlev, hem etki alanındaki hem de aralığındaki tüm gerçek sayıları içeren sürekli bir çizgiyi tanımlar. İşlev aralığı yana R _f değer kümesi eşittir R o olduğu sonucuna varılabilir:

F: R → R , F (x) = 8 - x doğrusuyla tanımlanan bir örtücü fonksiyondur.

Bu, tüm doğrusal fonksiyonlar için geçerlidir (en yüksek değişken derecesi bir olan fonksiyonlar).

Egzersiz 2

• Fonksiyonu çalışma R: F → R tarafından tanımlanan F (x) = x ² : eğer bu bir tanımlama örten fonksiyonu . Değilse, onu örten hale getirmek için gerekli koşulları gösterin.

Kaynak: yazar

Dikkate alınması gereken ilk şey, R gerçek sayılarından oluşan F'nin ortak etki alanıdır . Fonksiyonun, negatif gerçekleri olası görüntülerden hariç tutan negatif değerler vermesinin bir yolu yoktur.

Eş etki alanını aralığa koşullandırma. F aracılığıyla ortak etki alanının öğelerini ilgisiz bırakmaktan kaçınılır.

Görüntüler, x = 1 ve x = - 1 gibi bağımsız değişkenin öğe çiftleri için tekrarlanır . Ancak bu , bu çalışma için bir sorun teşkil etmez, yalnızca fonksiyonun enjekte edilebilirliğini etkiler .

Bu şekilde şu sonuca varılabilir:

F: R → . Bu aralık, eş etki alanını, işlevin örtücülüğünü elde etmek için koşullandırmalıdır.

F: R → F (x) ile tanımlanır = Sen (x) Bu bir örtme fonksiyonudur

F: R → F (x) ile tanımlanır = Cos (x) Bu bir örten fonksiyondur

Egzersiz 4

• İşlevi inceleyin

F :). İtme ({});

Kaynak: Yazar

F (x) = ± √x fonksiyonu , "x" in her değerinde 2 bağımlı değişkeni tanımlaması özelliğine sahiptir. Yani aralık, etki alanında yapılan her biri için 2 öğe alır. Her "x" değeri için pozitif ve negatif bir değer doğrulanmalıdır.

Başlangıç ​​kümesini gözlemlerken, çift kök içindeki bir negatif sayıyı değerlendirirken üretilen belirsizliklerden kaçınmak için alanın zaten kısıtlanmış olduğu not edilir.

Fonksiyonun aralığını kontrol ederken, ortak alanın her bir değerinin aralığa ait olduğu not edilir.

Bu şekilde şu sonuca varılabilir:

F: [0, ∞ ) → R , F (x) = ± √x ile tanımlanır Bu bir örten fonksiyondur

Egzersiz 4

• F (x) = Ln x fonksiyonunu inceleyin, bunun bir örten fonksiyon olup olmadığını belirtin . Varış ve ayrılış kümelerini, işlevi süreklilik kriterlerine uyacak şekilde koşullandırın.

Kaynak: Yazar

Grafikte gösterildiği gibi, F (x) = Ln x fonksiyonu, sıfırdan büyük "x" değerleri için tanımlanır. "Ve" değerleri veya görüntüler herhangi bir gerçek değer alabilir.

Bu şekilde F (x) = alanını (0, ∞ ) aralığı ile sınırlayabiliriz.

Fonksiyonun aralığı, gerçek sayılar kümesi R olarak tutulabildiği sürece .

Bunu göz önünde bulundurarak şu sonuca varılabilir:

F: [0, ∞ ) → R , F (x) ile tanımlanır = Ln x Bu bir örten fonksiyondur

Egzersiz 5

• Mutlak değer fonksiyonu F (x) = - x - 'i inceleyin ve yüzeysellik kriterlerini karşılayan varış ve ayrılış kümelerini belirleyin.

Kaynak: Yazar

İşlevin tanım tüm gerçek sayılar için yerine getirilir R. mutlak değer fonksiyonu sadece pozitif değerler alır dikkate alarak, sadece iklimlendirme değer kümesi içinde gerçekleştirilmelidir bu şekilde.

Aynı rütbeye eşit fonksiyonun ortak alanını kurmaya devam ediyoruz

[0, ∞ )

Şimdi şu sonuca varılabilir:

F: [0, ∞ ) → R , F (x) ile tanımlanır = - x - Bu bir örten fonksiyondur

Önerilen egzersizler

1. Aşağıdaki işlevlerin kapsayıcı olup olmadığını kontrol edin:

• F: (0, ∞ ) → R , F (x) ile tanımlanır = Log (x + 1)
• F: R → R , F (x) = x ^{3 ile tanımlanır}
• F: R → [1, ∞ ) tarafından tanımlanan , F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R , F (x) = Log (2x + 3) ile tanımlanır
• F: R → R , F (x) = Sec x ile tanımlanır
• F: R - {0} → R , F (x) = 1 / x ile tanımlanır

Referanslar

1. Mantık ve Eleştirel Düşünmeye Giriş. Merrilee H. Salmon. Pittsburgh Üniversitesi
2. Matematiksel Analizde Problemler. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Wroclaw Üniversitesi. Polonya.
3. Soyut Analizin Unsurları. Mícheál O'Searcoid PhD. Matematik bölümü. Dublin Üniversite Koleji, Beldfield, Dublind 4
4. Mantığa ve Tümdengelimli Bilimlerin Metodolojisine Giriş. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford Üniversitesi basını.
5. Matematiksel analizin ilkeleri. Enrique Linés Escardó. Editoryal Reverté S. A 1991. Barselona İspanya.