VEKTÖR CEBIRI: TEMELLER, BÜYÜKLÜKLER, VEKTÖRLER - MATEMATIK

Vektör cebri matematik bir kolu olan lineer denklem, vektörler, matrisler, vektör uzayı ve lineer dönüşümlerin çalışmalar sistemleri. Diğerlerinin yanı sıra mühendislik, diferansiyel denklemleri çözme, fonksiyonel analiz, yöneylem araştırması, bilgisayar grafikleri gibi alanlarla ilgilidir.

Doğrusal cebirin benimsediği bir başka alan da fiziktir, çünkü bu yolla, vektörlerin kullanımıyla onları tanımlayan fiziksel fenomenlerin çalışmasını geliştirmek mümkün olmuştur. Bu, evrenin daha iyi anlaşılmasını mümkün kıldı.

Temelleri

Vektör cebiri, vektörlerin bir araç olarak hizmet edeceğini fark eden Gibbs ve Heaviside tarafından desteklenen Kartezyen geometrinin yanı sıra 1, i, j ve k kuaterniyonlarının (gerçek sayıların uzantısı) çalışmasından kaynaklanmıştır. çeşitli fiziksel olayları temsil eder.

Vektör cebiri üç temelde incelenir:

Geometrik olarak

Vektörler, bir yönelime sahip çizgilerle temsil edilir ve gerçek sayılarla toplama, çıkarma ve çarpma gibi işlemler geometrik yöntemlerle tanımlanır.

analitik

Vektörlerin ve işlemlerinin tanımı, bileşenler adı verilen sayılarla yapılır. Bu tür bir açıklama, bir koordinat sistemi kullanıldığı için geometrik bir temsilin sonucudur.

Ve Aksiyomları

Koordinat sisteminden veya herhangi bir geometrik temsil türünden bağımsız olarak vektörlerin bir açıklaması yapılır.

Uzaydaki figürlerin incelenmesi, bir veya daha fazla boyutta olabilen bir referans sistemindeki temsilleri yoluyla yapılır. Ana sistemler arasında:

- Bir noktanın (O) başlangıç noktasını temsil ettiği ve başka bir noktanın (P) ölçeği (uzunluğu) ve yönünü belirlediği düz bir çizgi olan tek boyutlu sistem:

- X ekseni ve y ekseni adı verilen ve bir noktadan (O) başlangıç noktasından geçen iki dikey çizgiden oluşan dikdörtgen koordinat sistemi (iki boyutlu); bu şekilde düzlem, kadran adı verilen dört bölgeye ayrılır. Bu durumda, düzlemdeki bir nokta (P), eksenler ile P arasında var olan mesafelerle verilir.

- Kutupsal koordinat sistemi (iki boyutlu). Bu durumda sistem, kutup olarak adlandırılan bir O noktasından (başlangıç) ve kutup ekseni olarak adlandırılan O noktasında orijinli bir ışından oluşur. Bu durumda, uçağın P noktası, kutup ve kutup ekseni referans alınarak, başlangıç noktası ile P noktası arasındaki mesafenin oluşturduğu açı (by) ile verilir.

- Kökeni uzayda bir O noktası olan üç dikey çizgiden (x, y, z) oluşan dikdörtgen üç boyutlu sistem. Üç koordinat düzlemi oluşturulur: xy, xz ve yz; boşluk, oktanlar adı verilen sekiz bölgeye ayrılacaktır. Uzayda bir P noktasının referansı, düzlemler ve P arasında var olan mesafelerle verilir.

Büyüklükler

Bir büyüklük, bazı fiziksel olaylarda olduğu gibi, sayısal bir değerle sayılabilen veya ölçülebilen fiziksel bir niceliktir; ancak çoğu kez bu fenomeni sayısal olmayan faktörlerle açıklayabilmek gerekir. Bu nedenle büyüklükler iki türe ayrılır:

Skaler büyüklük

Sayısal olarak tanımlanan ve temsil edilen miktarlardır; yani, ölçü birimi ile birlikte bir modül tarafından. Örneğin:

a) Süre: 5 saniye.

b) Kütle: 10 kg.

c) Hacim: 40 ml.

d) Sıcaklık: 40ºC.

Vektör büyüklüğü

Bunlar, bir birimle birlikte bir modül tarafından ve ayrıca bir duyu ve yön ile tanımlanan ve temsil edilen niceliklerdir. Örneğin:

a) Hız: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) İvme: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Kuvvet: 280 N, 120º.

d) Ağırlık: -40 ĵ kg-f.

Vektör miktarları, vektörlerle grafik olarak temsil edilir.

Vektör nedir?

Vektörler, bir vektör miktarının grafiksel temsilleridir; yani, son uçlarının bir okun ucu olduğu çizgi segmentleridir.

