FERMAT SINIRI: NELERDEN OLUŞUR VE ÇÖZÜLMÜŞ EGZERSIZLER - MATEMATIK - 2024

Fermat sınırı kendi etki belirli bir noktada bir fonksiyonu teğet bir çizgi eğimi, değerini elde etmek için kullanılan bir sayısal bir yöntemdir. Aynı zamanda bir fonksiyonun kritik noktalarını elde etmek için kullanılır. İfadesi şu şekilde tanımlanır:

Fermat'ın türetmenin temellerini bilmediği açıktır, ancak bir grup matematikçiyi teğet doğruları ve bunların kalkülüsteki uygulamaları hakkında araştırma yapmaya sevk eden çalışmaları olmuştur.

Fermat sınırı nedir?

Önceki koşullarda, değer çiftleri halinde kesişme ile fonksiyona sekant bir çizgi oluşturan 2 noktadan oluşan bir yaklaşımdan oluşur.

Değişkene "a" değerine yaklaşılarak, nokta çifti buluşmaya zorlanır. Bu şekilde, önceki sekant doğrusu (a; f (a)) noktasına teğet hale gelir.

Bölümün değeri (x - a), "a" noktasında değerlendirildiğinde, sıfır (K / 0) arasında K tipi sınırların belirsizliğini verir. Farklı faktoring teknikleriyle bu belirsizlikler nerede kırılabilir.

En yaygın kullanılan işletim teknikleri şunlardır:

-Karelerin farkı (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); (A - b) öğesinin varlığı, çoğu durumda Fermat limitinin bölümündeki (x - a) ifadesini basitleştiren faktörü ifade eder.

- Karelerin tamamlanması (ax ² + bx); Kareler tamamlandıktan sonra, 2 faktöründen birinin (x - a) ifadesi ile basitleştirildiği ve belirsizliği ortadan kaldıran bir Newton iki terimli elde edilir.

- Eşlenik (a + b) / (a ​​+ b); İfadeyi bir faktörün eşleniği ile çarpmak ve bölmek, belirsizliği kırmak için çok yardımcı olabilir.

- Ortak faktör; Çoğu durumda, Fermat sınırı f (x) - f (a) 'nın payını çalıştırmanın sonucu, çarpanlara ayırmak için gereken (x - a) faktörünü gizler. Bunun için ifadenin her faktöründe hangi elemanların tekrarlandığı dikkatlice gözlemlenir.

Maksimum ve minimum değerler için Fermat limitinin uygulanması

Fermat limiti, maksimum ve minimumlar arasında ayrım yapmasa da, sadece tanımına göre kritik noktaları belirleyebildiği için, düzlemdeki fonksiyonların kapak veya katlarının hesaplanmasında yaygın olarak kullanılmaktadır.

Bu teoremle birlikte grafiksel fonksiyon teorisi hakkında temel bir bilgi, fonksiyonlar arasında maksimum ve minimum değerler oluşturmak için yeterli olabilir. Aslında bükülme noktaları, Fermat teoremine ek olarak ortalama değer teoremi aracılığıyla tanımlanabilir.

Kübik benzetme

Fermat için en önemli paradoks, kübik parabolün incelenmesinden geldi. Dikkatini belirli bir nokta için bir fonksiyonun teğet çizgilerine yönelttiğinden, fonksiyondaki bükülme noktasında adı geçen teğet doğruyu tanımlama problemiyle karşılaştı.

Bir noktaya teğet doğruyu belirlemek imkansız görünüyordu. Böylece diferansiyel hesaba yol açacak sorgulama başlar. Matematiğin önemli üsleri tarafından daha sonra tanımlanır.

Maximus ve minimous

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumlarının incelenmesi, onları tanımlamak için açık ve pratik bir yöntemin gerekli olduğu klasik matematik için bir zorluktu.

Fermat, faktoring işlemlerinden sonra aranan maksimum ve minimum değere yol açan küçük diferansiyel değerlerin işlenmesine dayanan bir yöntem oluşturdu.

