- Bir polinom derecesi örnekleri
- Tablo 1. Polinom örnekleri ve dereceleri
- Polinomlarla çalışma prosedürü
- Bir polinom sipariş edin, azaltın ve tamamlayın
- Toplama ve çıkarma işlemlerinde bir polinom derecesinin önemi
- Çözülmüş egzersizler
- - Egzersiz çözüldü 1
- Çözüm
- - Egzersiz çözüldü 2
- Çözüm
- Referanslar
Doğruluk derecesi bir değişkende büyük üs sahip terimi ile verilir, ve polinom iki ya da daha fazla değişken sahipse, o zaman derecesi, her bir terimin üstlerin toplamı ile belirlenir, daha büyük bir toplam derecesi olmak polinom.
Polinomun derecesini pratik bir şekilde nasıl belirleyeceğimize bakalım.
Şekil 1. Einstein'ın ünlü enerji E denklemi, değişken kütle için m ile gösterilen mutlak derece 1 olan bir monomiyaldir, çünkü c ışık hızı sabit kabul edilir. Kaynak: Piqsels.
P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 polinomunu varsayalım . Bu polinom bir değişkendir, bu durumda x değişkenidir. Bu polinom aşağıdaki birkaç terimden oluşur:
Ve şimdi üs nedir? Cevap 3'tür. Bu nedenle P (x), 3. dereceden bir polinomdur.
Söz konusu polinomun birden fazla değişkeni varsa, derece şöyle olabilir:
-Absolute
-Bir değişkenle ilgili olarak
Mutlak derece, başlangıçta açıklandığı gibi bulunur: her terimin üslerinin eklenmesi ve en büyüğünün seçilmesi.
Bunun yerine, değişkenlerden veya harflerden birine göre polinomun derecesi, söz konusu harfin sahip olduğu üssün en büyük değeridir. Aşağıdaki bölümlerde örnekler ve çözülmüş alıştırmalar ile nokta daha net hale gelecektir.
Bir polinom derecesi örnekleri
Polinomlar dereceye göre sınıflandırılabilir ve birinci derece, ikinci derece, üçüncü derece vb. Olabilir. Şekil 1'deki örnek için, enerji, kütle için birinci derece tek terimlidir.
Bir polinomun sahip olduğu terim sayısının derece artı 1'e eşit olduğuna dikkat etmek de önemlidir. Bu nedenle:
Birinci derece polinomların 2 terimi vardır: a 1 x + a o
-İkinci derece polinomun 3 terimi vardır: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Üçüncü derece bir polinomun 4 terimi vardır: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a or
Ve bunun gibi. Dikkatli okuyucu, önceki örneklerdeki polinomların azalan biçimde, yani terimi en yüksek dereceye sahip ilk sıraya yerleştirerek yazıldığını fark etmiş olacaktır.
Aşağıdaki tablo, hem bir hem de birkaç değişkenli çeşitli polinomları ve bunların mutlak derecelerini gösterir:
Tablo 1. Polinom örnekleri ve dereceleri
| Polinom | derece |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| X-1 | bir |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 ve 5 + 5x 2 ve 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Son iki polinomun birden fazla değişkeni vardır. Bunlardan en yüksek mutlak dereceye sahip terim kalın olarak vurgulanmıştır, böylece okuyucu dereceyi hızlı bir şekilde kontrol edebilir. Değişkenin yazılı bir üssü olmadığı zaman, söz konusu üssün 1'e eşit olduğunun anlaşıldığını hatırlamak önemlidir.
Örneğin, vurgulanan ab 3 x 2 teriminde üç değişken vardır: a, b ve x. Bu terimde a, 1'e yükseltilir, yani:
a = a 1
Bu nedenle ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
B'nin üssü 3 ve x'inki 2 olduğu için, bu terimin derecesinin hemen ardından gelir:
1 + 3 + 2 = 6
Y, polinomun mutlak derecesidir, çünkü başka hiçbir terim daha yüksek bir dereceye sahip değildir.
Polinomlarla çalışma prosedürü
Polinomlarla çalışırken derecesine dikkat etmek önemlidir, çünkü ilk önce ve herhangi bir işlem yapmadan önce, derecenin çok önemli bilgiler sağladığı şu adımları takip etmek uygundur:
- Tercih edilen polinomu azalan yönde sıralayın. Dolayısıyla en yüksek dereceye sahip terim solda ve en düşük dereceli terim sağda yer alır.
