PISAGOR KIMLIKLERI: GÖSTERI, ÖRNEK, ALIŞTIRMALAR - MATEMATIK - 2025

Pisagor kimlikler vardır açının herhangi bir değere göre tutun ve Pisagor teoremi dayanmaktadır tüm trigonometrik denklemler. Pisagor kimliklerinden en ünlüsü, temel trigonometrik kimliktir:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Şekil 1. Pisagor trigonometrik kimlikler.

Sonraki önemde ve ben Teğet ve sekantın Pisagor kimliğini kullanıyorum:

Tan ² (α) + 1 = Sn ² (α)

Ve kotanjant ve kosekantı içeren Pisagor trigonometrik özdeşliği:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

gösteri

Trigonometrik oranlar sinüs ve kosinüs, trigonometrik daire olarak bilinen yarıçaplı bir (1) daire üzerinde temsil edilir. Söz konusu dairenin merkezi O koordinatlarının başlangıcındadır.

Açılar, X'lerin pozitif yarı ekseninden ölçülür, örneğin şekil 2'deki a açısı (aşağıya bakın). Açı pozitifse saat yönünün tersine, negatif açı ise saat yönünde.

P noktasında birim çemberi kesen O orijinli ve α açılı ışın çizilir. P noktası, C noktasına yol açan yatay X eksenine dik olarak yansıtılır. S noktasına yer

C de OCP üçgenine sahibiz.

Sinüs ve kosinüs

Trigonometrik oran sinüsünün bir dik üçgende aşağıdaki gibi tanımlandığı unutulmamalıdır:

Üçgenin bir açısının sinüsü, açının karşısındaki bacak ile üçgenin hipotenüsü arasındaki oran veya bölümdür.

Şekil 2'deki üçgen OCP'ye uygulandığında aşağıdaki gibi görünür:

Sen (α) = CP / OP

ancak CP = OS ve OP = 1, böylece:

Sen (α) = İşletim Sistemi

Bu, Y eksenindeki projeksiyon OS'nin görüntülenen açının sinüsüne eşit bir değere sahip olduğu anlamına gelir. Bir açının sinüsünün maksimum değerinin (+1) α = 90º olduğunda ve minimum (-1) α = -90º veya α = 270º olduğunda meydana geldiğine dikkat edilmelidir.

Şekil 2. Pisagor teoremi ile temel trigonometrik özdeşlik arasındaki ilişkiyi gösteren trigonometrik daire. (Kendi detaylandırma)

Benzer şekilde, bir açının kosinüsü, açıya bitişik bacak ile üçgenin hipotenüsü arasındaki bölümdür.

Şekil 2'deki üçgen OCP'ye uygulandığında aşağıdaki gibi görünür:

Cos (α) = OC / OP

ancak OP = 1, böylece:

Cos (α) = OC

Bu, X eksenindeki izdüşüm OC'nin gösterilen açının sinüsüne eşit bir değere sahip olduğu anlamına gelir. Maksimum kosinüs (+1) değerinin α = 0º veya α = 360º olduğunda, minimum kosinüs değerinin α = 180º olduğunda (-1) olduğu unutulmamalıdır.

Temel kimlik

C'deki dik üçgen OCP için, bacakların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirten Pisagor teoremi uygulanır:

CP ² + OC ² = OP ²

Ancak CP = OS = Sen (α), OC = Cos (α) ve OP = 1 olduğu zaten söylendi, bu nedenle önceki ifade, açının sinüsünün ve kosinüsünün bir fonksiyonu olarak yeniden yazılabilir:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Tanjant ekseni

Trigonometrik çemberdeki X ekseninin kosinüs ekseni ve Y ekseninin sinüs ekseni olması gibi, aynı şekilde, noktadaki birim daireye tam olarak teğet doğru olan teğet ekseni (bkz. Şekil 3) vardır. B koordinatları (1, 0).

