HOMOTHECY: ÖZELLIKLERI, TÜRLERI VE ÖRNEKLERI - MATEMATIK - 2025

Dilatasyon bir sabit nokta olarak adlandırılan merkezi (O), mesafeler ortak bir faktör ile çarpılır, düzlemde bir geometrik bir değişikliktir. Bu şekilde, her bir P noktası dönüşümün başka bir P 'ürününe karşılık gelir ve bunlar O noktası ile hizalanır.

Öyleyse, homothecy, dönüştürülen noktaların homotetik olarak adlandırıldığı ve bunlar sabit bir nokta ve birbirine paralel bölümlerle hizalandığı iki geometrik şekil arasındaki bir yazışma hakkındadır.

Homothecy

Homotecy, uyumlu bir görüntüye sahip olmayan bir dönüşümdür, çünkü bir şekilden, orijinal şekilden daha büyük veya daha küçük boyutlu bir veya daha fazla şekil elde edilecektir; yani homothecy bir çokgeni başka bir benzerine dönüştürür.

Homotezin yerine getirilmesi için, noktadan noktaya ve çizgiden çizgiye karşılık gelmelidir, böylece homolog nokta çiftleri, homotezinin merkezi olan üçüncü bir sabit nokta ile hizalanır.

Aynı şekilde, onları birleştiren çizgi çiftleri de paralel olmalıdır. Bu tür segmentler arasındaki ilişki, homothecy oranı (k) adı verilen bir sabittir; homotecy şöyle tanımlanabilir:

Bu tür bir dönüşümü gerçekleştirmek için, homotezinin merkezi olacak keyfi bir nokta seçerek başlıyoruz.

Bu noktadan, dönüştürülecek şeklin her tepe noktası için çizgi parçaları çizilir. Yeni şeklin çoğaltılmasının yapıldığı ölçek, homothecy (k) oranı ile verilmektedir.

Özellikleri

Homotezinin temel özelliklerinden biri, homotetik sebepten (k) dolayı, tüm homotetik figürlerin benzer olmasıdır. Diğer öne çıkan özellikler arasında şunlar yer almaktadır:

- Homothecia'nın merkezi (O) tek çift noktadır ve bu kendine dönüşür; yani değişmez.

- Merkezden geçen çizgiler kendilerine dönüşür (çifttir), ancak onu oluşturan noktalar çift değildir.

- Merkezden geçmeyen çizgiler paralel çizgilere dönüştürülür; bu şekilde, homotez açıları aynı kalır.

- O merkezi homotezine ve k oranına göre bir parçanın görüntüsü, buna paralel bir parçadır ve k katı uzunluğuna sahiptir. Örneğin, aşağıdaki görüntüde görülebileceği gibi, homotecy'ye göre bir AB segmenti, AB'nin A'B'ye paralel olacağı ve k'nın olacağı şekilde başka bir A'B 'segmentiyle sonuçlanacaktır:

- Homotetik açılar uyumludur; yani aynı ölçüye sahipler. Bu nedenle, bir açının görüntüsü, aynı genliğe sahip bir açıdır.

Öte yandan, homotecy oranının (k) değerinin bir fonksiyonu olarak değiştiğine sahibiz ve aşağıdaki durumlar ortaya çıkabilir:

- Sabit k = 1 ise, tüm noktalar sabittir çünkü kendilerini dönüştürürler. Böylece, homotetik figür orijinal figürle örtüşür ve dönüşüme özdeşlik işlevi adı verilir.

- k ≠ 1 ise, tek sabit nokta homotetik (O) merkezi olacaktır.

- k = -1 ise, homothecy merkezi bir simetri (C) olur; örneğin 180 ° bir açıda, C etrafında dönme meydana ^veya .

- k> 1 ise, dönüştürülen şeklin boyutu orijinalin boyutundan daha büyük olacaktır.

- 0 <k <1 ise, dönüştürülen şeklin boyutu orijinalinden daha küçük olacaktır.