- Benzer terimleri azaltın, ifadede bulunan aynı değişken ve derecenin tüm terimlerini cebirsel olarak toplamayı içeren bir prosedür.
-Gerekirse, üslü eksik terimler olması durumunda katsayısı 0 olan terimler eklenerek polinomlar tamamlanır.
Bir polinom sipariş edin, azaltın ve tamamlayın
P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12 polinomu verildiğinde, azalan sırayla sıralaması, varsa benzer terimleri azaltması ve eksik terimleri tamamlaması istenir. doğruysa.
Bakılması gereken ilk şey, polinomun derecesi olan en büyük üslü terimdir ve şu şekilde ortaya çıkar:
x 7
Bu nedenle P (x), 7. derecededir. Ardından, soldaki bu terimden başlayarak polinom sıralanır:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7-12
Şimdi benzer terimler azaltılır, bunlar aşağıdaki gibidir: - Bir yandan 2x ve 3x. Ve diğer tarafta 7 ve -12. Bunları azaltmak için, katsayılar cebirsel olarak eklenir ve değişken değişmeden bırakılır (değişken katsayının yanında görünmüyorsa, x 0 = 1 olduğunu unutmayın ):
-2x + 3x = x
7-12 = -5
Bu sonuçları P (x) ile değiştirin:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
Ve son olarak, herhangi bir üssün eksik olup olmadığını görmek için polinom incelenir ve aslında, üssü 6 olan bir terim eksiktir, bu nedenle aşağıdaki gibi sıfırlarla tamamlanır:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Şimdi polinomun 8 terimli kaldığı görülüyor, çünkü daha önce de belirtildiği gibi terim sayısı derece + 1'e eşittir.
Toplama ve çıkarma işlemlerinde bir polinom derecesinin önemi
Polinomlarla, sadece aynı değişkene ve aynı dereceye sahip olan benzer terimlerin eklendiği veya çıkarıldığı toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirebilirsiniz. Benzer terimler yoksa, toplama veya çıkarma basitçe belirtilir.
Toplama veya çıkarma bir kez gerçekleştirildikten sonra, ikincisi zıtın toplamıdır, elde edilen polinomun derecesi, her zaman en yüksek dereceyi ekleyen polinomun derecesine eşit veya bundan azdır.
Çözülmüş egzersizler
- Egzersiz çözüldü 1
Aşağıdaki toplamı bulun ve mutlak derecesini belirleyin:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Çözüm
İki değişkenli bir polinomdur, bu nedenle benzer terimleri azaltmak uygundur:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Her iki terim de her değişkende derece 3'tür. Bu nedenle, polinomun mutlak derecesi 3'tür.
- Egzersiz çözüldü 2
Aşağıdaki düzlem geometrik şeklin alanını bir polinom olarak ifade edin (şekil 2, solda). Ortaya çıkan polinomun derecesi nedir?
Şekil 2. Solda, çözülmüş alıştırma 2 için şekil ve sağda, aynı şekil, ifadesi bilinen üç alana ayrıştırılmıştır. Kaynak: F. Zapata.
Çözüm
Bir alan olduğu için, elde edilen polinom x değişkeninde derece 2 olmalıdır. Alan için uygun bir ifade belirlemek için şekil, bilinen alanlara ayrıştırılır:
Bir dikdörtgenin ve bir üçgenin alanı sırasıyla: taban x yükseklik ve taban x yükseklik / 2'dir.
Bir 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Not : üçgenin tabanı 3x - x = 2x ve yüksekliği 5'tir.
Şimdi elde edilen üç ifade eklendi, bununla birlikte x'in bir fonksiyonu olarak şeklin alanına sahibiz:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Referanslar
- Baldor, A. 1974. Elementary Cebir. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Cebir. Prentice Hall.
- Vikikitap'ı. Polinomlar. Kurtarıldığı yer: es. wikibooks.org.
- Vikipedi. Derece (polinom). Es.wikipedia.org adresinden kurtarıldı.
- Zill, D. 1984. Cebir ve Trigonometri. Mac Graw Hill.