Bunlar, modülüne veya segmentin uzunluğuna, okunun ucuyla gösterilen yönü ve ait olduğu çizgiye göre yönüne göre belirlenir. Bir vektörün orijini aynı zamanda uygulama noktası olarak da bilinir.

Bir vektörün elemanları aşağıdaki gibidir:

modül

Bir birimle birlikte gerçek bir sayı ile temsil edilen, bir vektörün başlangıcından sonuna kadar olan mesafedir. Örneğin:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adres

X ekseni (pozitiften) ile vektör arasında var olan açının ölçüsü ve ayrıca kardinal noktalar (kuzey, güney, doğu ve batı) kullanılır.

duyu

Vektörün sonunda bulunan ve nereye gittiğini gösteren ok başı ile verilir.

Vektörlerin sınıflandırılması

Genel olarak vektörler şu şekilde sınıflandırılır:

Sabit vektör

Uygulama noktası (başlangıç noktası) sabit olanıdır; yani uzaydaki bir noktaya bağlı kalır, bu yüzden içinde hareket edemez.

Ücretsiz vektör

Uzayda serbestçe hareket edebilir çünkü kökeni modülünü, yönünü veya yönünü değiştirmeden herhangi bir noktaya hareket eder.

Kaydırıcı vektör

Modülünü, yönünü veya yönünü değiştirmeden menşeini hareket hattı boyunca aktarabilen bir tanesidir.

Vektörlerin özellikleri

Vektörlerin temel özellikleri arasında şunlar yer almaktadır:

Vektörler takım lensleri

Bunlar, aynı modüle, yöne sahip (veya paralel olan) ve kayan bir vektör veya sabit bir vektör olarak algılayan serbest vektörlerdir.

Eşdeğer vektörler

İki vektörün aynı yöne (veya paralel), aynı anlama sahip olması ve farklı modüllere ve uygulama noktalarına sahip olmalarına rağmen aynı etkilere neden olmaları durumunda ortaya çıkar.

Vektör eşitliği

Bunlar, başlangıç noktaları farklı olsa bile aynı modüle, yöne ve anlama sahiptir, bu da paralel bir vektörün kendisini etkilemeden çevirmesine izin verir.

Zıt Vektörler

Aynı modüle ve yöne sahip olanlardır, ancak anlamları zıttır.

Birim vektör

Modülün birime (1) eşit olduğu bir modüldür. Bu, vektörü modülüne bölerek elde edilir ve bir vektörün yönünü ve anlamını düzlemde veya uzayda, taban veya normalleştirilmiş birim vektörler kullanılarak belirlemek için kullanılır:

Boş vektör

Modülü 0'a eşit olandır; yani başlangıç noktası ve sonu aynı noktada çakışır.

Bir vektörün bileşenleri

Bir vektörün bileşenleri, vektörün, referans sistemin eksenleri üzerindeki izdüşümlerinin değerleridir; İki veya üç boyutlu eksenlerde olabilen vektörün ayrışmasına bağlı olarak, sırasıyla iki veya üç bileşen elde edilecektir.

Bir vektörün bileşenleri, pozitif, negatif ve hatta sıfır (0) olabilen gerçek sayılardır.

Dolayısıyla, xy düzleminde (iki boyutlu) dikdörtgen bir koordinat sisteminde orijini olan bir vektörümüz varsa, x eksenindeki izdüşüm Āx ve y eksenindeki izdüşüm Āy'dir. Böylece vektör, bileşen vektörlerinin toplamı olarak ifade edilecektir.

Örnekler

İlk örnek

Başlangıç noktasından başlayan ve uçlarının koordinatları verilen bir vector vektörümüz var. Böylece, Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm vektörü .

Eğer Ā vektörü üç boyutlu bir üçgen koordinat sisteminin başlangıcında (uzayda) x, y, z, başka bir noktaya (P) kadar hareket ediyorsa, eksenlerindeki izdüşümler Āx, Āy ve Āz olacaktır; bu nedenle vektör, üç bileşen vektörünün toplamı olarak ifade edilecektir.

İkinci örnek

Başlangıç noktasından başlayan ve uçlarının koordinatları verilen bir vector vektörümüz var. Böylece, Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm vektörü .

Dikdörtgen koordinatlarına sahip vektörler, taban vektörleri cinsinden ifade edilebilir. Bunun için, her bir koordinat, düzlem ve uzay için aşağıdaki gibi olacak şekilde, yalnızca kendi birim vektörüyle çarpılmalıdır:

Uçak için: Ā = A _x i + A _y j.

Uzay için: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektör işlemleri

Diğerlerinin yanı sıra ivme, hız, yer değiştirme, kuvvet gibi bir modülü, hissi ve yönü olan birçok nicelik vardır.

