- boyutlar nedir?
- Üç boyutlu uzay
- Dördüncü boyut ve zaman
- Bir hiperküpün koordinatları
- Bir hiperküpün açılması
- Referanslar
Bir hiperküp , n boyutunun bir küpüdür . Dört boyutlu hiperküpün özel durumuna tesseract denir. Bir hiperküp veya n-küp, köşelerinde dikey olan tümü eşit uzunlukta olan düz bölümlerden oluşur.
İnsanlar üç boyutlu uzayı algılar: genişlik, yükseklik ve derinlik, ancak boyutu 3'ten büyük olan bir hiperküpü görselleştirmemiz mümkün değildir.
Şekil 1. 0-küp bir noktadır, eğer bu nokta bir yönde uzanıyorsa, a mesafesi 1-küpü oluşturur, eğer bu 1-küp ortogonal yönde bir a mesafesini uzatırsa, 2-küpümüz olur ( kenarlar x'den a'ya), eğer 2 küp ortogonal yönde bir a mesafesini uzatırsa, 3 küpümüz olur. Kaynak: F. Zapata.
En fazla, onu temsil etmek için bir küpü bir düzleme yansıttığımıza benzer şekilde, onu temsil etmek için üç boyutlu uzayda projeksiyonları yapabiliriz.
0 boyutunda tek şekil noktadır, dolayısıyla 0 küp bir noktadır. 1 küp, bir noktanın bir yönde a mesafesi kadar hareket ettirilmesiyle oluşan düz bir parçadır.
2 küp bir karedir. X yönüne ortogonal olan y yönünde 1 küpün (a uzunluğundaki segment) bir a mesafesine kaydırılmasıyla oluşturulur.
3 küp, ortak küptür. Kareden, x ve y yönlerine ortogonal olan üçüncü yönde (z), a mesafesi kadar hareket ettirilerek inşa edilir.
Şekil 2. 4 küp (tesseract), 3 küpün ortogonal yöndeki üç geleneksel uzamsal yöne olan uzantısıdır. Kaynak: F. Zapata.
4 küp, onu dik olarak, a mesafesinden, algılayamadığımız dördüncü bir boyuta (veya dördüncü yöne) doğru hareket ettiren 3 küpten inşa edilen tesseracttır.
Bir tesseraktın tüm dik açıları vardır, 16 köşesi vardır ve tüm kenarları (toplamda 18) aynı uzunluktadır a.
Bir n-küpün veya n boyutundaki hiperküpün kenarlarının uzunluğu 1 ise, bu, en uzun köşegenin √n ölçtüğü bir birim hiperküptür.
Şekil 3. Bir (n-1) küpünden bir sonraki boyutta dikey olarak uzanan bir n-küp elde edilir. Kaynak: wikimedia commons.
boyutlar nedir?
Boyutlar, serbestlik dereceleri veya bir nesnenin hareket edebileceği olası yönlerdir.
0 boyutunda çevirme imkanı yoktur ve tek olası geometrik nesne noktadır.
Öklid uzayındaki bir boyut, X ekseni adı verilen, bu boyutu tanımlayan yönlendirilmiş bir çizgi veya eksen ile temsil edilir. A ve B iki nokta arasındaki ayrım, Öklid mesafesidir:
d = √.
İki boyutta uzay, X ekseni ve Y ekseni adı verilen, birbirine dik olarak yönlendirilmiş iki çizgi ile temsil edilir.
Bu iki boyutlu uzaydaki herhangi bir noktanın konumu, onun Kartezyen koordinatları (x, y) çifti tarafından verilir ve herhangi iki nokta A ve B arasındaki mesafe şöyle olacaktır:
d = √
Çünkü Öklid'in geometrisinin gerçekleştiği bir alan.
Üç boyutlu uzay
Üç boyutlu uzay, içinde hareket ettiğimiz uzaydır. Üç yönü vardır: genişlik, yükseklik ve derinlik.
Boş bir odada dikey köşeler bu üç yönü verir ve her birine bir eksen ilişkilendirebiliriz: X, Y, Z.