- -1 <k <0 ise, dönüştürülen şeklin boyutu daha küçük olacak ve orijinale göre döndürülecektir.

- k <-1 ise, dönüştürülen şeklin boyutu daha büyük olacak ve orijinale göre döndürülecektir.

Türleri

Homotecy, oranının (k) değerine bağlı olarak iki türe ayrılabilir:

Doğrudan homothecy

Sabit k> 0 ise oluşur; yani, homotetik noktalar merkeze göre aynı taraftadır:

Doğrudan homotetik rakamlar arasındaki orantılılık faktörü veya benzerlik oranı her zaman pozitif olacaktır.

Ters homotezlik

Sabit k <0; yani, başlangıç ​​noktaları ve homotetikleri, homotetikin merkezine göre zıt uçlarda bulunur, ancak ona hizalanır. Merkez, iki figür arasında olacaktır:

Ters homotetik rakamlar arasındaki orantılılık faktörü veya benzerlik oranı her zaman negatif olacaktır.

Kompozisyon

Orijinaline eşit bir rakam elde edilinceye kadar birkaç hareket art arda gerçekleştirildiğinde, bir hareket bileşimi oluşur. Birkaç hareketin bileşimi de bir harekettir.

İki homothecie arasındaki kompozisyon, yeni bir homothecy ile sonuçlanır; yani, merkezin iki orijinal dönüşümün merkeziyle hizalanacağı ve (k) oranının iki oranın çarpımı olduğu homotiplerin bir ürünü vardır.

Böylece, H ₁ (O ₁ , k ₁ ) ve H ₂ (O ₂ , k ₂ ) gibi iki homotitenin bileşiminde, oranlarının çarpımı: k ₁ xk ₂ = 1, k ₃ = oranının homoteziyle sonuçlanacaktır. k ₁ xk ₂ . Bu yeni homotezinin (O ₃ ) merkezi O ₁ O ₂ hattında yer alacaktır .

Homothecia düz ve geri döndürülemez bir değişime karşılık gelir; Aynı merkez ve orana sahip ancak farklı bir işarete sahip iki homotipi uygulanırsa, orijinal şekil elde edilecektir.

Örnekler

İlk örnek

A noktasından 5 cm uzaklıkta bulunan ve oranı k = 0.7 olan merkezin (O) verilen çokgenine bir homothecy uygulayın.

Çözüm

Herhangi bir nokta homotezin merkezi olarak seçilir ve bu noktadan ışınlar şeklin köşelerinden çizilir:

Merkezden (O) A noktasına olan mesafe OA = 5'tir; Bununla, homotetik noktalardan (OA ') birinin mesafesi, ayrıca k = 0.7 olduğu bilinerek belirlenebilir:

OA '= kx OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5.

İşlem her köşe için yapılabilir veya iki çokgenin paralel kenarları olduğu hatırlanarak homotetik çokgen de çizilebilir:

Son olarak, dönüşüm şuna benzer:

İkinci örnek

Merkezi (O), C noktasından 8,5 cm uzaklıkta bulunan ve y oranı k = -2 olan verilen çokgene bir homothecy uygulayın.

Çözüm

Merkezden (O) C noktasına olan mesafe OC = 8,5; Bu verilerle, homotetik noktalardan (OC ') birinin mesafesini belirlemek mümkündür, ayrıca k = -2 olduğunu bilerek:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Dönüştürülmüş çokgenin köşelerinin parçalarını çizdikten sonra, başlangıç ​​noktalarının ve bunların homotetiklerinin merkeze göre zıt uçlarda yer aldığına sahibiz:

Referanslar

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknik Çizim: etkinlik defteri.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Yakınlık, Homoloji ve Homotezlik.
3. Baer, ​​R. (2012). Doğrusal Cebir ve Projektif Geometri. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Genel matematik, olasılıklar ve istatistik.
5. Meserve, BE (2014). Geometrinin Temel Kavramları. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Cebire giriş. Reverte.