Bir açının tanjantının değerini bilmek istiyorsanız, açı X'in pozitif yarı ekseninden çizilir, açının teğet ekseni ile kesişimi bir Q noktasını tanımlar, OQ parçasının uzunluğu, açı.

Bunun nedeni, tanım gereği, a açısının tanjantının, komşu bacak OB arasındaki karşıt bacak QB olmasıdır. Yani Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Şekil 3. Tanjant eksenini ve tanjantın Pisagor kimliğini gösteren trigonometrik daire. (Kendi detaylandırma)

Tanjantın Pisagor kimliği

Tanjantın Pisagor kimliği, B'deki dik üçgen OBQ dikkate alınarak ispatlanabilir (Şekil 3). Pisagor teoremini bu üçgene uyguladığımızda BQ ² + OB ² = OQ ^{2 elde} ederiz . Ancak BQ = Tan (α), OB = 1 ve OQ = Sec (α) olduğu zaten söylendi, böylece OBQ dik üçgen için Pisagor eşitliğinde ikame edersek:

Tan ² (α) + 1 = Sn ² (α).

Misal

AB = 4 ve BC = 3 ayaklarının dik üçgeninde Pisagor kimliklerinin yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Çözüm: Bacaklar biliniyor, hipotenüsün belirlenmesi gerekiyor, yani:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

∡BAC açısı α, ∡BAC = α olarak adlandırılacaktır. Şimdi trigonometrik oranlar belirlendi:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Yani α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Temel trigonometrik kimlik ile başlar:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Yerine getirildiği sonucuna varılır.

- Bir sonraki Pisagor kimliği, tanjantın kimliğidir:

Tan ² (α) + 1 = Sn ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Ve tanjantın kimliğinin doğrulandığı sonucuna varıldı.

- Kotanjantınkine benzer şekilde:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Bunun da yerine getirildiği, böylece verilen üçgen için Pisagor kimliklerini doğrulama görevinin tamamlandığı sonucuna varılmıştır.

Çözülmüş egzersizler

Trigonometrik oranların ve Pisagor kimliklerinin tanımlarına dayalı olarak aşağıdaki kimlikleri kanıtlayın.

1. Egzersiz

Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x) olduğunu kanıtlayın .

Çözüm: Sağ tarafta, bir binomun eşleniği ile çarpılmasının dikkate değer çarpımını tanıyoruz ki bu, bildiğimiz gibi, karelerin farkıdır:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Daha sonra sağ tarafta sinüs bulunan terim işareti değiştirilerek sol tarafa geçer:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Temel trigonometrik özdeşliğe ulaşıldığına dikkat edilerek, verilen ifadenin bir kimlik olduğu, yani x'in herhangi bir değeri için doğru olduğu sonucuna varılır.

Egzersiz 2

Temel trigonometrik özdeşlikten başlayarak ve trigonometrik oranların tanımlarını kullanarak, kosekantın Pisagor kimliğini gösterin.

Çözüm: Temel kimlik:

Günah ² (x) + Cos ² (x) = 1

Her iki üye de Sen ² (x) tarafından bölünür ve payda ilk üyeye dağıtılır:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Basitleştirilmiştir:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x), trigonometrik oranların tam tanımı ile doğrulanan (Pisagor olmayan) bir kimliktir. Aynısı aşağıdaki özdeşlikle de olur: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Sonunda yapmanız gereken:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Referanslar

1. Baldor J. (1973). Trigonometriye giriş ile düzlem ve uzay geometrisi. Orta Amerika Kültürü. AC
2. CEA (2003). Geometri elemanları: alıştırmalar ve pusula geometrisi ile. Medellin Üniversitesi.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Editoryal Patria.
4. Iger. (Sf). Matematik Birinci Dönem Tacaná. Iger.
5. Jr. geometri. (2014). Çokgenler. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren ve Hornsby. (2006). Matematik: Akıl Yürütme ve Uygulamalar (Onuncu Baskı). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Editoryal Progreso.
8. Vikipedi. Trigonometri kimlikleri ve formülleri. Kurtarıldı: es.wikipedia.com