Doğrusal interpolasyon genel Newton enterpolasyon ve iki sayının arasında bilinmeyen bir değeri belirlemek için bir yaklaşım kaynaklanan bir yöntemdir; yani bir ara değer bulunur. Ayrıca f (a) ve f (b) değerlerinin bilindiği ve f (x) 'in orta derecesini bilmek istediğimiz yaklaşık fonksiyonlara da uygulanır .
Doğrusal, ikinci dereceden, kübik ve daha yüksek dereceler gibi farklı enterpolasyon türleri vardır, en basit olanı doğrusal yaklaşımdır. Doğrusal enterpolasyon ile ödenmesi gereken fiyat, sonucun daha yüksek dereceli fonksiyonları kullanan tahminlerde olduğu kadar doğru olmayacağıdır.
Tanım
Doğrusal enterpolasyon, bir tabloda veya çizgi grafikte olabilen iki iyi tanımlanmış değer arasındaki bir değeri çıkarmanıza olanak tanıyan bir işlemdir.
Örneğin, 3 litre sütün 4 dolar değerinde olduğunu ve 5 litrenin 7 dolar değerinde olduğunu biliyorsanız, ancak 4 litre sütün değerinin ne olduğunu bilmek istiyorsanız, ara değeri belirlemek için ara değeri hesaplarsınız.
Yöntem
Bir fonksiyonun bir ara değerini tahmin etmek için, f (x) fonksiyonuna bir r (x) doğrusu ile yaklaşılır , bu, fonksiyonun bir «x = a» ve «x = bölümü için« x »ile doğrusal olarak değiştiği anlamına gelir. b "; yani, (x 0 , x 1 ) ve (y 0 , y 1 ) aralığındaki bir "x" değeri için, "y" değeri noktalar arasındaki çizgi ile verilir ve aşağıdaki ilişki ile ifade edilir:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Bir enterpolasyonun doğrusal olması için, enterpolasyon polinomunun x 0 ve x 1 değerlerine uyması için birinci derece (n = 1) olması gerekir .
Doğrusal enterpolasyon, önceki ifadeden geometrik olarak türetilerek, "x" için bilinmeyen değeri temsil eden "y" değeri elde edilebilecek şekilde üçgenlerin benzerliğine dayanır.
Bu şekilde yapmanız gereken:
a = tan Ɵ = (karşı bacak 1 ÷ bitişik bacak 1 ) = (karşı bacak 2 ÷ bitişik bacak 2 )
Başka bir şekilde ifade edilirse:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
İfadelerden «ve» için çözüm bulduk:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Böylece, doğrusal enterpolasyon için genel denklem elde edilir:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Genel olarak, doğrusal enterpolasyon, gerçek işlevin gerçek değerinde küçük bir hata verir, ancak bulmak istediğinize yakın bir sayıyı sezgisel olarak seçmenize kıyasla hata minimumdur.
Bu hata, bir eğrinin değerini düz bir çizgi ile tahmin etmeye çalışırken ortaya çıkar; Bu durumlarda, yaklaşımı daha kesin hale getirmek için aralığın boyutu azaltılmalıdır.
Yaklaşımla ilgili daha iyi sonuçlar için, enterpolasyonu gerçekleştirmek için derece 2, 3 veya hatta daha yüksek derece fonksiyonlarının kullanılması tavsiye edilir. Bu durumlar için Taylor teoremi çok kullanışlı bir araçtır.
Çözülmüş egzersizler
1. Egzersiz
X saat sonra bir inkübasyonda bulunan birim hacim başına bakteri sayısı aşağıdaki tabloda sunulmuştur. 3,5 saatlik sürede bakteri hacminin ne olduğunu bilmek istiyorsunuz.
Çözüm
Referans tablosu 3,5 saatlik bir süre için bakteri miktarını gösteren bir değer oluşturmaz, ancak sırasıyla 3 ve 4 saatlik bir süreye karşılık gelen üst ve alt değerler vardır. Bu şekilde:
x 0 = 3 ve 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 ve 1 = 135
Şimdi, aşağıdaki gibi enterpolasyonlu değeri bulmak için matematiksel denklem uygulanır:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Daha sonra ilgili değerler ikame edilir:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Böylelikle 3,5 saatlik bir süre için bakteri sayısının 113 olduğu, bu da 3 ila 4 saatlik sürelerde var olan bakteri hacmi arasında bir orta seviyeyi temsil ettiği elde edilmiştir.
Egzersiz 2
Luis'in bir dondurma fabrikası var ve yaptığı harcamalara göre Ağustos ayında sahip olduğu geliri belirlemek için bir araştırma yapmak istiyor. Şirket yöneticisi bu ilişkiyi ifade eden bir grafik çiziyor, ancak Luis bilmek istiyor:
55.000 $ 'lık bir masraf yapılmışsa, Ağustos geliri ne olur?
Çözüm
Gelir ve gider değerlerini içeren bir grafik verilmiştir. Luis, fabrikanın 55.000 $ gideri varsa Ağustos ayının gelirinin ne olduğunu öğrenmek istiyor. Bu değer doğrudan grafiğe yansıtılmaz, ancak değerler bundan daha yüksek ve daha düşüktür.
İlk olarak, değerlerin kolayca ilişkilendirilebileceği bir tablo yapılır:
Şimdi, enterpolasyon formülü böylece y'nin değerini belirlemek için kullanılır
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Daha sonra ilgili değerler ikame edilir:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68,936 ABD doları.
Ağustos ayında 55.000 dolarlık bir harcama yapıldıysa, gelir 68.936 dolardı.
Referanslar
- Arthur Goodman, LH (1996). Analitik geometri ile cebir ve trigonometri. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Geometrik Grup Teorisinde Konular. Chicago Press Üniversitesi.
- Hazewinkel, M. (2001). Doğrusal enterpolasyon ", Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Mühendislik için sayısal yöntemlerin unsurları. UASLP.
- , E. (2002). Bir enterpolasyon kronolojisi: eski astronomiden modern sinyal ve görüntü işlemeye. IEEE'nin tutanakları.
- sayısal, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.