Bu değişkenin, söz konusu noktanın koordinatını belirlemek için orijinal ifadede değerlendirilmesi gerekecektir, bu da analitik kriterlerle birlikte ifadenin maksimum veya minimumu olarak tanımlanacaktır.

Yöntem

Fermat, yönteminde büyük harflerin özel kullanımından oluşan Vieta'nın gerçek sembolizmini kullanır: bilinmeyenler için ünlüler ve bilinen miktarlar için ünsüzler.

Radikal değerler söz konusu olduğunda, Fermat, daha sonra sonsuzluk arasında sonsuz belirsizliğin sınırlarının çarpanlarına ayırılmasında kullanılacak olan belirli bir süreç uyguladı.

Bu süreç, her ifadenin kullanılan diferansiyelin değerine bölünmesinden oluşur. Fermat durumunda, E harfini kullandı; burada, E'nin en yüksek gücüne böldükten sonra, kritik noktanın aranan değeri netleşir.

Tarih

Fermat limiti aslında matematikçinin uzun listesindeki en az bilinen katkılardan biridir. Çalışmaları asal sayılardan temelde hesaplama için temel oluşturmaya gitti.

Buna karşılık, Fermat hipotezlerine göre eksantriklikleriyle biliniyordu. Zaten çözüme veya kanıta sahip olduğu zamanın diğer matematikçilerine bir tür meydan okuma bırakması yaygındı.

Onunla çalışmayı seven ya da nefret eden zamanın farklı matematikçileriyle çok çeşitli anlaşmazlıkları ve ittifakları vardı.

Son teoremi, dünya çapındaki ününün ana sorumlusuydu ve burada Pisagor teoreminin herhangi bir "n" derecesi için genelleştirilmesinin imkansız olduğunu belirtti. Bunun geçerli bir kanıtı olduğunu iddia etti, ancak halka açıklanmadan öldü.

Bu gösteri yaklaşık 350 yıl beklemek zorunda kaldı. 1995'te matematikçiler Andrew Wiles ve Richard Taylor, son teoreminin geçerli bir kanıtıyla haklı olduğunu kanıtlayarak Fermat'ın bıraktığı endişeye son verdiler.

Egzersizler

1. Egzersiz

Teğet doğrunun eğimini f (x) = x ² eğrisine (4, 16) noktasında tanımlayın

Elimizdeki Fermat limitinin ifadesinde ikame etmek:

Faktörler (x - 4) basitleştirilmiştir

Değerlendirirken sahip olduğunuz

M = 4 + 4 = 8

Egzersiz 2

Fermat sınırını kullanarak f (x) = x ² + 4x ifadesinin kritik noktasını tanımlayın

Çiftleri gruplamak için stratejik bir eleman gruplaması gerçekleştirilir XX ₀

En küçük kareler geliştirildi

XX ₀ ortak faktörünü gözlemleyin _{ve çıkartın}

İfade artık basitleştirilebilir ve belirsizlik kırılabilir

Minimum noktalarda teğet doğrunun eğiminin sıfıra eşit olduğu bilinmektedir. Bu şekilde bulunan ifadeyi sıfıra eşitleyebilir ve X ₀ değerini bulabiliriz.

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Eksik koordinatı elde etmek için sadece orijinal fonksiyondaki noktayı değerlendirmek gerekir

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4-8 = - 4

Kritik nokta P (-2, -4).

Referanslar

1. Gerçek Analiz. Tarihsel Bir Yaklaşım Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 Ağustos. 1999.
2. Pierre de Fermat'ın Matematiksel Kariyeri, 1601-1665: İkinci Baskı. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 Haziran. 2018
3. Fermat'tan Minkowski'ye: Sayılar Teorisi ve Tarihsel Gelişimi Üzerine Dersler. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermat'ın Son Teoremi: Cebirsel Sayı Teorisine Genetik Bir Giriş. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 Ocak 2000
5. Fermat Günleri 85: Optimizasyon için Matematik. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 Ocak. 1986