Bunlar bilimin çeşitli alanlarında uygulanır ve bunları uygulamak için bazı durumlarda vektörlerin ve skalerlerin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri gibi işlemleri gerçekleştirmek gerekir.

vektörlerin toplanması ve çıkarılması

Vektörlerin toplanması ve çıkarılması tek bir cebirsel işlem olarak kabul edilir, çünkü çıkarma bir toplam olarak yazılabilir; örneğin, Ā ve Ē vektörlerinin çıkarılması şu şekilde ifade edilebilir:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Vektörlerin toplanması ve çıkarılması için farklı yöntemler vardır: bunlar grafiksel veya analitik olabilir.

Grafik yöntemler

Bir vektörün modülü, yönü ve yönü olduğunda kullanılır. Bunun için, daha sonra sonucun belirlenmesine yardımcı olacak bir şekil oluşturan çizgiler çizilir. En iyi bilinenler şunlardır:

Paralelkenar yöntemi

İki vektörün toplanması veya çıkarılması için koordinat ekseninde modülünü, yönünü ve yönünü koruyarak vektörlerin başlangıç noktasını temsil edecek ortak bir nokta seçilir.

Daha sonra paralelkenar oluşturmak için çizgiler vektörlere paralel olarak çizilir. Ortaya çıkan vektör, her iki vektörün başlangıç noktasından paralelkenarın tepe noktasına giden köşegendir:

Üçgen yöntemi

Bu yöntemde vektörler modülleri, yönleri ve yönleri korunarak birbiri ardına yerleştirilir. Ortaya çıkan vektör, ilk vektörün orijininin ikinci vektörün sonuyla birleşimi olacaktır:

analitik metodlar

Geometrik veya vektör yöntemiyle iki veya daha fazla vektör eklenebilir veya çıkarılabilir:

Geometrik yöntem

İki vektör bir üçgen veya paralelkenar oluşturduğunda, m) .push ({});

- Skaler dağılım özelliği: Bir vektör iki skalerin toplamıyla çarpılırsa, her skaler için vektörün çarpımına eşittir.

Vektörlerin çarpımı

Vektörlerin çarpımı veya çarpımı toplama veya çıkarma olarak yapılabilir, ancak bunu bu şekilde yapmak fiziksel anlamını yitirir ve uygulamalarda neredeyse hiç bulunmaz. Bu nedenle en çok kullanılan ürün türleri skaler ve vektörel çarpımdır.

Skaler ürün

Aynı zamanda iki vektörün iç çarpımı olarak da bilinir. İki vektörün modülleri, aralarında oluşan en küçük açının kosinüsü ile çarpıldığında, bir skaler elde edilir. İki vektör arasında skaler bir çarpımı ifade etmek için aralarına bir nokta yerleştirilir ve bu şu şekilde tanımlanabilir:

İki vektör arasında var olan açının değeri, bunların paralel veya dik olmasına bağlı olacaktır; bu nedenle, yapmanız gerekenler:

- Vektörler paralel ve aynı anlama sahipse, kosinüs 0º = 1.

- Vektörler paralelse ve zıt yönlere sahipse, kosinüs 180º = -1.

- Vektörler dikse, kosinüs 90º = 0.

Bu açı, şunu bilerek de hesaplanabilir:

İç çarpım aşağıdaki özelliklere sahiptir:

- Değişmeli özellik: vektörlerin sırası skaleri değiştirmez.

-Dağıtım özelliği: Bir skaler iki vektörün toplamıyla çarpılırsa, her vektör için skalerin çarpımına eşittir.

Vektör ürünü

Vektör çarpımı veya iki vektör A ve B'nin çapraz çarpımı, yeni bir C vektörüyle sonuçlanır ve vektörler arasında bir çarpı kullanılarak ifade edilir:

Yeni vektörün kendine has özellikleri olacaktır. Bu şekilde:

- Yön: Bu yeni vektör, orijinal vektörler tarafından belirlenen düzleme dik olacaktır.

- Yön: Bu, A vektörünün B'ye doğru döndürüldüğü, dönme yönünü parmaklarla gösteren ve vektörün yönünün başparmak ile işaretlendiği sağ el kuralıyla belirlenir.

- Modül: AxB vektörlerinin modüllerinin, bu vektörler arasında var olan en küçük açının sinüsü ile çarpımı ile belirlenir. İfade edilir:

İki vektör arasında var olan açının değeri, paralel veya dik olmasına bağlı olacaktır. Yani şunu söylemek mümkündür:

- Vektörler paralelse ve aynı anlama sahipse, sinüs 0º = 0.

- Vektörler paralelse ve ters yönlere sahipse, sinüs 180º = 0.

- Vektörler dikse, sinüs 90º = 1.

Bir vektör çarpımı, temel vektörleri cinsinden ifade edildiğinde, elimizde: