- Kökeni ve tarih
- Aristo
- Matematiksel mantık neyi inceler?
- önermeler
- Gerçek tabloları
- Matematiksel mantık türleri
- alanlar
- Referanslar
Matematiksel mantık veya sembolik mantık kapakları araçları geçtiği bir beyan veya matematiksel muhakeme inkar edemez ki matematiksel bir dildir.
Matematikte belirsizlik olmadığı iyi bilinmektedir. Matematiksel bir argüman verildiğinde, ya geçerlidir ya da değildir. Aynı anda hem yanlış hem de doğru olamaz.
Matematiğin belirli bir yönü, bir argümanın geçerliliğini belirleyebilecek biçimsel ve titiz bir dile sahip olmasıdır. Belirli bir muhakemeyi ya da herhangi bir matematiksel kanıtı reddedilemez kılan nedir? İşte matematiksel mantık bununla ilgilidir.
Dolayısıyla mantık, matematiksel akıl yürütme ve ispatları çalışmaktan ve önceki ifadelerden veya önermelerden doğru bir sonuç çıkarabilmek için gerekli araçları sağlamaktan sorumlu matematik disiplinidir.
Bunu yapmak için aksiyomlardan ve daha sonra geliştirilecek diğer matematiksel yönlerden yararlanılır.
Kökeni ve tarih
Matematiksel mantığın birçok yönüyle ilgili kesin tarihler belirsizdir. Bununla birlikte, konuyla ilgili bibliyografyaların çoğu kökenini eski Yunanistan'a kadar izler.
Aristo
Mantığın titiz bir şekilde ele alınmasının başlangıcı, kısmen, Orta Çağ'a kadar farklı filozoflar ve bilim adamları tarafından derlenen ve geliştirilen bir dizi mantık çalışması yazan Aristoteles'e atfedilir. Bu "eski mantık" olarak düşünülebilir.
Daha sonra Çağdaş Çağ olarak bilinen Leibniz, derin bir arzuyla matematiksel mantık yürütmek için evrensel bir dil oluşturma arzusuyla hareket etti ve Gottlob Frege ve Giuseppe Peano gibi diğer matematikçiler, matematiksel mantığın gelişimini büyük katkılarla önemli ölçüde etkiledi. bunların arasında, doğal sayıların vazgeçilmez özelliklerini formüle eden Peano Aksiyomları.
Matematikçiler George Boole ve Georg Cantor da bu dönemde büyük etkiye sahipti, küme teorisi ve doğruluk tablolarına önemli katkılarda bulunarak, diğer yönlerin yanı sıra Boolean Cebir (George Boole tarafından) ve Seçim Aksiyomu'nu vurguladı. (George Cantor tarafından).
Ayrıca, önermeler arasındaki olumsuzlukları, bağlaçları, ayrılıkları ve koşulluları, Sembolik Mantığın gelişiminin anahtarlarını ve ünlü Venn diyagramlarıyla Jhon Venn'i düşünen tanınmış Morgan yasalarına sahip Augustus De Morgan da var.
20. yüzyılda, yaklaşık 1910 ile 1913 arasında, Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead, bir dizi aksiyomu ve mantığın sonuçlarını toplayan, geliştiren ve öne süren bir kitap dizisi olan Principia mathematica'yı yayınlayarak öne çıkıyor.
Matematiksel mantık neyi inceler?
önermeler
Matematiksel mantık, önermelerin incelenmesiyle başlar. Bir önerme, doğru olup olmadığı herhangi bir belirsizlik olmaksızın söylenebilen bir ifadedir. Aşağıdakiler önerme örnekleridir:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- 1930'da Avrupa'da bir deprem oldu.
Birincisi doğru bir ifadedir ve ikincisi yanlış bir ifadedir. Üçüncüsü, okuyan kişi bunun doğru mu yoksa hemen mi olduğunu bilemese de, gerçekten olup olmadığı test edilebilen ve belirlenebilen bir ifadedir.
Aşağıda, önermeler olmayan ifadelere örnekler verilmiştir:
- O sarışın.
- 2x = 6.
- Hadi oynayalım!
- Filmleri sever misin
İlk önermede "onun" kim olduğu belirtilmemiştir, dolayısıyla hiçbir şey teyit edilemez. İkinci önermede, "x" in neyi temsil ettiği belirtilmemiştir. Bunun yerine, bazı x doğal sayısı için 2x = 6 olduğu söylenirse, bu durumda bir önermeye karşılık gelir, aslında doğru, çünkü x = 3 için bu doğrudur.
Son iki ifade bir öneriye karşılık gelmez, çünkü onları inkar etmenin veya onaylamanın bir yolu yoktur.
İyi bilinen mantıksal bağlantılar (veya bağlayıcılar) kullanılarak iki veya daha fazla önerme birleştirilebilir (veya bağlanabilir). Bunlar:
- İnkar: "Yağmur yağmıyor."
- Ayrılma: "Luisa beyaz veya gri bir çanta aldı."
- Bağlantı: "4 2 = 16 ve 2 × 5 = 10".
- Koşullu: "Yağmur yağarsa, bu öğleden sonra spor salonuna gitmeyeceğim."
- İki koşullu: "Bu öğleden sonra spor salonuna gidiyorum ancak ve ancak yağmur yağmazsa."
Önceki bağlantıların hiçbirine sahip olmayan bir önermeye basit (veya atomik) bir önerme denir. Örneğin, "2, 4'ten küçüktür" basit bir önermedir. Birbiriyle bağlantılı olan önermeler, "1 + 3 = 4 ve 4 çift sayıdır" gibi bileşik önermeler olarak adlandırılır.
Öneriler aracılığıyla yapılan ifadeler genellikle uzundur, bu nedenle bunları her zaman şimdiye kadar görüldüğü gibi yazmak yorucudur. Bu nedenle sembolik bir dil kullanılmaktadır. Öneriler genellikle P, Q, R, S gibi büyük harflerle temsil edilir. Ve sembolik bağlaçlar aşağıdaki gibidir:
Böylece
Bunun tersi bir koşullu önermenin
teklif
Ve bir önermenin karşı-karşılıklı (veya zıt pozitif)
teklif
Gerçek tabloları
Mantıktaki bir diğer önemli kavram doğruluk tablolarıdır. Bir önermenin doğruluk değerleri, bir önerme için iki olasılıktır: doğru (V ile gösterilecek ve doğruluk değerinin V olduğu söylenecektir) veya yanlış (F ile gösterilecek ve değeri söylenecektir. gerçekten F'dir).
Bir bileşik önermenin doğruluk değeri, yalnızca içinde görünen basit önermelerin doğruluk değerlerine bağlıdır.
Daha genel olarak çalışmak için, belirli önermeleri değil, herhangi bir önermeyi temsil edecek olan p, q, r, s vb. Önermesel değişkenleri dikkate alacağız.
Bu değişkenler ve mantıksal bağlaçlarla, tıpkı bileşik önermeler inşa edildiği gibi, iyi bilinen önermesel formüller oluşturulur.
Bir önerme formülünde görünen değişkenlerin her biri bir önerme ile değiştirilirse, bir bileşik önerme elde edilir.
Mantıksal bağlantılar için doğruluk tabloları aşağıdadır:
Doğruluk tablolarında yalnızca V değerini alan önerme formülleri vardır, yani doğruluk tablolarının son sütununda yalnızca V değeri vardır. Bu tür formüller totolojiler olarak bilinir. Örneğin:
Aşağıdaki formülün doğruluk tablosudur
Bir formül α'nın mantıksal olarak başka bir formül anlamına geldiği söylenir, eğer her doğru olduğunda α doğruysa. Yani, α ve β'nin doğruluk tablosunda, α'nın bir V'ye sahip olduğu, β'nın da V'ye sahip olduğu satırlar. Sadece α'nın V değerine sahip olduğu satırlarla ilgileniyoruz. Mantıksal çıkarım için gösterim aşağıdaki gibidir. :
Aşağıdaki tablo mantıksal çıkarımın özelliklerini özetlemektedir:
Doğruluk tabloları aynıysa iki önermesel formülün mantıksal olarak eşdeğer olduğu söylenir. Mantıksal denkliği ifade etmek için aşağıdaki gösterim kullanılır:
Aşağıdaki tablolar mantıksal denkliğin özelliklerini özetlemektedir:
Matematiksel mantık türleri
Özellikle başka alanların yanı sıra felsefeye işaret eden pragmatik veya gayri resmi mantığı hesaba katarsak, farklı mantık türleri vardır.
Matematik söz konusu olduğunda, mantık türleri şu şekilde özetlenebilir:
- Biçimsel veya Aristoteles mantığı (eski mantık).
- Önerme mantığı: Biçimsel ve sembolik bir dil kullanarak argümanların ve önermelerin geçerliliği ile ilgili her şeyin incelenmesinden sorumludur.
- Sembolik mantık: Kümelerin ve özelliklerinin incelenmesine, ayrıca biçimsel ve sembolik bir dille odaklanır ve önermeler mantığıyla derinden bağlantılıdır.
- Kombinatoryal mantık: En son geliştirilenlerden biri, algoritmalar kullanılarak geliştirilebilen sonuçları içerir.
- Mantıksal programlama: çeşitli paketlerde ve programlama dillerinde kullanılır.
alanlar
Muhakeme ve argümanlarının geliştirilmesinde matematiksel mantığı vazgeçilmez bir şekilde kullanan alanlar arasında felsefe, küme teorisi, sayı teorisi, cebirsel yapıcı matematik ve programlama dilleri öne çıkmaktadır.
Referanslar
- Aylwin, CU (2011). Mantık, Kümeler ve Sayılar. Mérida - Venezuela: Yayın Konseyi, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M. ve Soto, A. (1998). Sayı Teorisine Giriş. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Sayı teorisinin temel dersi. Kuzey Üniversitesi.
- Cofré, A. ve Tapia, L. (1995). Matematiksel Mantıksal Akıl Yürütme Nasıl Geliştirilir. Üniversite Yayınevi.
- Zaragoza, AC (sf). Sayı teorisi Editoryal Vision Libros.