Potansiyel gradyan , bir Kartezyen koordinat sisteminin her eksen üzerinde mesafe bakımından elektrik potansiyeli değişiminin hızını temsil eden bir vektördür. Dolayısıyla, potansiyel gradyan vektörü, mesafenin bir fonksiyonu olarak elektrik potansiyelinin değişim hızının daha büyük olduğu yönü gösterir.
Buna karşılık, potansiyel gradyan modülü, belirli bir yönde elektrik potansiyelinin değişiminin değişim oranını yansıtır. Bir uzamsal bölgenin her noktasında bunun değeri biliniyorsa, elektrik alanı potansiyel gradyanından elde edilebilir.
Elektrik alan bir vektör olarak tanımlanır, bu nedenle belirli bir yönü ve büyüklüğü vardır. Elektrik potansiyelinin en hızlı düştüğü yönü - referans noktasından uzağa - belirleyerek ve bu değeri kat edilen mesafeye bölerek, elektrik alanın büyüklüğü elde edilir.
karakteristikleri
Potansiyel gradyan, elektrik potansiyeli ile söz konusu potansiyelin kat ettiği mesafe arasındaki değişim oranını ölçen, spesifik uzaysal koordinatlarla sınırlandırılmış bir vektördür.
Elektrik potansiyeli gradyanının en göze çarpan özellikleri aşağıda detaylandırılmıştır:
1- Potansiyel gradyan bir vektördür. Dolayısıyla belirli bir büyüklüğü ve yönü vardır.
2- Potansiyel gradyan uzayda bir vektör olduğundan, Kartezyen koordinat sistemi referans alınırsa X (genişlik), Y (yükseklik) ve Z (derinlik) eksenlerine yönelik büyüklüklere sahiptir.
3- Bu vektör, elektrik potansiyelinin değerlendirildiği noktada eşpotansiyel yüzeye diktir.
4- Potansiyel gradyan vektörü, herhangi bir noktada elektrik potansiyel fonksiyonunun maksimum değişim yönüne doğru yönlendirilir.
5- Potansiyel gradyan modülü, kartezyen koordinat sisteminin her bir ekseni doğrultusunda kat edilen mesafeye göre elektrik potansiyel fonksiyonunun türevine eşittir.
6- Potansiyel gradyan, durağan noktalarda (maksimumlar, minimumlar ve eyer noktaları) sıfır değerine sahiptir.
7- Uluslararası birimler sisteminde (SI), potansiyel eğimin ölçüm birimleri volt / metredir.
8- Elektrik alanın yönü, elektrik potansiyelinin büyüklüğünü daha hızlı düşürdüğü yön ile aynıdır. Buna karşılık, potansiyel gradyan, konumdaki bir değişikliğe göre potansiyelin değerde arttığı yönü gösterir. Dolayısıyla, elektrik alan aynı potansiyel gradyan değerine sahiptir, ancak bunun tersi işaretlidir.
Nasıl hesaplanır?
İki nokta (nokta 1 ve nokta 2) arasındaki elektrik potansiyelindeki fark aşağıdaki ifade ile verilmiştir:
Nerede:
V1: 1. noktadaki elektrik potansiyeli.
V2: 2. noktadaki elektrik potansiyeli.
E: elektrik alanın büyüklüğü.
Ѳ: Ölçülen elektrik alan vektörünün koordinat sistemine göre eğimini açınız.
Bu formülü farklı bir şekilde ifade ederken aşağıdakiler şöyledir:
E * cos (Ѳ) faktörü, elektrik alan bileşeninin dl yönündeki modülünü ifade eder. L, referans düzlemin yatay ekseni olsun, sonra cos (Ѳ) = 1, şöyle:
Bundan sonra, elektrik potansiyelindeki (dV) varyasyon ile kat edilen mesafedeki varyasyon (ds) arasındaki bölüm, söz konusu bileşen için potansiyel gradyan modülüdür.
Buradan, elektrik potansiyel gradyanının büyüklüğünün, çalışma yönündeki elektrik alanın bileşenine eşit olduğu, ancak bunun tersi işaret olduğu anlaşılmaktadır.
Bununla birlikte, gerçek ortam üç boyutlu olduğundan, belirli bir noktadaki potansiyel gradyan, Kartezyen sistemin X, Y ve Z eksenlerindeki üç uzamsal bileşenin toplamı olarak ifade edilmelidir.
Elektrik alan vektörünü üç dikdörtgen bileşenine bölerek aşağıdakileri elde ederiz:
Düzlemde elektrik potansiyelinin aynı değere sahip olduğu bir bölge varsa, bu parametrenin Kartezyen koordinatlarının her birine göre kısmi türevi sıfır olacaktır.
Böylece, eşpotansiyel yüzeyler üzerindeki noktalarda, elektrik alanın şiddeti sıfır büyüklüğe sahip olacaktır.
Son olarak, potansiyel gradyan vektörü, zıt işaretli tam olarak aynı elektrik alan vektörü (büyüklük olarak) olarak tanımlanabilir. Böylece aşağıdakilere sahibiz:
Misal
Önceki hesaplamalardan aşağıdakileri yapmak gereklidir:
Bununla birlikte, elektrik alanını potansiyel gradyanın bir fonksiyonu olarak belirlemeden önce veya bunun tersi, ilk olarak elektrik potansiyel farkının büyüdüğü yönün hangisi olduğu belirlenmelidir.
Bundan sonra, elektrik potansiyelinin değişimi ile kat edilen net mesafenin değişimi oranı belirlenir.
Bu şekilde, bu koordinattaki potansiyel gradyan büyüklüğüne eşit olan ilişkili elektrik alanın büyüklüğü elde edilir.
Egzersiz yapmak
Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi iki paralel plaka vardır.
Aşama 1
Elektrik alanın büyüme yönü Kartezyen koordinat sisteminde belirlenir.
Elektrik alanı, paralel plakaların düzenine göre yalnızca yatay yönde büyür. Sonuç olarak, Y ekseni ve Z eksenindeki potansiyel gradyan bileşenlerinin sıfır olduğu sonucuna varmak mümkündür.
Adım 2
İlgili veriler ayrıştırılır.
- Potansiyel fark: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.
- Mesafe farkı: dx = 10 santimetre.
Uluslararası Birim Sistemine göre kullanılan ölçüm birimlerinin uyumluluğunu garanti etmek için, SI cinsinden ifade edilmeyen miktarlar buna göre dönüştürülmelidir. Böylece, 10 santimetre 0.1 metreye eşittir ve son olarak: dx = 0.1 m.
Aşama 3
Potansiyel gradyan vektörünün büyüklüğünü uygun şekilde hesaplayın.
Referanslar
- Elektrik (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londra, İngiltere. Britannica.com'dan kurtarıldı
- Potansiyel gradyan (sf). Meksika Ulusal Özerk Üniversitesi. Meksika DF, Meksika. Professors.dcb.unam.mx adresinden kurtarıldı
- Elektriksel etkileşim. Kurtarıldı: matematicasypoesia.com.es
- Potansiyel Gradyan (sf). Circuitglobe.com adresinden kurtarıldı
- Potansiyel ve elektrik alan (sf) arasındaki ilişki. Kosta Rika Teknoloji Enstitüsü. Cartago, Kosta Rika. Repositoriotec.tec.ac.cr adresinden kurtarıldı
- Wikipedia, Ücretsiz Ansiklopedi (2018). Gradyan. Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı