ÖKLID GEOMETRISI: TARIH, TEMEL KAVRAMLAR VE ÖRNEKLER - MATEMATIK - 2025

Öklid geometrisi Öklid aksiomları yerine geometrik boşluk özelliklerinin çalışma karşılık gelir. Bu terim bazen benzer özelliklere sahip daha yüksek boyutlara sahip geometrileri kapsamak için kullanılsa da, genellikle klasik geometri veya düzlem geometri ile eş anlamlıdır.

III.Yüzyılda a. C. Öklides ve müritleri, zamanın matematiksel bilgisini mantıksal-tümdengelimli bir yapıya sahip olan Elementleri yazdılar. O zamandan beri geometri, başlangıçta klasik problemleri çözmek için bir bilim haline geldi ve akla yardımcı olan biçimlendirici bir bilim haline geldi.

Tarih

Öklid geometrisinin tarihi hakkında konuşmak için İskenderiye'nin Öklidi ve Elementler ile başlamak önemlidir.

Mısır, Büyük İskender'in ölümünden sonra Ptolemy I'in eline bırakıldığında, İskenderiye'deki bir okulda projesine başladı.

Okulda öğretmenlik yapan bilgeler arasında Öklid de vardı. Doğumunun yaklaşık olarak MÖ 325 yılına ait olduğu tahmin edilmektedir. C. ve 265 a. C. Platon'un okuluna gittiğini kesin olarak bilebiliriz.

Öklid otuz yıldan fazla bir süredir İskenderiye'de öğretmenlik yaparak ünlü unsurlarını inşa etti: Zamanının matematiğinin kapsamlı bir tanımını yazmaya başladı. Öklid'in öğretileri, Arşimet ve Pergalı Apollonius gibi mükemmel öğrenciler yetiştirdi.

Öklid, Elementler'de antik Yunanlıların farklı keşiflerini yapılandırmakla görevliydi, ancak seleflerinden farklı olarak bir teoremin doğru olduğunu onaylamakla sınırlandırmıyor; Öklid bir gösteri sunuyor.

The Elements, on üç kitaptan oluşan bir özettir. İncil'den sonra binden fazla baskısı ile en çok basılan kitaptır.

Öklid Öğeleri

Elementler, Öklid'in geometri alanındaki başyapıtıdır ve iki boyutun (düzlem) ve üç boyutun (uzay) geometrisinin kesin bir işleyişini sunar; bu, şimdi Öklid geometrisi olarak bildiğimiz şeyin kökenidir. .

Temel konseptler

Öğeler, tanımlar, ortak kavramlar ve önermelerden (veya aksiyomlardan) ve ardından teoremler, yapılar ve ispatlardan oluşur.

- Bir nokta, parçası olmayan şeydir.

- Çizgi, genişliği olmayan bir uzunluktur.

- Düz bir çizgi, içinde bulunan noktalara eşit olarak uzanandır.

- Bitişik açılar eşit olacak şekilde iki çizgi kesilirse, açılara düz çizgiler ve çizgiler dikey olarak adlandırılır.

- Paralel çizgiler, aynı düzlemde olan ve asla kesişmeyen çizgilerdir.

Bunlardan ve diğer tanımlardan sonra, Öklid bize beş postülat ve beş kavramdan oluşan bir liste sunar.

Ortak kavramlar

- Üçte birine eşit olan iki şey birbirine eşittir.

- Aynı şeylere aynı şeyler eklenirse sonuçlar aynıdır.

- Eşit şeyler eşit şeyler çıkarılırsa sonuçlar eşittir.

- Birbiriyle eşleşen şeyler birbirine eşittir.

- Toplam, bir parçadan daha büyük.

Postülatlar veya aksiyomlar

- Bir ve sadece bir hat iki farklı noktadan geçer.

- Düz çizgiler süresiz uzatılabilir.

- Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçapa sahip bir daire çizebilirsiniz.

- Tüm dik açılar eşittir.

- Düz bir çizgi, aynı tarafın iç açılarının toplamı iki dik açıdan daha az olacak şekilde iki düz çizgiyi keserse, o zaman iki çizgi o tarafta kesişir.

Bu son postülat, paralel postülat olarak bilinir ve şu şekilde yeniden formüle edilmiştir: "Bir çizginin dışındaki bir nokta için, verilen çizgiye tek bir paralel çizilebilir."

Örnekler

Daha sonra, Elementlerin bazı teoremleri, Öklid'in beş postülatının yerine getirildiği geometrik uzayların özelliklerini göstermeye hizmet edecek; Ek olarak, bu matematikçi tarafından kullanılan mantıksal-tümdengelimli akıl yürütmeyi de gösterecekler.

İlk örnek

Önerme 1.4. (LAL)

İki üçgenin iki kenarı varsa ve aralarındaki açı eşitse, diğer kenarlar ve diğer açılar eşittir.

gösteri

ABC ve A'B'C ', AB = A'B', AC = A'C 've BAC ve B'A'C' açıları eşit olan iki üçgen olsun. A'B'C 'üçgenini, A'B' AB ile çakışacak ve B'A'C 'açısı BAC açısı ile çakışacak şekilde hareket ettirelim.

Dolayısıyla A'C 'çizgisi AC çizgisiyle çakışır, bu nedenle C' C ile çakışır. Ardından, 1. postülata göre BC çizgisi B'C 'çizgisiyle çakışmalıdır. Bu nedenle iki üçgen çakışır ve dolayısıyla açıları ve yanları eşittir.

İkinci örnek

Önerme 1.5. (

ABC üçgeninin eşit AB ve AC kenarlarına sahip olduğunu varsayalım.

Yani, ABD ve ACD üçgenlerinin iki eşit kenarı vardır ve aralarındaki açılar eşittir. Dolayısıyla, Önerme 1.4'e göre ABD ve ACD açıları eşittir.

Üçüncü örnek

Önerme 1.31

Belirli bir nokta tarafından verilen bir çizgiye paralel bir çizgi oluşturabilirsiniz.

bina

Bir L doğrusu ve bir P noktası verildiğinde, bir M doğrusu P içinden geçer ve L ile kesişir. Sonra, P içinden L ile kesişen bir N doğrusu çizilir. Şimdi, P içinden M ile kesişen bir N doğrusu çizilir, L'nin M ile oluşturduğu açıya eşit bir açı oluşturan

doğrulama

N, L'ye paraleldir.

gösteri

L ve N'nin paralel olmadığını ve bir A noktasında kesiştiğini varsayalım. B, L'de A'nın ötesindeki bir nokta olsun. B ve P'den geçen O doğrusunu düşünelim. Sonra, O, M ile toplamı toplamı şundan küçük olan açılarda kesişir. iki düz.

O zaman O, 1.5 çizgisiyle M'nin diğer tarafında L çizgisini kesişmelidir, bu nedenle L ve O iki noktada kesişir, bu da Postülat 1 ile çelişir. Bu nedenle, L ve N paralel olmalıdır.

Referanslar

1. Öklid, Geometrinin Elemanları. Meksika Ulusal Özerk Üniversitesi
2. Öklid. İlk altı kitap ve Öklid unsurlarının on birinci ve onikinci
3. Eugenio Filloy Yague. Öklid geometrisinin öğretimi ve tarihi, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Matematik Tarihi. Mir Editoryal
5. Viloria, N. ve Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Editoryal Venezolana CA