Bu boşluk da Ökliddir ve iki nokta A ve B arasındaki mesafe şu şekilde hesaplanır:
d = √
İnsan, üçten fazla uzamsal (veya Öklid) boyutu algılayamaz.
Bununla birlikte, kesinlikle matematiksel bir bakış açısıyla, n boyutlu bir Öklid uzayını tanımlamak mümkündür.
Bu boşlukta bir noktanın koordinatları vardır: (x1, x2, x3,… .., xn) ve iki nokta arasındaki mesafe:
d = √.
Dördüncü boyut ve zaman
Nitekim görelilik teorisinde zaman bir boyut daha olarak ele alınır ve onunla bir koordinat ilişkilendirilir.
Ancak zamanla ilişkili bu koordinatın hayali bir sayı olduğu açıklığa kavuşturulmalıdır. Bu nedenle uzay-zamanda iki noktanın veya olayın ayrılması Öklid değil, Lorentz ölçüsünü izler.
Dört boyutlu bir hiperküp (tesseract) uzay-zamanda yaşamaz, dört boyutlu bir Öklid hiper uzayına aittir.
Şekil 4. Dört boyutlu bir hiperküpün, figürü önden sola, arkadan sağa ve yukarıdan aşağıya bölen bir düzlem etrafında basit dönüşlü 3B projeksiyonu. Kaynak: Wikimedia Commons.
Bir hiperküpün koordinatları
Başlangıç noktasında ortalanmış bir n küpün köşelerinin koordinatları, aşağıdaki ifadenin tüm olası permütasyonları yapılarak elde edilir:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Bir kenarın uzunluğu nerede.
-A kenarındaki n küpünün hacmi : (a / 2) n (2 n ) = a n'dir .
-En uzun köşegen , zıt köşeler arasındaki mesafedir.
-Aşağıdakiler bir karede zıt köşelerdir : (-1, -1) ve (+1, +1).
-Ve bir küpte : (-1, -1, -1) ve (+1, +1, +1).
-Bir n-küp ölçülerinin en uzun köşegeni :
d = √ = √ = 2√n
Bu durumda tarafın a = 2 olduğu varsayılmıştır. Herhangi bir tarafın n-küpü için:
d = a√n.
-Bir tesseraktın 16 köşesinin her biri dört kenara bağlıdır. Aşağıdaki şekil, bir tesseraktta köşelerin nasıl bağlandığını gösterir.
Şekil 5. Dört boyutlu hiperküpün 16 köşesi ve nasıl bağlandıkları gösterilmektedir. Kaynak: Wikimedia Commons.
Bir hiperküpün açılması
Normal bir geometrik şekil, örneğin bir çokyüzlü, daha küçük boyutlara sahip birkaç şekil halinde açılabilir.
2 küp (kare) olması durumunda, dört bölüme, yani dört 1 küp'e bölünebilir.
Benzer şekilde bir 3 küp, altı 2 küp halinde açılabilir.
Şekil 6. Bir n-küp, birkaç (n-1) -cube şeklinde açılabilir. Kaynak: Wikimedia Commons.
4 küp (tesseract) sekiz 3 küp halinde açılabilir.
Aşağıdaki animasyon bir tesseraktın açılmasını göstermektedir.
Şekil 7. 4 boyutlu bir hiperküp, sekiz üç boyutlu küp halinde açılabilir. Kaynak: Wikimedia Commons.
Şekil 8. İki ortogonal düzlem etrafında çift dönüş gerçekleştiren dört boyutlu bir hiperküpün üç boyutlu projeksiyonu. Kaynak: Wikimedia Commons.
Referanslar
- Bilimsel kültür. Hypercube, dördüncü boyutu görselleştiriyor. Culturacientifica.com adresinden kurtarıldı
- Epsilonlar. Dört boyutlu hiperküp veya tesseract. Kurtarıldı: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Bir hiperküpün (4D) geliştirilmesinden bir tesserakt elde etme yöntemi. Researchgate.net adresinden kurtarıldı
- Vikikitap'ı. Matematik, Polyhedra, Hiperküpler. Kurtarıldı: es.wikibooks.org
- Vikipedi. Hiperküp. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı
- Vikipedi. Teserakt. En.wikipedia.com adresinden kurtarıldı